TUYỂN TẬP
150 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN LỚP 7
Họ và tên:...........................................................................................................
Lớp: ....................................................................................................................
Trường: ..................................................................................................................
Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ
Quảng Nam, tháng 12 năm 2016
Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn
TRùC NINH
n¨m häc 2008 - 2009
*****
m«n: To¸n 7
(Thêi gian lµm bµi:120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
®Ò chÝnh thøc
§Ò thi nµy gåm 01 trang
Bµi 1: (3,5 ®iÓm)
Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
3 4 7 4 7 7
   
a) :: 
   
7 11 11 7 11 11
   
1 1 1 1 1
b)   ... 
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
Bµi 2: (3,5 ®iÓm)
T×m x; y; z biÕt:
a) 2009 – x 2009 = x
2008
2
2008
b) 2x1  y  xyz  0
 

5

Bµi 3: (3 ®iÓm)
3a 2b 2c5a 5b3c
T×m 3 sè a; b; c biÕt:  vµ a + b + c = – 50
5 3 2
Bµi 4: (7 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC ; gãc A tï). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia
®èi cña CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Trªn tia ®èi cña CA lÊy ®iÓm I sao cho CI =
CA.
C©u 1: Chøng minh:
a) ABDICE
b) AB + AC < AD + AE
C©u 2: Tõ D vµ E kÎ c¸c ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi BC c¾t AB; AI theo thø
tù t¹i M; N. Chøng minh BM = CN.
C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam gi¸c ABC nhá h¬n chu vi tam gi¸c AMN.
Bµi 5 (3 ®iÓm):
a
T×m c¸c sè tù nhiªn a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008 + 2008.a + b) = 225
§¸p ¸n §Ò thi HSG m«n To¸n 7
Bµi 1: 3 ®iÓm
C©u a: 1 ®iÓm (kÕt qu¶ = 0).
C©u b: 2 ®iÓm
1 1 1 1 1
  ... 
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
1 1 1 1 1

    ...

99.97 1.3 3.5 5.7 95.97

1 1 1 1 1 1 1 1 1

  1     ... 

99.97 2 3 3 5 5 7 95 97

1 1 1

  1

99.97 2 97

1 48

99.97 97
4751

99.97
Bµi 2: 3,5 ®iÓm
C©u a: 2 ®iÓm
- NÕu x  2009  2009 – x + 2009 = x
 2.2009 = 2x
 x = 2009
- NÕu x < 2009  2009 – 2009 + x = x
 0 = 0
VËy víi  x < 2009 ®Òu tho¶ m·n.
2009xx 2009 
- KÕt luËn : víi x  2009 th×
HoÆc c¸ch 2:
2009xx 2009 
 2009xx  2009
xx 2009   2009
 
x 2009
C©u b: 1,5 ®iÓm
1
2 9
x
y z
; ;
2
5 10
Bµi 3: 2,5 ®iÓm
3a 2b 2c 5a 5b 3c

5 3 2
15a10b 6c15a 10b 6c
  
25 9 4
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cã:
15a10b 6c15a 10b 6c 15a10b 6c15a10b 6c
    0
25 9 4 38
ab



23
15a10b 0 3a 2b


  ac
 6c15a 0  2c 5a 
  
25
  
10b 6c 0 5b 3c

cb



53

abc

VËy
2 3 5
a10


 b15

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau

c25

Bµi 4: 7 ®iÓm
A
M
O C E
B
D
N
I
C©u 1: mçi c©u cho 1,5 ®iÓm
ABD ICE cgc
 
C©u a: Chøng minh
C©u b: cã AB + AC = AI
V× ABD ICEADEI (2 c¹nh t­¬ng øng)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c trong AEI cã:
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
C©u 2: 1,5 ®iÓm
Chøng minh BDM = CEN (gcg)
v v
 BM = CN
C©u 3: 2,5 ®iÓm
V× BM = CN  AB + AC = AM + AN (1)

cã BD = CE (gt) BC = DE
Gäi giao ®iÓm cña MN víi BC lµ O ta cã:
MOOD

MONOODOE

NOOE

MN DE
MN BC 2
 
ABC AMN
Tõ (1) vµ (2)  chu vi nhá h¬n chu vi
Bµi 5: 2 ®iÓm
a
Theo ®Ò bµi  2008a + 3b + 1 vµ 2008 + 2008a + b lµ 2 sè lÎ.
a
NÕu a 0  2008 + 2008a lµ sè ch½n

a
®Ó 2008 + 2008a + b lÎ  b lÎ
NÕu b lÎ  3b + 1 ch½n do ®ã
2008a + 3b + 1 ch½n (kh«ng tho¶ m·n)
VËy a = 0
Víi a = 0  (3b + 1)(b + 1) = 225
V× b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 3b + 1 > b + 1
3b1 25

 b 8

b19

VËy a = 0 ; b = 8.
®Ò KH¶O S¸T häc sinh giái líp 7
M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bµi 1: TÝnh
2 3 3
3 1 3 1
     
2
5  2 : 
a) A =      
5 4 4 2
     
2010
2009
0
2


4 1 7 1 8

  2:

b) B = 

24
11 25 22 2 4

 

Bµi 2 : T×m x biÕt
11
b) 2x1x 4
ax) 1  : 4
55
Bµi 3:
a) T×m a , b , c BiÕt: 3a = 2b ; 4b = 5c vµ - a - b + c = - 52 .
2
2xx5 3
3
x
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = t¹i
21x
2
Bµi 4:
Bèn con Ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong mét ngµy , mét con Dª ¨n hÕt mét xe cá trong s¸u ngµy ,
hai con Cõu trong 24 ngµy ¨n hÕt hai xe cá . Hái chØ ba con (Ngùa , Dª vµ Cõu) ¨n hÕt hai xe cá trong
mÊy ngµy ?
Bµi 5:
Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M lµ trung ®iÓm cña BC . §­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c
cña gãc A t¹i M c¾t c¹nh AB , AC lÇn l­ît t¹i E vµ F .
Chøng minh :
a) EH = HF
2BMEACB B
b) .
2
FE
22
AH AE
c) .
4
d) BE = CF .
®¸p ¸n
( H­íng dÉn chÊm nµy gåm hai trang )
C©u ý Néi dung §iÓm
3 3 3
9 3 1 9 4 1 1
     
22
A 3  :   3     9 27 0, 5
     
a
4 4 2 4 3 2 2
     
(0,75)
35
1
 0,25
(1,5®) 2
2009
2010
8
4 7 1 2
b 
=    11 0 0,75
 
26
(0,75)
11 11 2 2


1 6 1 26 1
a
:x4  :x  x
(0,5) 0,5
5 5 5 5 26
... 2xx1 4 (1)
0,25
2
* Víi 2x – 1  0 tõ (1) ta cã 2x – 1 = x + 4
(1,5 ®)
0,25
b
 x = 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2x – 1  0
(1,0)
* Víi 2x – 1 < 0 th× tõ (1) ta cã 1 – 2x = x + 4  x
0,25
= - 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2x – 1 < 0
§¸p sè : x = 5 ; x = -1 0,25
1 2
a b a b
Gi¶i : Tõ 3a = 2b     .
2 3 10 15
0,25
b c b c
Tõ 4b = 5c    
3 a
5 4 15 12
(1,5®) (0,75)
a b c cab 52
      4 0,25
10 15 12 121015 13
 a = 40 ; b = 60 ; c = 48 0,25
2
2xx5 3 3
BiÓu thøc C = t¹i x
21x 2
3 33
V× x xx ; 
0,25
12
2 22
Thay x = -3/2 vµo biÓu thøc C ta ®­îc
1
2
33
   
2   5   3
   
22 15
0,25
   
C = 
b
3
 4
21  
(0,75) 
2

Thay x = 3/2 vµo biÓu thøc C ta ®­îc
2
2
33
   
2  5  3
   
22 0,25
   
C =  0
3

21

2

VËy khi x = -3/2 th× C = -15/4
1
khi x = 3/2 th× C = 0
2
Gi¶i :
V× bèn con ngùa cïng ¨n hÕt xe cá trong 1 ngµy ,
do ®ã mét con ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong 4 ngµy .
4
0,5
Mét con dª ¨n hÕt mét xe cá trong 6 ngµy .
(2®)
Hai con cõu ¨n hÕt hai xe cá trong 24 ngµy nªn mét con
cõu ¨n hÕt mét xe cá trong 12 ngµy .
1
Trong mét ngµy : mét con ngùa ¨n hÕt (xe cá )
4
1
mét con dª ¨n hÕt (xe cá ) 0,5
6
1
Mét con cõu ¨n hÕt (xe cá )
12
1 1 1 1
C¶ ba con ¨n hÕt :    (xe cá)
0,5
4 6 12 2
.
C¶ ba con ¨n hÕt 1 xe cá trong 2 ngµy nªn ¨n hÕt 2 xe cá
0,5
trong 4 ngµy
VÏ h×nh ®óng
A
5 (0,5) E 0,5
1
( 3,5®)
M
B
C
H
D
F
a
C/m ®­îc AEHAFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (®pcm) 0,75
(0,75)
Tõ AEHAFH Suy ra EF
1
XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra CMFACB F
b
0,75
BME cã E lµ gãc ngoµi suy ra BMEE B
1 1
(0,75)
vËy CMFBME (ACBF) (E B)
1
hay 2BMEACB B (®pcm).
¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo tam gi¸c vu«ng AFH :
c
2
FE 0,5
2 2 2 22
(0,5)
ta cã HF + HA = AF hay AH AE (®pcm)
4
0,25
C/m AHEAHF()gcg Suy ra AE = AF vµ EF
1
Tõ C vÏ CD // AB ( D  EF )
0,25
C/m ®­îc BMECMD(gcg)BECD (1)
d 0,25
vµ cã E CDF (cÆp gãc ®ång vÞ)
1
(1,0)
do do ®ã CDFF  CDF c©n  CF = CD (
2) 0,25
Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF
§Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng n¨m häc 2009-2010
M«n: to¸n
Líp 7
Thêi gian: 120 phót
ĐỀ BÀI
Bài 1(4 điểm)
a/ Tính:
3 3 3 1 1 1
   
4 11 13 2 3 4
A= 
5 5 5 5 5 5
   
7 11 13 4 6 8
b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
yzx zxy x yz
 
x y z
Hãy tính giá trị biểu thức:
x y z
  
B = 111 .
  
y z x
  

Bài 2 (4điểm)
12
2
a/ Tìm x,y,z biết: x  y  x xz  0
23
n22n n n
b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3 2 3 2 chia hết cho 10.
Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh
máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi
mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu
đến khi đánh máy xong.
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K
thẳng hàng.
0 0
c/ Từ E kẻ EH BC (H  BC). Biết góc HBE bằng 50 ; góc MEB bằng 25 , tính các góc HEM
và BME ?
2
2
Bài 5(2điểm): Tìm x, y  N biết: 36yx 8  2010
 
H­íng dÉn chÊm
Bµi ý Nội dung Điểm
a
1 1 1
 
3 3 3 1 1 1 3x135
1 1 1
3  
 
     
4 11 13 2
4 11 13 2 3 4   2 3 4 4x11x13
2

+  = +
5 5 5 5 5 5 5x129
 1 1 1  5 1 1 1 5
1
   
5    
   
7 11 13 4 6 8 7x11x13
7 11 13 2 2 3 4
   
3x135 7x11x13 2 189 2 189x5172x2 1289
4 ®iÓm
= x + =  = =
4x11x13 5x129 5 172 5 172x5 860
b 0,5
yzx zxy xyz yz zx xy
Ta có:   1 1 1
x y z xyz
2 xy z
yz zx xy   0,5
     2
x y z xy z
0,5
x y z xy yz zx
  
 B111    ..
  
0,5
y z x y z x
  

xy zx yz
 . .  2.2.2 8
z y x
Vậy B=8
a
12
2
x  y  x xz  0
2
23
0,25
Áp dụng tính chất A  0
 1
1 1
 
x 0
x 0 x

  1,5
2
2 2

 
 2
4 điểm 22 
yy 00    y
 
3
33
 
2
  1
x xz 0
 
xxz 0
zx 
0,25
 
2
 

Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
n22n n n n22n n n
b 0,75
Ta có: 3 2 3 2 = (3 3 )(2  2 )
0,5
nn22
 3 3 1  2 2 1
   
0,5
nn
n n-1
3 .10 2 .5 = 10.(3 – 2 )
0,25

onthicaptoc.com Tuyển tập 150 đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 – Hồ Khắc Vũ