onthicaptoc.com
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TẠI MỘT ĐIỂM, ĐI QUA MỘT ĐIỂM
A. Phương pháp giải
Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:
Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM
⇒ Đường thẳng ( d) : 
⇒ Phương trình đường thẳng d.
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :
- Đường thẳng ( d) : 
⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.
- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R
⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.
- Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x - 3y + 8 = 0.    B. x + 3y – 16 = 0.    C. 2x - 3y + 5 = 0 .    D. x + 3y - 16 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I (3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.
⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.
Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0
Hay x + 3y - 16 = 0.
Chọn D.
Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là
A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0    B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0
C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0    D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0
Hướng dẫn:
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :
d( I , ∆) = R ⇔  = √5 ⇔ |5 + m| = 5
⇔ 
Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .
A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0    B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0.
C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0    D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R =  = 2
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔  = 2 ⇔|- 2a - 4b| = 2
⇔ |a + 2b| =  ⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2
⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ 
+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.
+ Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 .
Chọn D.
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:
A. d: -y + 1 = 0    B. d: 4x + 3y + 14 = 0
C. d: 3x - 4y - 2 = 0    D. d: 4x + 3y - 11 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.
+ Đường thẳng d: 
⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .
A. d: x + y + 1 = 0    B. d: x - 2y - 11 = 0
C. d: x - y - 7 = 0    D. d: x - y + 7 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.
+ Phương trình đường thẳng (d): 
⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0
⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:
A. 2    B. 3    C. 4    D. 5
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5.
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔  = 5 ⇔ |-10a + 5b| = 5
⇔ |-2a + b| = 
⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0
⇔ 
+ Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ.
+ Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0
⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là:
d(P, ∆) =  = 3
Chọn B.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0?
A. 0.    B. 2.    C. 1.    D. 3.
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R =  = 4.
Độ dài OI =  = √5
⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O.
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?
A. 0.    B. 1.    C. 2.    D. Vô số.
Lời giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được :
( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1
⇒ Điểm M thuộc (C).
⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M.
Chọn B.
Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4?
A. 0.    B. 1.    C. 2.    D. Vô số.
Lời giải
Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2.
Độ dài IN =  = 5 > R
⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C).
Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C):(x - 1)2 + (y+2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).
A. x - 5 = 0 .    B. x + y - 3 = 0 hoặc x – y - 7 = 0.
C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 .    D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 .
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2
+ Tiếp tuyến ∆:
 
⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0.
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔  = 2√2 ⇔ |- 4a| = 2√2.
⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2
⇔ 
+ Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0
+ Nếu a = - b; chọn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:  và tọa độ M nguyên?
A. x + 2y + 3 = 0    B. 2x + 5y + 21 = 0
C. 2x - 3y - 19 = 0    D. Đáp án khác
Lời giải
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t).
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52
⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52
⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t =  ( loại) .
+ Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3):
(∆) : 
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0
Chọn C.
I. C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:
A. d: x + 3y - 2 = 0    B. d: x - 3y + 4 = 0
C. d: x - 3y - 4 = 0    D. d: x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D
Trả lời:
+ Đường tròn (C) có tâm I(  ;  ).
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.
+ Phương trình đường thẳng (d) : 
⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0
Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :
A. 10    B. 2√10    C.     D. √10
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .
Độ dài IM =  = √50 > R
⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MA = MB =  = √10
Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.
Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:
A. x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 1 = 0    C. 2x - y + 4 = 0    D. x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn ( C) có tâm I(  ;  ).
Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn (C).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ  = (-  ; -  ) = -  (1; 3) nên có phương trình:
1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0
Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x - 3y + 5 = 0    B. x + 3y - 4 = 0    C. x - 3y + 16 = 0    D. x + 3y - 16 = 0
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.
Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.
Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0
Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là
A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 .    B. x = 5 và y = -1.
C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0.    D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
Đáp án: B
Trả lời:
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.
+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT  ( A; B)
⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :
d( I ; ∆) = R ⇔  = 3
⇔ |-3A + 3B| = 3 ⇔ 9A2 - 18AB + 9B2 = 9A2 + 9B2
⇔ 18AB = 0 ⇔ 
+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0
+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0
Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là
A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.    B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.
C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0    D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
Đáp án: A
Trả lời:
+ Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R =  = √5
+ Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) .
+ ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi:
d(I ;∆) = R ⇔  = √5 ⇔ |m + 5| = 5
⇔ 
⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0
Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là
A. ( -  ; -  )    B. ( ;  )    C. ( ; -  )    D. ( -  ;  )
Đáp án: B
Trả lời:
Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng IH: 
⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0.
Do đường thẳng d và đường thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng
d: 2x + (m - 2)y – m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C) ?
A. m = 3    B. m = 15    C. m = 13    D. m = 3 hoặc m = 13.
Đáp án: D
Trả lời:
+ đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính .
+ d là tiếp tuyến của (C) khi va chỉ khi:
d(I, d) = R ⇔  = √5 ⇔ |1 - 2m| = √5.
→ m2 - 16m + 39 = 0 ⇔ 
Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:  và tọa độ M nguyên?
A. x + 2y + 3 = 0    B. 2x + 5y + 21 = 0
C. 3x + 5y - 8 = 0    D. Đáp án khác
Đáp án: B
Trả lời:
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t).
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29
⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29
⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t =  ( loại) .
+ Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M ( -3; -3):
(∆) : 
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 .

onthicaptoc.com viet phuong trinh tiep tuyen cua duong tron tai mot diem di qua mot diem