Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
I. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
- Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng
+ Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi
giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi
giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x)
đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên .
+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó hàm số
y=f(x) đơn điệu trên khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
Hàm số y=f(x) xác định trên .
Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên .
+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:
Hàm số y = ax + b đồng biến trên khi và chỉ khi a > 0.
Hàm số y = ax + b nghịch biến trên khi và chỉ khi a < 0.
- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng
như sau:
Xét hàm số
TH1: (nếu có tham số)
TH2:
+ Hàm số đồng biến trên
+ Hàm số nghịch biến trên
Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Bước 1. Tìm tập xác định .
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m
để hàm số nghịch biến trên
Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số
nghịch biến trên .
Hướng dẫn giải
Ta có:
TH1: . Hàm số nghịch biến trên
TH2: . Hàm số nghịch biến trên khi:
Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số đồng biến trên
.
Hướng dẫn giải
Để hàm số đồng biến trên thì:
Đáp án A
Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm tất cả
giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Tính đạo hàm:
TH1: Với m = 1 ta có
Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: Với ta có:
Hàm số luôn nghịch biến
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số nghịch biến trên
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
TH1: Với m = -3 (thỏa mãn)
Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên
TH2: Với
Hàm số nghịch biến trên khi
II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?
Câu 2: Cho hàm số . Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?
Câu 3: Cho các hàm số sau:
Hàm số nào nghịch biến trên ?
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
luôn nghịch biến trên
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số luôn đồng biến
trên
Câu 6: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm
số luôn đồng biến trên
3 2
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x - 6x + 9x - 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu
nghiệm?
A. 0 B. 3
C. 2 D. 1
3 2
Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = x - mx + (m + 2)x - (3m - 1) đồng
biến trên
A. m < -1 B. m > 2
C. -1 ≤ m ≤ 2 D.-1 < m < 2
3 2
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = x - mx +(2m - 3) - m
+ 2 luôn nghịch biến trên
A. -3 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ 2
C. m ≤ -3; m ≥ 1 D. -3 < m < 1
3 2
Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x - 3mx đồng biến trên
A. m ≥ 0 B. m ≤ 0
C. m < 0 D. m =0
3 2
Câu 11: Cho hàm số: y = x + (m +1)x - (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số
m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
A. m > 4 B. -2 ≤ m ≤ -1
C. m < 2 D. m < 4
3 2
Câu 12: Cho hàm số: y = x + 2x - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
A. m ≥ 4 B. m ≤ 4
C. m > 4 D. m < 4
Câu 13: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định của
chúng:
A. m ≥ -1 B. m ≤ -1
C. m ≤ 1 D. m ≥ 2
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
2 2
a. y = (m + 2). - ( m + 2)x - (3m - 1)x + m đồng biến trên .
3 2
b. y = (m - 1)x - 3(m - 1)x + 3(2m - 3)x + m nghịch biến trên .

onthicaptoc.com Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến