onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi: 10/6/2023
Môn: TOÁN (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức , với .
2. Cho hai đường thẳng và . Tìm để và cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
Bài 2. (1,5 điểm)
1. Cho số nguyên , biết chia cho dư và chia cho 7 dư 3. Tìm số dư khi chia
cho 21.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình .
2. Cho phương trình , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn giá trị của biểu thức là số nguyên.
3. Cho số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 4. (3,5 điểm)
1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Hai tia và cắt nhau tại sao cho , hai tia và cắt nhau tại sao cho . Tính số đo các góc trong của tứ giác .
2. Cho đường tròn và là dây cung cố định khác đường kính của , là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Gọi là đường tròn nội tiếp tam giác . Tia phân giác của góc cắt tại (khác ).
a) Chứng minh tam giác cân. Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
b) Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với . Đường thẳng qua và song song với cắt các tia , lần lượt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh và là trực tâm tam giác .
c) Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng và Chứng minh rằng đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho số nguyên . Xét một đa giác lồi cạnh . Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác thành đúng lục giác lồi không có điểm trong chung.
a) Với và , hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó.
b) Với và , ta có thể chia đa giác được không? Hãy giải thích.

HẾT
Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi: 10/6/2023
Môn: TOÁN (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức , với .
2. Cho hai đường thẳng và . Tìm để
và cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
1.1
Ta có:
0.25

0.25

* Vậy , với .
0.25
1.2
+) Điều kiện và cắt nhau: .
0.25
+) cắt tại tại .
0.25
+) qua
Vậy là giá trị cần tìm.
0.25

Bài 2. (1,5 điểm)
1. Cho số nguyên , biết chia cho 3 dư 2, chia cho 7 dư 3. Tìm số dư khi chia cho 21.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
2.1
Vì chia cho 7 dư 3 nên .
Đặt
0.25
Khi đó
Vì chia cho 3 dư 2 nên .
0.25
Lúc đó . Vậy chia cho 21 dư .
0.25
2.2
* Ta có .
0.25
* không thỏa, suy ra
Suy ra được là ước của .
0.25
+) Tìm được các nghiệm .
0.25
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình .
2. Cho phương trình , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn giá trị của biểu thức là số nguyên.
3. Cho số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
1
Điều kiện .
+) Pt tương đương .
0.25
* Dễ thấy không là nghiệm phương trình.
nên pt tương đương .
0.25
* Giải được
0.25
2
* . phương trình có hai nghiệm phân biệt .
0.25
*
0.25
* Ta có là số nguyên nếu .
0.25
* Tìm được
0.25
3.
Ta có:
0.25
0.25
Dấu xảy ra
Vậy , đạt được khi
0.25
Bài 4. (3,5 điểm)
1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Biết hai tia và cắt nhau tại sao cho , hai tia và cắt nhau tại sao cho . Tính số đo các góc trong của tứ giác .
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
4.1
0.25
Ta có .
0.25
0.25
0.25
2. Cho đường tròn và là dây cung cố định khác đường kính của , là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Gọi là đường tròn nội tiếp tam giác . Tia phân giác của góc cắt tại (khác ).
a) Chứng minh tam giác cân. Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
b) Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với . Đường thẳng qua và song song với cắt các tia , lần lượt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh và là trực tâm tam giác .
c) Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng và Chứng minh rằng đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi.
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
4.2
a
0.25

Ta có (tính chất góc ngoài của tam giác)
(tính chất phân giác)
0.25

Vậy tam giác cân tại .
0.25
Vì là tia phân giác trong góc nên là điểm chính giữa của cung nhỏ hay . Vậy hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
0.25
4.2
b
Ta có (so le trong)
(tính chất tiếp tuyến)
(đối đỉnh)
Vì thế , nên tam giác cân tại hay .
0.25
Chứng minh tương tự ta có .
Mà (tính chất tiếp tuyến). Do đó (đpcm).
0.25
* Tam giác có nên vuông tại . Suy ra
Mà . Từ đó ta có thẳng hàng. (1)
0.25
Lại có nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm tam giác
0.25
4.2
c
Gọi là trung điểm của .
Rõ ràng các tứ giác nội tiếp.
Khi đó và .
0.25
Ta có
Từ đó suy ra suy ra .
Chứng minh tương tự .
Vậy là hình bình hành nên qua trung điểm của đoạn . Mà cố định cố định.
0.25
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho số nguyên . Xét một đa giác lồi cạnh . Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác thành đúng lục giác lồi không có điểm trong chung.
a) Với và hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó.
b) Với và , ta có thể chia đa giác được không? Hãy giải thích.

Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
a
Ta chia được như sau: Kẻ các đường chéo .
0.25
Khi đó đa giác này được chia thành miền lục giác.
0.25
b
Giả sử ta có thể chia đa giác lồi cạnh thành lục giác lồi không có điểm trong chung bởi các đường chéo của nó. Gọi là số giao điểm của các đường chéo nằm trong đa giác. Do mỗi đỉnh của lục giác lồi là đỉnh của đa giác đã cho hoặc là một trong giao điểm của các đường chéo đã nêu nên tổng số đo tất cả các góc ở đỉnh của các lục giác này là .
0.25
Tổng số đo các góc ở đỉnh của lục giác là .
Ta có phương trình (không thỏa).
Vậy ta không thể thực hiện được với và .
0.25
Chú ý: Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, đều cho điểm tối đa theo từng câu và từng phần tương ứng.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Quang Ngai 23 24