SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
*****
Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số .
a) Giải phương trình với a = 1.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2.
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6.
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.
b) Từ đó suy ra :
Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng SABCD (MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.
HẾT
----------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:……………
Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….……………………
SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010
MÔN : TOÁN (Hệ số 2)
-------
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:
CÂU
ĐÁP ÁN
Điểm
Câu 1a.
(2,0đ)
Ta có phương trình :
Khi a =1 , (1)
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.
Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: (3).
Đặt và .
Phương trình (3) viết lại là :
Giải (3) ta được hai nghiệm và đều không thỏa điều kiện |t|³ 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu1b.
(2,0đ)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho x2 ta có phương trình : .
Đặt , phương trình sẽ là : t2 + at - 1 = 0 (4).
Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ³ 2. Từ (4) suy ra .
Từ đó :
Vì |t| ³ 2 nên t2 >0 và t2 – 4 ³ 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a2 > 2.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 2a.
(2,0đ)
Điều kiện : .
Đặt :
Phương trình đã có trở thành hệ :

Suy ra : (3+uv)2-2uv = 9
.
Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 2b.
(2,0đ)
Ta có hệ phương trình :



.
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 3.
(3,0đ)
Ta có  : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = 6 (1)

Suy ra : z2 3 và 2z2 £ 33
Hay |z| £ 3.
Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3.
a) z = 0 , (2) Û (x-3)2 + 2y2 = 11 (3)
Từ (3) suy ra 2y2 £ 11 Þ |y| £ 2.
Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}.
b) |z| = 3, (2) Û (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)
Từ (4) Þ 11y2 £ 5 Þ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 4a.
(2,0đ)
Lập phương 2 vế của (1) ta được :


(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(3)
(4)
Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu4b.
(1,0đ)
Áp dụng BĐT (1) với
Ta có : abc = 3 + , xyz = 3-, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó : (đpcm).
0,50
0,50
Câu 5a.
(2,0)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của
QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ = (trung tuyến D vuông MBN)
Tương tự DK =.
IJ = (IJ là đtb D MNQ).
Tương tự IK =.
Vì BD £ BJ + JI + IK + KD. Dođó:
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu5b.
(1,0)
Chu vi tứ giác MNPQ là :
MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ
= 2(BJ + JI + IK + KD) ³ 2BD (cmt)
Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.
0,50
0,50
Câu 6.
(3,0đ)
Kí hiệu như hình vẽ.
Phần thuận :
(giả thiết)
Þ tứ giác AOBM luôn nội tiếp
Þ (vì DAOB
vuông cân tại O)
Suy ra M luôn nằm trên đường
thẳng đi qua O và tạo với đường
PQ một góc 450.
Trường hợp B ở vị trí B’ thì M’
nằm trên đường thẳng đi qua O
và tạo với PS một góc 450.
Giới hạn :
*) Khi A º H thì M º Q, khi A º K thì M º S
*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A º H thì M’ º P, khi A º K thì M’ º R
Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A. Kẻ bán kính OB ^ OA.
Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì )
Suy ra : .
Mà AM//PQ , PQ ^PS Þ MB//PS.
Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
MÔN TOÁN CHUYÊN
Bài 1.(2điểm)
a/Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:
b/ Chứng minh rằng:
Bài 2 (2.5 điểm)
Cho phương trình ẩn x: (1) (m là tham số)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
b. Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho biểu thức: có giá trị lớn nhất
Bài 3 (2 điểm)
a. Giải hệ phương trình sau :
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
Bài 4.(3 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
HẾT
----------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:……………
Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….……………………
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1.
(2điểm)
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:
b. Chứng minh rằng:
a.
(1.0đ)
Bđt
0.25
Û
0.25

Luôn đúng với mọi k nguyên dương.
0.25

0.25
b.
(1.0đ)
Áp dụng kết quả câu a ta có:
0.25
0.25
0.25
(đpcm)
0.25
Bài 2
(2.5 điểm)
Cho phương trình ẩn x: (1) (m là tham số)
a.Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
b. Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho biểu thức: max
a.
(1,5đ)
Pt (1) có nghiệm
0.5
Tìm được và KL.
1.0
b.
(1,0đ)
Tính suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt .
0.5
Theo ĐL Vi-et ta có Þ
0.25
Max A = 0 khi và chỉ khi
KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.
0.25
Bài 3
(2 điểm)
a. Giải hệ phương trình sau :
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
a
(1.0đ)
Hệ phương trình đã cho
0.5
hoặc
0.5
b
(1.0đ)
Ta có (1)
0.25
(2)
0.25
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; x = 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là
(1 ; 2), (-1 ; 0)
0.25
Bài 4.
(3 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
d. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
a.
2.0đ
( Cùng chắn cung BM)
( Cùng chắn cung DM)
Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn
1.5
Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)
Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND
Nên M, N, C thẳng hàng.
0.5
b.
1.0đ
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD
NHOK là hình chữ nhật
Ta có :

Suy ra
0.5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0.5
Bài 5.
(0.5 điểm)
Cho góc xOy bằng , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
* Chỉ ra đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn bài toán
* Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1 nguyên dương. Đường thẳng đi qua A, B cắt tia Oy tại C.
Chứng minh được
là số nguyên dương
Suy ra là một đường thẳng cần tìm.
* Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được đường thẳng
* Chứng minh phân biệt. ĐPCM
0.5
Hướng dẫn chung
1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải trình bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không cho điểm hình vẽ )
3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
4. Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn).
SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề chính thức
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho số x thoả mãn điều kiện: x2 + = 7
Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 +
2. Giải hệ phương trình:
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: () có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: + + =
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm))
1. Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại . Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: .
2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA=.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức ,trong đó .
Chứng minh rằng: .
Hết
......................................................
SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
(Đáp án này gồm 04 trang)
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +)2 = 9 Þ x + = 3 (do x > 0)
Þ 21 = (x +)(x2 + ) = (x3 +) + (x +) Þ A = x3 +=18
Þ 7.18 = (x2 + )(x3 +) = (x5 +) + (x +)
Þ B = x5+= 7.18 - 3 = 123
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Từ hệ suy ra (2)
Nếu thì nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y
thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo Viét, ta có: , .
Khi đó = ( Vì a 0)
=
Vì nên và

Do đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Tức là Vậy maxQ=3
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
1
ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Phương trình đã cho tương đương với:
x + y + z = 2 +2 +2
Û (- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = 0
- 1 = 0 x = 3
- 1 = 0 Û y = - 2008
- 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Nhận xét: p là số nguyên tố Þ 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5
Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)
y = 6p2 + 1 Þ 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
Þ x chia hết cho 5 mà x > 5 Þ x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
Þ 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 Þ y chia hết cho 5 mà y > 5
Þ y không là số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố Þ p = 5
Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố
Vậy: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1.
2.
5.
D
C
N
A
B
I
K
M
E










Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM
Ta có IBE = MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM , MEI vuông cân tại E
Suy ra
Mặt khác: IM // BN
tứ giác BECK nội tiếp
Lại có: . Vậy
O

onthicaptoc.com Tuyển tập 7 đề thi có đáp án tuyển sinh THPT môn toán chuyên tỉnh Phú Yên