VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
+ Đường thẳng và đường tròn gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung
+ Đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung . Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm.
Khi đó, đường thẳng còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại .
+ Đường thẳng và đường tròn gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung,
* Nhận xét: Đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi , tiếp xúc với nhau khi và không giao nhau khi
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
* Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn
* Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt cắt nhau tại điểm thì:
+ Điểm cách đều hai tiếp điểm
+ là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
+ là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.
B. Các dạng toán
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài 1: Cho đường thẳng và điểm cách một khoảng bằng . Không vẽ hình, hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn .
a) b)
c)
Lời giải
a) Vì nên đường tròn không cắt đường thẳng
b) Vì nên đường tròn cắt đường thẳng
c) Vì nên đường tròn tiếp xúc đường thẳng
Bài 2: Cho đường thẳng và một điểm cách một khoảng . Xác định vị trí tương đối của với các đường tròn sau:
a) Đường tròn
b) Đường tròn
c) Đường tròn
Lời giải
a) Ta có , . Vì nên và đường tròn không giao nhau
b) Ta có , . Vì nên và đường tròn tiếp xúc nhau
c) Ta có , . Vì nên và đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
Bài 3: Cho đường tròn và đường thẳng . Gọi là chân đường vuông góc vẽ từ xuống , là độ dài của đoạn thẳng . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a)
b)
c)
Lời giải
a) ; Ta có , nên đoạn thẳng nằm trong đường tròn
Do đó, đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
b) ; Ta có , nên tiếp xúc với đường tròn tại điểm .
c) ; Ta có , nên nằm ngoài đường tròn
Do đó, đường thẳng cắt đường tròn không cắt nhau.
Bài 4: Trong hệ tọa độ cho điểm . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn tâm , bán kính với các hệ trục tọa độ.
Lời giải
Khoảng cách từ đến trục là
Khoảng cách từ đến trục là
Do đó đường tròn tiếp xúc với trục , vì
Đường tròn không cắt trục vì
Bài 5: Cho đường thẳng và một điểm cách một khoảng . Vẽ đường tròn tâm , bán kính
a) Giải thích vì sao và cắt nhau
b) Gọi và là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn . Tính độ dài của dây .
Lời giải
a) Vẽ vuông góc với tại . Ta có , suy ra
Suy ra cắt tại hai điểm.
b) Do , thuộc nên ta có suy ra cân tại
Có là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, là trung điểm của dây .
Trong tam giác vuông tại , ta có:
Suy ra
Bài 6: Cho tam giác nhọn có đường cao . Đường thẳng có tiếp xúc với đường tròn hay không? Vì sao?
Lời giải
Vì và thuộc đường thẳng nên khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng . Do đó, khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn.
Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
Bài 7: Cho bốn điểm , , , thẳng hàng như trong hình. Giả sử đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng thẳng . Nêu vị trí tương đối của đường thẳng và ba đường tròn cùng tâm lần lượt đi qua các điểm , , .
Lời giải
Đặt . Khi đó, là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
+ Vì và nên . Vậy đường thẳng và đường tròn không giao nhau
+ Vì nên đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
+ Vì và nên . Vậy đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Bài 8: Cho điểm nằm trong đường tròn . Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua đều cắt ở hai điểm phân biệt.
Lời giải
Vẽ tại (quan hệ đường xiên và đường vuông góc)
Vì nằm trong nên
Suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.
Bài 9: Chứng minh rằng một đường thẳng và một đường tròn không thể có quá hai điểm chung.
Lời giải
Giả sử đường thẳng và đường tròn có ba điểm chung , , theo thứ tự như hình vẽ bên.
Vì , , thuộc nên . Do đó tam giác cân tại
Suy ra , điều này vô lí vì , , thẳng hàng theo thứ tự ấy thì
Vậy điều giả sử là sai, do đó một đường thẳng và một đường tròn có không quá hai điểm chung.
Bài 10: Cho hình thang vuông (), , và cm. Tính và chứng minh rằng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn có đường kính .
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Vẽ tại , vẽ tại
Áp dụng định lí pythagore vào tam giác có:
Hình thang có là đường trung bình nên:
Suy ra đường tròn tiếp xúc với .
Bài 11: Cho vuông tại có là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn tâm bán kính
Lời giải
Vẽ
thuộc tia phân giác
Do đó đường thẳng và đường tròn tâm bán kính tiếp xúc nhau.
Bài 12: Cho vuông tại có
Vẽ đường tròn tâm bán kính . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng vầ đường tròn tâm bán kính .
Lời giải
Vẽ là đường cao của tam giác vuông
Ta có:
Do đó đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Bài 13: Cho hình thang vuông có . Chứng minh rằng tiếp xúc với đường tròn đường kính
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của và
Ta có: là đường trung bình của hình thang
Lại có:
Do đó tiếp xúc với đường tròn tâm đường kính .
Dạng 2: Nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
I. Phương pháp giải
a) Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Giả thiết
Đường thẳng , điểm thuộc
Kết luận
là tiếp tuyến của đường tròn
b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
Giả thiết
Đường tròn và đường thẳng
bằng khoảng cách từ đến và
Kết luận
là tiếp tuyến của đường tròn
c) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
II. Bài toán
Bài 1: Cho tam giác có đường cao . Tìm tiếp tuyến của đường tròn tại .
Lời giải
Xét ta có tại ( là đường cao của );
Suy ra là tiếp tuyến của tại .
Bài 2: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài nahu tại điểm . Gọi là tiếp tuyến của tại điểm . Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
Vì và tiếp xúc ngoài tại nên thẳng hàng.
là tiếp tuyến của tại điểm nên
Hay
Mà
Do đó
Hay . Vậy là tiếp tuyến của .
Bài 3: Cho đường tròn và điểm ở ngoài đường tròn. Gọi là giao điểm của đường tròn tâm đường kính và đường tròn . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của tại .
Lời giải
Vì lần lượt là đường kính, bán kính của đường tròn nên
Xét , ta có đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Suy ra tam giác vuông tại
Do đó tại với
Vậy đường thẳng là một tiếp tuyến của tại .
Bài 4: Cho hai đường tròn , cắt nhau tại hai điểm , sao cho đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của .
Lời giải
là tiếp tuyến của đường tròn
Suy ra
Xét và có:
(bán kính ); cạnh chung; (bán kính )
Do đó suy ra
Mà hay
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 5: Cho là một dây không đi qua tâm của đường tròn . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tiếp tuyến tại của ở điểm . Chứng minh rằng là một tiếp tuyến của .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và
Trong tam giác cân , đường cao (do ) cũng là đường phân giác của góc , suy ra
Ta có: (c-g-c), vì là cạnh chung, và
Từ đó (do là tiếp tuyến)
Vậy vuông góc với bán kính tại .
Do đó ta có cũng là tiếp tuyến của .
Bài 6: Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng và hai đường thẳng chéo cắt nhau tại . Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Xét có là trung điểm của , là trung điểm của
Suy ra là đường trung bình của
Do đó và tại nên tiếp xúc với tại .
Chứng minh tương tự với lần lượt là trung điểm của , , .
Bài 7: Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Vẽ hai đường tròn đường kính , đường tròn này cắt tại hai điểm phân biệt và . Kẻ là đường kính của đường tròn đường kính , kẻ là đường kính của đường tròn . Chứng minh rằng:
a) , là hai tiếp tuyến của
b) là tiếp tuyến của đường tròn
Lời giải
a) thuộc đường tròn đường kính nên
mà thuộc nên là tiếp tuyến của
Tương tự, ta có là tiếp tuyến của
b) thuộc đường tròn đường kính nên .
thuộc đường tròn đường kính nên
Từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng và tại .
Mà thuộc đường tròn nên là tiếp tuyến của .
Bài 8: Cho tam giác có và . Vẽ đường tròn tâm tiếp xúc với tại . Qua vẽ tia vuông góc với cắt tại điểm thứ hai (). Chứng minh rằng là tiếp tuyến của và là tam giác đều.
Lời giải
Tam giác vuông có
Ta có hai điểm đối xứng với nhau qua nên
Và
Do đó, là tiếp tuyến của và là tam giác đều.
Bài 9: Cho tam giác có Vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn
Lời giải
Ta có:
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 9: Cho đường tròn và một dây . Gọi là trung điểm của , vẽ bán kính đi qua . Từ vẽ đường thẳng . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Xét đường tròn , ta có (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuôn góc với dây)
Mà là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 10: Từ điểm ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến ( là tiếp điểm), là điểm trên đường tròn sao cho
a) Chứng minh rằng là tiếp điểm của đường tròn
b) là điểm trên . Đường thẳng qua vuông góc với tại cắt đường tròn tại (). Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn
Lời giải
a) Xét và , có:
là tiếp tuyến của đường tròn
b) là trung điểm của (định lí đường kính vuông góc với dây cung)
là đường trung trực của đoạn thẳng (tính chất đối xứng trục)
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 11: Cho , hai đường cao và cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của
Xét và vuông tại và ta có:
Suy ra bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính
b) Tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên
Ta có: ( cân)
(phụ với )
(Vì cân)
Do đó:
Ta có:
Hay
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
Tương tự ta chứng minh được là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
Bài 12: Cho vuông tại , đường cao .
Đường tròn tâm đường kính cắt tại , đường tròn tâm đường kính cắt
Tại . Chứng minh rằng:
a) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và tại
b) là tiếp tuyến của tại , tiếp tuyến của tại .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của thì là tâm của đường tròn đường kính
Gọi là trung điểm của thì là tâm của đường tròn đường kính
Ta có: là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Cũng vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Vậy là tiếp tuyến chung của đường tròn và
b) Ta có: là hình chữ nhật
Gọi là giao điểm của và
Ta có:
Lại có: là tiếp tuyến của đường tròn
Chứng minh được: là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 13: Cho cân tại có các đường cao và cắt nhau tại . Chứng minh
a) Đường tròn đường kính đi qua
b) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Lời giải
a) Chứng minh được:
b) Gọi là trung điểm của . Ta có:
-
- (cùng phụ với )
Bài 14: Cho tam giác có hai đường cao cắt nhau tại
a. Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên 1 đường tròn
b. Gọi là đường tròn đi qua bốn điểm và là trung điểm của .
Chứng minh là tiếp tuyến của
Lời giải
a) Xét
Vậy 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn
b) Xét , là trung điểm của
cân tại
Ta lại có cân tại
Mặt khác (cùng phụ với )
và là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 15: Cho đường kính . Vẽ dây sao cho , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng :
a. là tiếp tuyến của đường tròn
b.
Lời giải
a. Ta có: đều
Vậy vuông tại (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. cân tại
(g.g)
Bài 16: Cho tam giác vuông tại , có . Vẽ đường cao . Gọi là điểm đối xứng với qua . Vẽ đường tròn đường kính cắt ở
a. Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn
b. Tính
Lời giải
a. Ta có thuộc đường tròn
+) Gọi là trung điểm của là đường trung bình của hình thang cân tại
+) Ta có cân tại
(đpcm)
b. Xét
Ta có:
Bài 17: Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn tâm . Vẽ hình bình hành , tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng :
a. Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
b. đồng quy
Lời giải
a. Ta có cân tại
Vì tứ giác là hình bình hành

Từ đpcm
b. Gọi là giao điểm của và là trung điểm của ( là tiếp tuyến)
đồng quy (đpcm)
Bài 18: Cho tam giác cân tại . Vẽ đường tròn tâm đường kính cắt và lần lượt ở và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng :
a. cùng thuộc 1 đường tròn
b. là tiếp tuyến của đường tròn ở câu
Lời giải
a. Ta có là tâm đường tròn đường kính
vuông.
+) Gọi là trung điểm của
Vậy 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn
b. Có là trực tâm
là đường trung trực của thẳng hàng
Mà
là tiếp tuyến (đpcm)
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài
I. Cách giải:
Ta nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp điểm và sử dụng định lý pyatago.
II. Bài toán
Bài 1: Cho điểm cách đường thẳng 6cm, vẽ đường tròn
a. Chứng minh rằng đường tròn tâm và đường thẳng cắt nhau
b. Gọi hai giao điểm là và . Tính
Lời giải
a. Kẻ là khoảng cách từ đến
cắt tại và
b. Ta có (Quan hệ vuông góc đường kính và dây)
Xét
Bài 2: Cho hình vuông , trên đường chéo lấy điểm sao cho . Đường thẳng kẻ qua vuông góc với cắt ở .
a. So sánh:
b. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Lời giải
a. Ta có : (ch-cgv)
vuông cân

Từ (1)(2)
b. Ta lại có
mặt khác: đường thẳng tiếp xúc với
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm , đường kính , là 1 điểm thuộc nửa đường tròn, qua vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi và theo thứ tự là các hình chiếu của và trên tiếp tuyến ấy
a. Chứng minh rằng là trung điểm của
b. Chứng minh:
c. Giả sử: , gọi là giao điểm của với nửa đường tròn. Xác định dạng của tứ giác
d. Xác định vị trí của điểm trên nửa đường tròn sao cho tứ giác có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó theo bán kính của nửa đường tròn đã cho.
Lời giải
a. Hình thang có
là trung điểm của
b. Ta có:
c. Tứ giác là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
d.
Bài 4: Cho đoạn thẳng và trung điểm của . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ vẽ tia vuông góc với . Trên các tia và lấy theo thứ tự hai điểm và sao cho , kẻ
a. Chứng minh rằng thuộc đường tròn tâm đường kính
b. Xác định vị trí tương đối của với đường tròn
Lời giải
a. Kéo dài cắt ở , ta có :
(gcg)
b. Ta có thuộc đường tròn , tại
khoảng cách từ đến bằng bán kính của . Vậy tiếp xúc với tại .
Bài 5: Cho điểm cách đường thẳng một khoảng 12 cm
a. Chứng minh cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt
b. Gọi hai giao điểm của với là . Tính độ dài đoạn thẳng
Lời giải
a) Kẻ cắt tại hai điểm và
b) Tính được :
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm là điểm thuộc và gọi d là tiếp tuyến qua với với . Kẻ và cùng vuông góc với ; vuông góc với
a. Chứng minh: và
b. Khi di chuyển trên một nửa đường tròn, tìm vị trí của điểm để có độ dài lớn nhất.
Lời giải
a) Chứng minh được là đường trung bình của hình thang nên là trung điểm của . Chứng minh được :
b) Ta có:
là điểm chính giữa .
Dạng 3: Bài toán vận dụng tính chất tiếp tuyến

onthicaptoc.com Bai 16 VI TRI TUONG DOI CUA DUONG THANG VA DUONG TRON