onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÁI BÌNH NĂM HỌC: 2023 – 2024
Môn: TOÁN
Khoá thi ngày: 8/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức và (với ).
a) Tính giá trị biểu thức với .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình (với là tham số).
a) Giải hệ phương trình với .
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Câu 3. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng (với là tham số).
a) Tìm để đi qua điểm .
b) Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ , thỏa mãn:
Câu 4. (3,5 điểm)
b) Cho tam giác nhọn, nội tiếp đường tròn . Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại và vuông góc với tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng .
c) Chứng minh vuông góc với .
d) Giả sử điểm và đường tròn cố định, còn dây thay đổi sao cho . Xác định vị trí của dây cung sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
2) Một hình nón có diện tích đáy bằng và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
---------------------------------@Hết@---------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức và (với ).
a) Tính giá trị biểu thức với .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị là số nguyên.
Lời giải
a) Theo bài ra với
Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có: .
b) Với ta có:
Vậy với .
c) Ta có với .
Với ta có
Ta cũng có: với
Do đó
Từ và . Mà nhận giá trị là số nguyên nên .
+ Với (thỏa mãn)
+ Với
(thỏa mãn).
Vậy thì nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình (với là tham số).
a) Giải hệ phương trình với .
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Lời giải
a) Với hệ phương trình đã cho trở thành:

Vậy với hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
b) Xét hệ phương trình
Từ ta có .
Thay vào ta được:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình có nghiệm duy nhất
Với phương trình có nghiệm .
Từ ta có .
Với , hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Theo bài ra




(thỏa mãn).
Vậy thỏa mãn đề bài.
Câu 3. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng (với là tham số).
a) Tìm để đi qua điểm .
b) Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ , thỏa mãn:
Lời giải
a) Đường thẳng đi qua điểm .
Vậy thì đi qua điểm .
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là: .
Phương trình có: .
Để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ , thì phương trình có hai nghiệm phân biệt , .
Theo định lí Vi-et ta có:
Theo bài ra: (thỏa mãn).
Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 4. (3,5 điểm)
1) Cho tam giác nhọn, nội tiếp đường tròn . Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại và vuông góc với tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi là giao điểm củavới . Chứng minh rằng .
c) Chứng minh vuông góc với .
d) Giả sử điểm và đường tròn cố định, còn dây thay đổi sao cho . Xác định vị trí của dây cung sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
2) Một hình nón có diện tích đáy bằng và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.
Lời giải
1. a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Ta có:
(vì vuông góc với tại )
(vì vuông góc với tại ).
Xét tứ giác có: , mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng .
Vì tứ giác nội tiếp đường tròn (cmt) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn )
Hay .
Xét và có:
(hai góc đối đỉnh);
(cmt)
Do đó: (g.g)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Chứng minh vuông góc với .
Kẻ đường kính của đường tròn . Gọi là giao điểm của và .
Xét đường tròn có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Lại có (vì cùng phụ với ).
Vì tứ giác nội tiếp đường tròn (cmt)
nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Từ ; và suy ra: .
Mà trong đường tròn có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Hay .
Từ và suy ra .
Vậy vuông góc với .
d) Giả sử điểm và đường tròn cố định, còn dây thay đổi sao cho .
Xác định vị trí của dây cung sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn
Xét và có:
;
(cmt)
Do đó: (g.g) .
Ta có: .
Do không đổi nên lớn nhất lớn nhất.
Gọi là trung điểm của thì .
lớn nhất bé nhất.
Ta có .
bé nhất bằng thẳng hàng và .
Khi đó .
Vậy diện tích lớn nhất khi cách một khoảng bằng ( đều)
2) Gọi bán kính đáy của hình nón là .
Do diện tích của đáy hình nón là
Theo giả thiết chiều cao của hình nón gấp 3 lần bán kính đáy nên chiều cao của hình nón là:
Thể tích hình nón là:
Vậy thể tích hình nón là .
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có:
.
Lại có
.
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy .
---------------------------------@Hết@---------------------------------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De toan TS 10 THAI BINH 23 24