onthicaptoc.com
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN (Đề chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I. (2,0 điểm)
Cho biểu thức với
1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các số nguyên của để
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
Câu III. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên để là số chính phương.
Câu IV. (4,0 điểm)
Cho đường tròn có dây cung cố định và không đi qua tâm . Gọi là điểm di động trên đường tròn sao cho tam giác nhọn và Gọi là trung điểm của cạnh và là trực tâm tam giác Tia cắt đường tròn tại , đường thẳng cắt cạnh tại và là đường kính của đường tròn . 1. Chứng minh
2. Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành và .
3. Tia cắt đường tròn tại ( khác ), đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằng các đường thẳng và cùng đi qua một điểm.
4. Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với tại và cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V. (1,0 điểm) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
--- HẾT---
Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ.
Họ và tên thí sinh:………………………...Số báo danh:.................................................
Cán bộ coi thi số 1……………………… Cán bộ coi thi số 2…………….........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2023-2024
(Hướng dẫn chấm thi có 06 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)
Ghi chú:
- Điểm toàn bài không làm tròn.
- Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương.
Nội dung
Điểm
Câu I (2,0 điểm) .
Cho biểu thức với
1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25
2.(0,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên của để
+)
0,25
+)
Kết hợp với điều kiện
0,25
Câu II (2,0 điểm).
1.(1,0 điểm) Giải phương trình

0,25
+)
0,25
+)

0,25
Phương trình đã cho có hai nghiệm
0,25
2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Điều kiện:
Phương trình tương đương với
0,25

0,25
Thay vào phương trình ta được

0,25
Vì nên phương trình tương đương với
Vậy hệ phương trình có nghiệm
0,25
Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên để là số chính phương.
Giả sử số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương sao cho
.
0,25
.
0,25

0,25
Vậy với thì là số chính phương
0,25
Câu IV. (4 điểm) Cho đường tròn có dây cung cố định và không đi qua tâm . Gọi là điểm di động trên đường tròn sao cho tam giác nhọn và Gọi là trung điểm của cạnh và là trực tâm tam giác Tia cắt đường tròn tại , đường thẳng cắt cạnh tại và là đường kính của đường tròn .
1. ( 1,0 điểm) Chứng minh
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0,25
Suy ra ( cùng phụ với )
0,25
Mà ( góc nội tiếp cùng chắn cung )
0,25
Suy ra
0,25
2. ( 1,0 điểm) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành và .
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
Mà là trực tâm tam giác . Từ đó suy ra .
Tương tự
0,25
Xét tứ giác có và nên tứ giác là hình bình hành.
0,25
Mà là trung điểm của nên ba điểm thẳng hàng.
Lại có ba điểm thẳng hàng. Từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
Xét và có: ; (hai góc đối đỉnh).
0,25
.
0,25
3. ( 1,0 điểm) Tia cắt đường tròn tại ( khác ), đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằng các đường thẳng và cùng đi qua một điểm.
Kéo dài cắt đường thẳng tại , có hai đường cao và cắt nhau tại là trực tâm tam giác .
Xét tam giác và có và (cùng phụ với ).
. (1)
Tương tự là trực tâm . (2)
0,25
Từ (1) và (2) (3)
Mà (4)
0,25
Từ (3) và (4) nên là tứ giác nội tiếp .
Mà là tứ giác nội tiếp (do ) .
Từ đó suy ra .
Xét có và là đường trung trực của .
0,25
(vì là tứ giác nội tiếp nên ) .
Mà là trực tâm . Từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng. Vậy các đường thẳng và cùng đi qua điểm .
0,25
4.(1,0 điểm) Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với tại và cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi là giao điểm của và Xét và có:
;
(5)
0,25
Do ; nên theo tính chất góc ngoài của và ta có .
0,25
Mà nên . (6)
0,25
Từ (5) và (6) và kết hợp .
Vậy luôn đi qua một điểm cố định .
0,25
Câu V. (1,0 điểm)Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Với , chứng minh được:
0,25
Với , ta có :
0,25
Tương tự:
0,25
Dấu “=” xảy ra
Vậy khi .
0,25
--HẾT--
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Ha Nam 23 24