onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỢT 2
Môn thi: TOÁN 10 (chuyên)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07/3/2025 Mã đề: 001
Mã đề: 001
Câu 1 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình .
Câu 2. (3,0 điểm). Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn và , với mọi .
Câu 3. (3,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
b) Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn chia hết cho và chia hết cho .
Câu 4. (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm ; hai điểm cố định và điểm thay đổi trên cung lớn của đường tròn . Gọi là trực tâm của tam giác , là điểm đối xứng với qua , là điểm đối xứng với qua . Hai đường thẳng và cắt nhau tại ; hai đường thẳng và cắt nhau tại
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng và bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định khi thay đổi.
Câu 5. (3,0 điểm). Lớp 10A có 32 học sinh, phân công 4 học sinh tham gia mỗi buổi trực nhật. Biết rằng trong một năm học, hai học sinh bất kỳ của lớp 10A trực nhật chung với nhau đúng buổi. Tính số buổi trực nhật của lớp 10A trong năm học đó.
Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
---------- HẾT ----------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:...............................................................; Số báo danh............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỢT 2
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN LỚP 10 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 07 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
Giải hệ phương trình
3,0
Điều kiện: .
0,25

0,5

(vì )
0,5

0,25
Thay vào PT(2) ta được: (3), với
0,25
Đặt , PT(3) trở thành
0,25

(vì )
0,5
Với , ta có (nhận).
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm duy nhất .
0,5
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 2
Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn và , với mọi .
3,0
(1)
Thay vào (1) ta được: .
0,25
Thay vào (1) ta được: .
0,25
Suy ra và là hai nghiệm của đa thức .
Do đó , với là đa thức với hệ số thực.
0,5
(1) được viết lại:

0,25
Thay vào (2) ta được: .
Suy ra , trong đó là đa thức với hệ số thực.
0,5
(2) được viết lại:

0,25
Suy ra , trong đó là hằng số.
Do đó: và .
0,5
Vì nên , do đó .
0,25
Thử lại, thấy thỏa mãn.
Vậy đa thức cần tìm là: .
0,25
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 3
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
1,0
Điều kiện: .
0,25
PT đã cho tương đương với .
Vì nên .
0,25
Do nên .
Khi đó: (thỏa mãn điều kiện)
0,25
Vậy PT đã cho có các nghiệm nguyên là:.
0,25
b) Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn chia hết cho và chia hết cho .
2,0
Xét hệ
Giả sử .
* Xét : Hệ trên tương đương với: (3)
(do nguyên dương)
hoặc
hoặc (thỏa mãn (3))
0,5
* Xét : Hệ trên tương đương với:
Với mọi số nguyên dương , ta có : không thỏa mãn (5).
0,5
* Xét :
Khi đó

.
: không thỏa mãn (2).
0,5
Trường hợp : xét lần lượt và , thực hiện tương tự trên, thấy không thỏa mãn.
0,25
Vậy các số nguyên dương cần tìm là: , .
0,25
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 4
Cho tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm ; hai điểm cố định và điểm thay đổi trên cung lớn của đường tròn . Gọi là trực tâm của tam giác , là điểm đối xứng với qua , là điểm đối xứng với qua . Hai đường thẳng và cắt nhau tại ; hai đường thẳng và cắt nhau tại
5,0
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng và bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2,0
(Có hình vẽ đúng phục vụ câu a) thì cho 0,25 đ)
(Nếu không có hình vẽ thì không chấm điểm)
0,25
Gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ của .
Vì nên tứ giác nội tiếp.
0,25
Ta có: (vì )
(vì tứ giác nội tiếp)
(1)
0,25
Vì là trực tâm, là tâm đường tròn ngoại tiếp của nên (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra và đồng dạng, do đó (3)
0,25
Vì là trực tâm, là tâm đường tròn ngoại tiếp của nên (4)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra .
Do đó cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .
0,5
b) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định khi thay đổi.
3,0
(Có hình vẽ đúng phục vụ câu b) thì cho 0,25 đ)
(Nếu không có hình vẽ thì không chấm điểm)
0,25
và đồng dạng (theo câu a)) suy ra (5)
0,25
và lần lượt cân tại và , có (do (2)) nên đồng dạng, suy ra (6)
0,5
Từ (5) và (6) ta có .
0,25
Gọi là điểm đối xứng với qua .
Khi đó là hình bình hành nên đi qua là trung điểm của .
0,5
Hình thang () có 2 cạnh bên cắt nhau tại và đi qua trung điểm của đáy nên 3 đường thẳng cùng đi qua một điểm.
0,5
Vì lần lượt đối xứng với qua nên cắt nhau tại một điểm thuộc , đó là điểm (theo giả thiết và cắt nhau tại ).
0,25
Suy ra cùng đi qua điểm .
Vậy đường thẳng đi qua điểm cố định khi thay đổi.
0,5
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 5
Lớp 10A có 32 học sinh, phân công 4 học sinh tham gia mỗi buổi trực nhật. Biết rằng trong một năm học, hai học sinh bất kỳ của lớp 10A trực nhật chung với nhau đúng buổi. Tính số buổi trực nhật của lớp 10A trong năm học đó.
3,0
Gọi là số buổi trực nhật của lớp 10A trong năm học, .
Xét các bộ : hai học sinh (không phân biệt thứ tự) cùng tham gia buổi trực nhật . Ta đếm số bộ theo hai cách:
0,5
+ Cách đếm theo cặp học sinh:
Có cách chọn một cặp học sinh.
Có 3 cách chọn một buổi trực nhật chung của cặp học sinh đó.
0,5
Suy ra số bộ là .
0,5
+ Cách đếm theo số buổi trực nhật:
Có cách chọn một buổi trực nhật.
Có cách chọn một cặp học sinh trong 4 học sinh tham gia buổi trực nhật đó.
0,5
Suy ra số bộ là .
0,5
Ta có phương trình: .
Vậy lớp 10A có 248 buổi trực nhật trong năm học.
0,5
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 6
Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
3,0
Ta có: (BĐT AM-GM)
0,5

(BĐT AM-GM)
0,5
Tương tự, ta có: và .
0,5
Do đó: (BĐT AM-GM)

0,5
Ta có: .
0,5
Do đó .
khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1.
0,5
---------- HẾT ----------
Chú ý: Nếu học sinh có lời giải đúng, khác với đáp án, Giám khảo căn cứ thang điểm câu tương ứng cho điểm phù hợp.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 10 chuyen Quang Nam 24 25