onthicaptoc.com
TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Câu 1. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là và Thể tích vật thể là bao nhiêu?
Câu 2. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số Đồ thị của hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới.
Biết rằng diện tích các phần hình phẳng và lần lượt là Nếu thì bằng bao nhiêu?
Câu 3. Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (cm) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là (cm) và chiều rộng là (cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Câu 4. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là , ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là (xem hình dưới). Tính thể tích của vật thể đã cho.
Câu 5. Cho hàm số . Đồ thị hàm số là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng và lần lượt là và . Tính giá trị của , biết giá trị của .
Câu 6. Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy (cm)() thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+)(cm). Tìm (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?
Câu 7. Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (mét) () thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là và . Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).
x
Câu 8. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi , trục Ox và hai đường thẳng x = - 2 , x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Câu 9. Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là . Hãy tính dung tích của cái lu nước trên
Câu 10. Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (dm) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính (dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).
Câu 11.  Trên mặt phẳng tọa độ vẽ nửa đường tròn tâm , bán kính nằm phía trên trục . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục và đường thẳng (Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục .
Câu 12. Một bình chứa nước có dạng như hình dạng như hình vẽ. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao thì mặt nước là hình vuông có cạnh . Tính dung tích của bình.
Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến của tại và . ( làm tròn đến hàng phần trăm)
Điền đáp án:…………………….
Câu 14: Gọi là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng với là tham số thực. Tìm để nhỏ nhất.
Câu 15: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường và
Câu 16: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và , với . Tìm để diện tích hình phẳng gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó thì giá trị của bằng bao nhiêu?
Câu 17: Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được ( quy tròn đến hàng đơn vị của decimét khối).
Câu 18: Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và thoả mãn , với . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , ; và . Khi thì bằng?
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là và Thể tích vật thể là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp số:
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
Câu 2. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số Đồ thị của hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới.
Biết rằng diện tích các phần hình phẳng và lần lượt là Nếu thì bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp số:
Theo đề bài ta có:
;
Từ đó suy ra :
Câu 3. Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (cm) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là (cm) và chiều rộng là (cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Lời giải
Đáp số: 62,6
Diện tích của mặt cắt là: (cm2)
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: (cm3).
Câu 4. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là , ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là (xem hình dưới). Tính thể tích của vật thể đã cho.
Lời giải
Đáp số: .
Ta có: mặt cắt của vật thể là một hình vuông có cạnh là nên diện tích mặt cắt là:
, do .
Thể tích của vật thể đã cho là:
.
Câu 5. Cho hàm số . Đồ thị hàm số là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng và lần lượt là và . Tính giá trị của , biết giá trị của .
Lời giải
Đáp số: .
Ta có:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:
.
Lại có:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , đường thẳng và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:
.
Suy ra .
Vậy .
Câu 6. Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy (cm)() thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+)(cm). Tìm (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?
Lời giải
Đáp số: 8,94.
Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình
Đặt t =(t>0)
Ta được phương trình . Đặt
nên đồng biến trên
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t
Vậy (cm)
Câu 7. Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (mét) () thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là và . Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).
x
Lời giải
Đáp số: 9.
Thể tích lều được tính bởi công thức
Câu 8. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi , trục Ox và hai đường thẳng x = - 2 , x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Lời giải
Đáp số:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bởi , trục hoành, hai đường thẳng khi xoay quanh trục Ox là:
Câu 9. Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là . Hãy tính dung tích của cái lu nước trên
Lời giải.
Đáp số: (dm3)
Diện tích đáy của hình trụ là:
Dung tích của lu nước là:
Câu 10. Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng (dm) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính (dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).
Lời giải
Đáp số: 25,1
Diện tích của mặt cắt là: (dm2)
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: (dm3)
Câu 11.  Trên mặt phẳng tọa độ vẽ nửa đường tròn tâm , bán kính nằm phía trên trục . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục và đường thẳng (Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục .
Lời giải
Đáp số: .
Phương trình đường tròn tâm , bán kính là .
Do nửa đường tròn nằm phía trên trục , nên ta có .
Suy ra phương trình nửa đường tròn là .
Hình phẳng (phần được tô đậm) được giới hạn bởi đồ thì hàm số , trục và đường thẳng . Do đó, thể tích khối tròn xoay khi quay quanh là
.
Câu 12. Một bình chứa nước có dạng như hình dạng như hình vẽ. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao thì mặt nước là hình vuông có cạnh . Tính dung tích của bình.
Lời giải
Đáp số: .
Chọn trục vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với lần lượt tại và .
Diện tích mặt nước ở chiều cao là .
Khi đó, dung tích của bình là .
Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến của tại và . ( làm tròn đến hàng phần trăm)
Điền đáp án:…………………….
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của tại là
Phương trình tiếp tuyến của tại là
Theo hình vẽ ta suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là
Câu 14: Gọi là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng với là tham số thực. Tìm để nhỏ nhất.
Điền đáp án:…………………….
Lời giải
Ta có
Do PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Giả sử
Vậy S nhỏ nhất khi .
Câu 15: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường và
Điền đáp án:…………………….
Lời giải
Khi ta xét phương trình hoành độ giao điểm giải ra nghiệm
Khi ta xét phương trình hoành độ giao điểm giải ra nghiệm
Vậy diện tích hình phẳng là
Câu 16: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và , với . Tìm để diện tích hình phẳng gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó thì giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án:…………………….
Lời giải

Gọi là diện tích hình phẳng . Lúc dó , trong đó là diện tích phần gạch sọc ở bên phải và là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.
Gọi là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng và đồ thị hàm số, trong đó và .
Thco yêu cầu bài toán .
.
.
.
.
Vậy
Câu 17: Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được ( quy tròn đến hàng đơn vị của decimét khối).
Điền đáp án:…………………….
Lời giải
Trong mặt phẳng tọa độ , xét đường tròn .
Ta thấy nếu cho nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bán kính bằng 5.
Nếu cho hình phẳng giới hạn bởi nửa trên trục của , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn xoay chính là một nửa của cái lu.
Ta có .
Nửa trên trục của có phương trình .
Do đó, thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay quanh là:
.
.
Vậy thể tích nước mà chiếc lu chứa được khoảng .
Câu 18: Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và thoả mãn , với . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , ; và . Khi thì bằng?
Điền đáp án:…………………….
Lời giải
Trả lời:
Theo đề ta có
.
Mặt khác, do và là hai nguyên hàm của hàm số trên nên ta có (không đổi) với mọi .
Từ và suy ra , với mọi .
Khi đó ta có .
Theo đề ta có .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 20 Cau tra loi ngan ung dung hinh hoc cua tich phan giai chi tiet