HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Trong chương trình môn Toán THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số , hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.
ççç
§1. Đại cương về hàm số
A. Lý thuyết
STUDY TIP
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và .
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi
+ Biểu thức xác định
1. Định nghĩa hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là ; số đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị của hàm số. Ta viết .
2. Tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được .
Các bước tìm tập xác định của hàm số :
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định;
+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) ; b) ;
c) ; d) .
khi và chỉ khi xác định và .
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi và
Lời giải
a) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy .
STUDY TIP
Cho a là một số dương.
+
;
+

b) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy .
c) Biểu thức xác định khi và chỉ khi .
Vậy .
Chú ý: Lời giải sai: .
d) Biểu thức xác định khi và chỉ khi
.
Vậy .
3. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ với , gọi là đồ thị của hàm số . Nói cách khác, và .
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số đi qua điểm nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Với thì .
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm .
Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên đoạn có đồ thị là đường gấp khúc được cho như trong hình dưới đây:
Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra:
a) ;
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ;
c) Dấu của trên khoảng .
Lời giải
a) ;
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được tại hoặc ;
c) với mọi .
* Sự tương giao của các đồ thị:
Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là và .
Các bước tìm tọa độ giao điểm của và :
+ Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của và:
(*).
+ Bước 2: Giải phương trình (*).
+ Bước 3:
- Nếu (*) vô nghiệm: Kết luận hai đồ thị không có giao điểm.
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào một trong hai biểu thức hoặc để tìm tung độ các giao điểm (thường ta thay vào các biểu thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm.
Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số và .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (*).
Ta có
.
Vậy (*) có nghiệm duy nhất .
Thay vào hàm số ta được .
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là .
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D.
Giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất

* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ nhất):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho).
+ Bước 2: Chứng minh .
+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại sao cho .
+ Bước 4: Kết luận .
STUDY TIP
Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, nhất định phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào rồi mới kết luận.
Ví dụ 5: Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định của nó.
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Do đó .
Ta có . Mặt khác .
Vậy .
Lời giải sai: Ta có . Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Lời giải này sai do đẳng thức không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.
Thật vậy, , vô lí.
5. Tính chẵn, lẻ của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D.
Định nghĩa
Đồ thị
Hàm số chẵn

Đối xứng qua trục Oy
Hàm số lẻ

Đối xứng qua gốc O
STUDY TIP
Tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ) là một tập đối xứng.
* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác định. Khi đó ta có:
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.
* Lưu ý: Tập D có tính chất là một tập đối xứng qua điểm , và thường được gọi là tập đối xứng.
* Các bước chứng minh hàm số là hàm số chẵn (hoặc là hàm số lẻ):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối xứng.
+ Bước 2: Chứng minh thì (hoặc ).
STUDY TIP
Để chứng minh hàm số không phải là hàm số chẵn, ta cần chỉ ra: Hoặc D không phải là tập đối xứng (tức là mà ), hoặc sao cho (chỉ cần chỉ ra một trong hai điều kiện là đủ). Tương tự như vậy đối với hàm số lẻ.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số là hàm số lẻ.
Lời giải
Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có .
Vậy f là hàm số lẻ.
Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:
a) ; b)
Lời giải
a) Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có và .
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
b) Tập xác định . Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng.
Thật vậy với thì . Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ, chẳng hạn hai hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên.
6. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
Định nghĩa
Điều kiện tương đương
Đồ thị
đồng biến trên K




Đi lên từ trái sang phải (theo chiều tăng của đối số)
nghịch biến trên K




Đi xuống từ trái sang phải (theo chiều tăng của đối số)
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số :
+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho);
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số ;
+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên của hàm số;
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên.
Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số .
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có và . Do đó:
+ Nếu thì Hàm số nghịch biến trên khoảng .
+ Nếu thì Hàm số đồng biến trên khoảng .
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Lưu ý: Hàm số với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số không đổi). Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua điểm và song song hoặc trùng với trục Ox.
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm số xác định trên có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:
Nhận xét:
* Cho hai hàm số và cùng xác định trên .
+ Nếu và cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì đồng biến (nghịch biến) trên K.
+ Nếu đồng biến (nghịch biến) trên K thì đồng biến (nghịch biến) trên K với mọi nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi .
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
STUDY TIP
Không rút gọn biểu thức của hàm số khi tìm tập xác định của nó.
Tìm tập xác định của hàm số
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số .
A. B.
C. D.
Lời giải
Điều kiện xác định: . Vậy .
Đáp án D.
STUDY TIP
+
+
+
+
Lưu ý: Nếu rút gọn rồi khẳng định là sai. Vì với thì biểu thức ban đầu không xác định.
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số là:
A. B. C. D.
Lời giải
Điều kiện xác định .
Vậy .
Dạng 2
Đáp án C.
Đồ thị của hàm số
Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số ?
A. B. C. D.
Lời giải
Với thì . Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho.
STUDY TIP
Một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy cắt đồ thị hàm số nhiều nhất tại một điểm.
Đáp án C.
Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm số dạng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Đường cong trong hình D không phải là đồ thị của một hàm số dạng vì mỗi giá trị ứng với hai giá trị phân biệt của y.
Đáp án D.
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là .
a) Tìm số nghiệm của phương trình .
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 3 nghiêm phân biệt.
A. B. C. D.
Lời giải
a) Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và .
Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
STUDY TIP
Số giao điểm của đồ thị hai hàm số và là số nghiệm của phương trình
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Đáp án B.
b) Ta có: (*).
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và . Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
Quan sát trên đồ thị hàm số ta thấy nếu thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là .
Đáp án A.
Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là .
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình .
A.
B.
C.
D. .
Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy (đồ thị của hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành).
Vậy .
Đáp án B.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
A. 0 B. 4 C. 7 D. 9
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
(*).
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt
(*) có hai nghiệm phân biệt (**).
Khi đó và là hai nghiệm của (*).
Theo Viet ta có . Do đó .
Ta có .
Vậy với mọi m thỏa mãn (**); .
Vậy với thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9.
Dạng 3
Đáp án D.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu. Chủ đề “Bất đẳng thức” sẽ viết kĩ hơn về nội dung này)
Ví dụ 8: Cho hàm số xác định trên đoạn có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên đoạn . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy (ứng với ), (ứng với ). Vậy .
Đáp án B.

onthicaptoc.com toan 10 khao sat ham so bac 2 bai tap ap dung