CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT
Phương pháp:
“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
=>
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: (*)
HD:
Từ(*) ta thấy : thay vào (*) ta được :
Bài 2: Tìm thỏa mãn: (*)
HD:
Từ (*) (1)
Từ (1) , Thay vào (1) ta suy ra : (2)
Từ (2) thay vào (2) ta được : (3)
Từ (3)
Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Nhân với 4 ta được:
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
HD:
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
nếu đặt
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::
HD :
=>
=>
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
=>
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Nhân 4
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
, mà là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD :
Ta có phương trình trở thành :
=> , Vì x,y là số nguyên nên
=>
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên:
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
HD:
Biến đổi: khi
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn:
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết:
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn :
HD:
Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
Có , Để phương trình có nghiệm thì :
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Có , để phương trình có nghiệm thì
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Xét :
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Theo vi- ét ta có :

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
, có :
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
=>
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Từ đó ta có :
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
TH1 : y=0 => ...
TH2 :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là phải là 1 số chính phương
=> => Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :

=>
Cách 2 : Tính
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: (1)
Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
, Coi PT là ẩn x với tham số y
Ta có : , để PT có nghiệm thì
Vì
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình trở thành :
TH1 : y=1=> x=0
TH2 :
Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp:
“ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương,
Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” .
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y:
Tìm m để PT: có là số chính phương (1)
Ta có:
Chọn , Khi đó (1) trở thành:

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Ta có:

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vì , Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
=> mà là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
với
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=>
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :


Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=>
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt:
Ta có các TH sau:
TH1: TH2:
Cả hai TH trên đều có
TH3: TH4:
TH5:
TH6:
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=>
Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=> =>
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :

Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :

Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Phương trình có nghiệm , xét x, y # 0 => là 1 số chính phương
Đặt : Tìm x

Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình vê dạng :
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình thành :
=>
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


TH1 :
TH2 :
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Chú ý : Vì là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :

Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:
HD :
Bài 46: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :

Bài 47: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :

Bài 49: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Bài 50: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:

Bài 51: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến dổi phương trình thành:
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình :
HD:
Biến đổi thành:
Lại có: , Với và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
HD:
Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Viết lại PT đã cho dưới dạng: (1)
Dễ thấy PT có nghiệm ,
Xét là số chính phương, Đặt
Tìm được x, y là
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Ta có:
Do x,y nguyên dương nên:

TH1 : hoặc TH2 : hoặc
DẠNG 6: ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Nhận dạng : 
“ Phương trình có 1 ẩn có cùng 1 bậc, khi đó rút ẩn đó theo ẩn kia ” .
Phương pháp :
“ Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. ”
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Phương trình tương đương với :
Với không phải là nghiệm khi đó ta có :
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :

Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :
HD :
Ta có :
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
ta có :
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình trở thành :

Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
=>
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

onthicaptoc.com 14 Chuyen de boi duong HSG toan 8 Phuong trinh nghiem nguyen