TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN
TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN LỚP 9
Họ và tên: ....................................................................................................
Lớp: .............................................................................................................
Trường: ...........................................................................................................
Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ
TP Tam Kỳ, tháng 11 năm 2016
Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶I ph­¬ng tr×nh v« tØ
1.Ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
22 2
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. 3x  6x 7 5x 10x14 = 4 – 2x – x
Gi¶i:
VÕ tr¸i :
2 2
3 x1 4 + 5 x1  9 4 9 = 5
   
2 2
VÕ ph¶i : 4 – 2x –x = 5 – (x+1) ≤ 5.
VËy pt cã nghiÖm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = 5.
x+ 1 = 0  x = -1.
3
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. xx 2 1 3
Gi¶i :
+ §iÒu kiÖn : x≥ -1
Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh.
3
Víi x > 3 th× x 2 > 1 ; x1>2 nªn vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh lín h¬n 3.
3
Víi -1 ≤ x < 3 th× x 2 < 1 ; x1< 2 nªn vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh nhá
h¬n 3.
VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt.
2
34 x 4x1
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + =-16x -8x+1 (1)
Gi¶i
1 3
  x
§K: (*)
4 4
Ta cã
2
3 4x 4x1  3 4x 2 (3 4x)(1 4x)1 4x
 
 4 2 (3 4xx)(1 4 ) 4
 3 4x 1 4x  2
(2)
2 2
L¹i cã : -16x -8x+1=2-(4x+1) 2 (3)

Tõ (2) vµ (3) ta cã:

 3 4x 2 (3 4x)(1 4x)1 4x 4
3 4x 1 4x  2 


(1)
 
2
2
 
16x  8x1 2 16x  8x1 0
 
 3

x


4



 1
(3 4x)(1 4x)  0


x 1



  x
 (tho¶ m·n(*))
1  4

4
x

 4 
1
x

 4
Trường THCS Định Hưng
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên người ra đề: Bùi Văn Hùng
Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn
ĐỀ BÀI:
2 x 3
 
x x3 x 3
Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P = 
x2 x 3 x 1 3 x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 146 5
c) Tìm GTNN của P
Câu 2(4,0 điểm):
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x  x1 m
Câu (3,0 điểm):
Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai
16
chữ số của nó có phân số tối giản là và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ
9
số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là
đường kính của đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn, D  (O), E  (O’), K là giao điểm của BD và CE.
a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE.
2 2 2
Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : 3x  6x 7 5x 10x 21 5 2x x .
Tr­êng THCS: Yªn Tr­êng
§Ò thi m«n:To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150p
Hä vµ tªn ng­êi ra ®Ò: TrÞnh ThÞ Giang
C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò(§èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn):……………
§Ò thi
C©u1:
x 2 x 1 x1
Cho biÓu thøc: A= (   ) :
2
x x1 x x1 1 x
Víi x>0 vµ x 1
a) Rót gän biÓu thøc A
b) Chøng minh r»ng: 0< A < 2
C©u2: Cho c¸c ®­êng th¼ng
(d ): y = mx -5
1
(d ): y = -3x +1
2
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d ) vµ (d ) khi m = 3
1 2
b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó M(3; -8) lµ giao ®iÓm cña (d ) vµ (d )
1 2
C©u3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
3 3
a) 1+ x16 x 3
b) xy – x – y = 5
yz - y- z = 5
zx –z –x =7
C©u4: Cho hai ®­êng trßn cã chung t©m lµ ®iÓm Ovµ cã b¸n kÝnh lÇn l­ît lµ R vµ
R
. Tõ mét ®iÓm A c¸ch t©m O Mét ®o¹n OA = 2R, ta kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC
2
®Õn ®­êng trßn (O ; R). Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AO víi ®­êng trßn
(O; R) vµ ®iÓm O thuéc ®o¹n th¼ng AD.
R
a) Chøng minh ®­êng th¼ng BC tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O ; )
2
b) Chøng minh tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu
R
c) Chøng minh r»ng ®­êng trßn (O ; ) néi tiÕp trong tam gi¸c BDC.
2
Tr­êng THCS §Þnh T­êng
§Ò thi m«n: To¸n.
Thêi gian lµm bµi: 150 phót.
Hä vµ tªn ng­êi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu.
C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn).
§Ò thi:
C©u 1: (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc
 
x y x y
 xy 2xy
 
 
A  : 1
 
 
1xy
1 xy 1 xy
 
 
a, Rót gän A
2
b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x
2 3
c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A.
C©u 2: (4 ®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
2 2

x  9y  9 6xy


2 2

x  4xy  4xy 4

C©u 3: (2 ®iÓm)
Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi
2 2 2
x  2y1 y  2z1 z  2x1 0
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
2010 2010 2010
Px  y z
C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a.
2 2 2
Chøng minh r»ng: b a c  2ac.cosB
C©u 5: (4 ®iÓm):
Cho ®­êng trßn (O;R) vµ ®­êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M
trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ
trung ®iÓm cña AB.
a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®­êng trßn.
b, Chøng minh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh
khi M di ®éng trªn ( d)
e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng.
C©u 6: (2 ®iÓm)
4
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c ­íc tù nhiªn cña p lµ 1
sè chÝnh ph­¬ng.
Tr­êng THCS §Þnh T­êng
§Ò thi m«n: To¸n.
Thêi gian lµm bµi: 150 phót.
Hä vµ tªn ng­êi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu.
C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn).
§Ò thi:
C©u 1: (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc
 
x y x y
 xy 2xy
 
 
A  : 1
 
 
1xy
1 xy 1 xy
 
 
a, Rót gän A
2
b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x
2 3
c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A.
C©u 2: (4 ®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
2 2

x  9y  9 6xy


2 2

x  4xy  4xy 4

C©u 3: (2 ®iÓm)
Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi
2 2 2
x  2y1 y  2z1 z  2x1 0
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
2010 2010 2010
Px  y z
C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a.
2 2 2
Chøng minh r»ng: b a c  2ac.cosB
C©u 5: (4 ®iÓm):
Cho ®­êng trßn (O;R) vµ ®­êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M
trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ
trung ®iÓm cña AB.
a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®­êng trßn.
b, Chøng minh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh
khi M di ®éng trªn ( d)
e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng.
C©u 6: (2 ®iÓm)
4
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c ­íc tù nhiªn cña p lµ 1
sè chÝnh ph­¬ng.
Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ë THCS
I . kiÕn thøc c¬ b¶n
1. C¸c ®Þnh nghÜa
1.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu
thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D :
M. ®­îc gäi lµ GTLN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi
tho¶ m·n :
1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D
2.  (x , y ,...)  |D sao cho f(x , y ...) = M.
0 0 0 0
Ký hiÖu : M = Max f(x,y,..) = f víi (x,y,...)  |D
max
1.2. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu
thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D :
M. ®­îc gäi lµ GTNN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D ®Õn 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi
tho¶ m·n :
1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D
2.  (x , y ,...)  |D sao cho f(x , y ...) = M.
0 0 0 0
Ký hiÖu : M = Min f(x,y,..) = f víi (x,y,...)  |D
min
2. C¸c kiÕn thøc th­êng dïng
2.1. Luü thõa :
2 2k 2k
a) x  0 x  |R  x  0 x  |R, k  z  - x  0
2k 2k
Tæng qu¸t : f (x)  0 x  |R, k  z  - f (x)  0
2k
Tõ ®ã suy ra : f (x) + m  m x  |R, k  z
2k
M - f (x)  M
2k
b) x  0 x  0  ( x )  0 x0 ; k z
2k
Tæng qu¸t : ( A )  0  A 0 (A lµ 1 biÓu thøc)
2.2 BÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :
a) |x|  0  x|R
b) |x+y|  |x| + |y| ; nÕu = x¶y ra  x.y  0
c) |x-y|  |x| - |y| ; nÕu = x¶y ra  x.y  0 vµ |x|  |y|
2.3. BÊt ®¼ng thøc c«si :
a a  ....a
1 2 n
n
ai  0 ; i = 1,n :  a .a .....a nN, n 2.
1 2 n
n
dÊu = x¶y ra  a = a = ... = a
1 2 n
2.4. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki :
Víi n cÆp sè bÊt kú a ,a ,...,a ; b , b , ...,b ta cã :
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2
(a b + a b +...+a b )  (a  a ....a ).(b b  ....b )
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a
i
DÊu = x¶y ra  = Const (i = 1,n )
b
i
2.5. BÊt ®¼ng thøc Bernonlly :
n
Víi a  0 : (1+a)  1+na n N.
DÊu = x¶y ra  a = 0.
 Mét sè BÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n th­êng gÆp ®­îc suy ra tõ bÊt ®¼ng
2
thøc (A+B)  0.
Chuyªn §Ò: Gi¶i Ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
I-Ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng:
ax + by = c (1) víi a, b, c  Z
1.C¸c ®Þnh lÝ:
a. §Þnh lÝ 1: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh ax + by = c (trong ®ã a,b,c lµ c¸c sè
nguyªn kh¸c 0 ) cã nghiÖm nguyªn (a,b) lµ ­íc cña c.
b.§Þnh lÝ 2: NÕu (x , y ) lµ mét nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh ax + by = c th× nã cã
0 0
v« sè nghiÖm nguyªn vµ nghiÖm nguyªn (x,y) ®­îc cho bëi c«ng thøc:
b

x x  t
0


d

Víi t є Z, d = (a,b)
a

y y  t
0

 d
2.C¸ch gi¶i:
B­íc 1: Rót Èn nµy theo Èn kia (gi¶ sö rót x theo y)
B­íc 2: Dùa vµo ®iÒu kiÖn nguyªn cña x, tÝnh chÊt chia hÕt suy luËn ®Ó t×m y
B­íc 3: Thay y vµo x sÏ t×m ®­îc nghiÖm nguyªn
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
2x + 5y =7
7 5y
H­íng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7  x =
2
1 y
 x = 3 – 2y +
2
1 y 1 y
Do x, y nguyªn  nguyªn. §Æt = t víi (t є Z )
2 2
 y = 1 – 2t  x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh lµ:
x = 5t + 1
y = -2t +1 (t є Z )
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
6x – 15 y = 25
H­íng dÉn:
Ta thÊy( 6,15 ) = 3 mµ 3/25
Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9
Bµi tËp n©ng cao ch­¬ng I ®¹i sè 9
1
Bµi 1: Cã hay kh«ng mét sè thùc x ®Ó cho x15vµ 15 ®Òu lµ sè nguyªn
x
Bµi 2: T×m x, y tháa m·n c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
22 22
a) x  4x 5 9y 6y11 b) 6y y  5 x 6x101
Bµi 3: Rót gän c¸c biÓu thøc:
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m1 m 2 m1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3
Bµi 4: Rót gän c¸c biÓu thøc:
6 2 6 3 2  6 2 6 3 2
   
96 2 6
a) A ` b) B
2 3
Bµi 5: So s¸nh:
a) 620 vµ 1 6 b) 1712 2 vµ 2 1 c) 2816 3 vµ 3 2
2
101 3
 
110 70 42 6 1218 6
Bµi 6: Rót gän a) b) c) d)
22 14 21 18 26 2 103 1
Bµi 7: TÝnh a) 5 3 296 20 b) 2 3 5 13 48

c) 7 48  2816 3 . 7 48


22
a a  b a a  b
2
Bµi 8: Chøng minh: ab   (víi a , b > 0 vµ a – b > 0)
22
¸p dông kÕt qu¶ nµy ®Ó rót gän:
23 2 3 32 2 3 2 2
a)  b) 
2 2 3 2 2 3 1712 2 17 12 2
c) 2 3. 2 4 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3
2 10 30 2 2 6 2
d) :
2 102 2 3 1
2
2xx 1
Bµi 9: Cho biÓu thøc P(x)
2
3x4x 1
a) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x).
b) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(-x) < 0
x 2 4 x 2  x 2 4 x 2
Bµi 10: Cho biÓu thøc: A
44
1
2
xx
a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn.
Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (nÕu cã) hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau:
2
a) 9x b) xx (x 0) c) 12 x d) x5 4 e) 12 1 3x

onthicaptoc.com Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 – Hồ Khắc Vũ