CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
CHỦ ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
DẠNG 2
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
3
9x x
Câu 1. Cho hai số thực dương xy, thỏa mãn 32y . Giá trị lớn nhất của biểu thức
y1
S6x y là:
89 11 17 82
A. . B. . C. . D. .
12 3 12 3
22
Câu 2. Cho xy,  thỏa mãn xy 1 và x y xyxy1. Gọi M , m lần lượt là giá trị
xy
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Tính Mm .
xy1
1 2 1 1
A. . B.  . C. . D.  .
3 3 2 3
22
Mm,
Câu 3. Cho xy, là các số thực thỏa mãn x xyy 1 . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất ,
44
xy1
giá trị nhỏ nhất của P . Giá trị của là:
AM 15m
22
xy1
N.C.Đ
A. 17 2 6 . B. 17 6 C. 17 2 6 D. 17 6 .
2 2 2 2
Câu 4. Cho hai số thực x , thỏa mãn x y  4x 6y 4 y  6y10 6 4xx . Gọi M
y
22
, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x  y a . Có bao
nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số a để Mm 2 ?
 
A. 17. B. 15. C. 18. D. 16.
22
Câu 5. Cho xy, là các số thực thỏa mãn xy 3  1  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
   
2
3y  4xy 7x 4y1
thức P .
xy21
114
A. . B. 3 . C. . D. 23 .
3
11
22
Câu 6. Cho các số thực dương ab, thỏa mãn 2 a b ab (ab)(ab 2) . Giá trị nhỏ nhất
 
3 3 2 2
a b  a b 
của biểu thức P49   thuộc khoảng nào?
   
3 3 2 2
b a b a
   
A. (-6 ;-5) . B. (-10 ;-9) . C. (-11 ;-9) . D. (-5 ;-4) .
22
Câu 7. Cho các số thực xy, thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3x 2xyy 5 . Giá trị nhỏ nhất
22
của biểu thức P x xy2y thuộc khoảng nào sau đây.
A. . B. . C. . D. .
4;7 2;1 1;4 7;10
 
1
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Câu 8. Cho số phức z xyi (x,y ) . Thỏa mãn z2i  z25i và biểu thức sau đạt
22
x y 31y
giá trị nhỏ nhất: H  . Giá trị của 2xy
2 2 2 2
x y 2x2y2 x y 2x4y5
bằng:
A. B. 65
6
C. 35 D. 65
xy
Câu 9. Cho xy, thỏa mãn log  x(x 9) y(y 9)xy Tìm giá trị lớn nhất của
3
22
x  y xy 2
3xy2 9
biểu thức khi thay đổi.
P xy,
xy10
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
22 32
x
Câu 10. Cho các số thực , y thay đổi thỏa mãn x y xy1 và hàm số f t  2t 3t 1.
 
52xy
Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Qf . Tổng Mm

xy 4

bằng
A. 4 3 2 . B. 4 5 2 . C. 4 4 2 . D. 4 2 2 .
22
Câu 12. Cho 2 số thỏa mãn x  5y 1 4xy và hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình
xy,  
2xy3 3
N.C.Đ
Mm, Pf
vẽ. Gọi tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của .

xy44

Tích Mm. bằng
1436 3380 1436 1944
A. B. C. D.
1331 1331 1331 1331
22 42
x  5y  2xy1 f t t 22t 
Câu 13. Cho các số thực xy, thay đổi thỏa mãn và hàm số  
xy1
Gọi Mm, là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Qf . Tổng Mm

xy32

A. 4 3 2 . B. 8 3 2 . C. 66 . D. 9 317
xyyz zx 8

2
f x x 45x
Câu 14. Cho các số thực x,,y z thỏa mãn và hàm số  

x yz 5

Mm, fx
Gọi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của   . Tổng Mm
28 19
A. 3 . B. . C. . D. 2
9 9
2
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
2 2 2
Câu 15. Cho các số thực dương x,,y z thay đổi và thỏa mãn: 5 x y z  9 xy 2yzzx .
 
 
x 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P bằng
22 3
yz
xy z
 
A. 18. B. 12 . C. 16. D. 24 .
32 22
Câu 16. Cho hàm số f x  2x  6x 1 và các số thực m ,n thỏa mãn m  4mn5n  2 2n1.
 

m22
Giá trị nhỏ nhất của f bằng


n

A. 99 . B. 100. C. 5 . D. 4 .
3 41
Câu 17. Cho x , y 0 thỏa mãn và biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.
xy
2 xy4
22
xy
Tính .
25 5 2313 153
A. . B. . C. . D. .
16 4 1156 100
2
x  2018
1xy
Câu 18. Cho 0xy, 1 thỏa mãn 2017  . Gọi Mm, lần lượt là giá trị lớn
2
yy2 2019
22
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4x  3y 4y 3x  25xy. Khi đóMm bằng
  
bao nhiêu?
383 136 25 391
A. . B. . C. . D. .
N.C.Đ
16 3 16
2
3 2
Câu 19. Biết đồ thị của hàm số y x 32x tiếp xúc với parabol yax b tại điểm có hoành
độ x 0;2 . Giá trị lớn nhất của là.
  Sa b
A . S 1. B . S  0 . C . S 1. D . S 3 .
max max max max
2 2 2
Câu 20. Hàm số f x  x1  x 2 ... x 2019 (x ) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng
       
A. . B. . C. . D. 0 .
2020 1010 2019
4 3 2
Câu 21. Hàm số yx ax bx 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại x 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là
Sa b
A. 2 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
2 2 2
Câu 22. Cho các số thực thỏa mãn a b c  2a 4b 4 . Tính Pa23b c khi
abc,,
biểu thức 2ab 2c 7 đạt giá trị lớn nhất.
A. P 7 . B. P 3. C. P3. D. P7 .
2 2 2
Câu 23. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a b c  2a 4b 6c10 và ac 2.
2 2 2
Tính giá trị biểu thức P32a bc khi Qa b c 14a8b18c đạt giá trị lớn
nhất.
A. 10. B. . C. 12. D.12 .
10
4 3 2 2 2 2
Câu 24. Cho phương trình x ax bx cx 10 có nghiệm. Giá trị nhỏ nhất P a b c
bằng
4 8
A. 2 . B. . C. . D. 4 .
3 3
3
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
32 32
Câu 25. Biết hai hàm số f x x ax 42x và g x x bx 23x có chung ít nhất một
   
điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa b .
A. 32 . B. 62 . C. 6. D. 3.
BỔ SUNG BÀI TẬP TỰ LUẬN HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 1. Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện abc 6. Tìm giá trị
2 2 2 2 2 2
a b b c c a 12abc 72 1
lớn nhất của biểu thức P  abc
abbcca 2
Bài 2: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x,y,z1;2
2xy yzzx 8 yz 4
A  
xyz 22x yz 2xyz yz 4
yz1
Bài 3: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 1,b 2,c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
22abacbc 8b b
B  
2 2 2
1 2ab 3c bcbac 8
12a  3b  27c  8
2 2
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn yz xy z . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1 4
biểu thức P   
2 2 2
1 x1 y1 z
1 x 1 y 1 z
Bài 5: Cho abc 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N.C.Đ
 
1 1 1
2 2 2
Pa b c abbcca  
 
2 2 2
ab bc ca
 
2 2
  
Bài 6: Cho x,y,z 0;xyzxyz 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y xz  y z
1 ab bc ca
 
Bài 7: Cho a,b,c ;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  
 
2 c a b
 
c c
2
2 2 2 2
P  c1
Bài 8: Cho a,b,c 0,a  2b a b . Tìm giá trị lớn nhất của
b a
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a,c 1;b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
abc cab 3ac  2b  8
P  
b 2c b 2a 43ac
Bài 10: Cho các số thực x,y,z0;1 và z minx,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
yz yz1 2
P  
xyxz yz
xz yyz
Bài 11: Cho các số . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a,b,c0;1
a b c
P   abc
1bc 1ac 1ab
 Có nhiều bài toán tìm cực trị của biểu thức ta chỉ cần sử dụng các biến đổi cơ bản đã làm giảm
được số biến. Tuy nhiên bài toán cực trị có dạng phân thức ta phải sử dụng các bất đẳng thức
để đánh giá mới làm giảm được số biến của bài toán.
 Các bất đẳng thức thường dùng
2
1. Cho a,bR ta cóab  4ab
3
ab
3 3 2 2
2. Cho a,b 0 ta có a b  a bab
4
4
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
1 1 4
3. Cho a,b 0 ta có  
a b ab
2
abc
2 2 2
4. Choa,b,cR ta cóa b c  abbcca
3
2
5. Cho a,b,cR ta có abbcca  3abcabc
1 1 1 9
  
6. Cho a,b,c 0 ta có
a b c abc
1 1 2
7. Choa,b 0 vàab1 ta có  
1a 1b 1 ab
1 1 2
8.Cho a,b 0 và ta có  
ab1
1a 1b 1 ab
Nhận xét: Trên đây chỉ là một số BĐT tiêu biểu thường sử dụng để tìm cực trị bằng cách dồn
biến, ngoài ra ta có thể sử dụng các hệ quả khác hoặc các bất đẳng thức khác. Ứng dụng các
BĐT trên để giải các bài toán sau đây.
2 2
a b  2ab
Bài 12: Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,b,c1;2 P
2
c  4abbcca
3 3
Bài 13: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn và a b cc1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
c 0
2 2 2
a b c
biểu thức: P
2
abc
Bài 14: Chox,y,z 0 thoả mãn x y z 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
x  y 16z
P
N.C.Đ
3
x y z
Bài 15: Cho x, y, zlà ba số thực thuộc đoạn 1;2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x y
P
2
2 2 2
2x yz  2x  y z
1 2 2
Bài 16: Cho các số thực a,b,c 0 thỏa mãn   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
c a b
a b c
P  
2 2 2
bc ac
a b c
Bài 17: Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2yz 0. Tìm giá trị nhỏ
x y x 2y
nhất của biểu thức:P  
10yz x yz 2x 3y
Bài 18: Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện ab,ac . Tìm giá trị lớn
a b c
nhất của biểu thức: P  
5abc 5a 2c 5a 2b
Bài 19: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn 0 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 4 3 3
x z y z 15x
P  
2 2 2 2 2
y xz y  z xz y  x z
ab
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ac bc  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
c
2
a b c c
biểu thức: P   
2 2
bc ca ab a b
Bài 21: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
5
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
2 2
a c  abbcca
T 
abcabc
2 2 2
Bài 22: Chox,y,z là các số thực dương thỏa mãn:x  y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
3 3 3 3
xy yz x y  y z
thức: P  
2 2 3 3
1z 1x 24x z
4
4
 
x y z x
 
Bài 23: Chox,y,z là các số thực dương thỏa mãn      2
 
 
y z x z
 
 
2 2
2y 2z 3z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P  
2 2 2 2
x  y y z 2xz
N.C.Đ
6
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
9x x
Câu 1. Cho hai số thực dương xy, thỏa mãn 32y . Giá trị lớn nhất của biểu thức
y1
S6x y là:
89 11 17 82
. . .
A. B. . C. D.
12 3 12 3
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết y 0 nên ta có :
3
9x x 3 3
3


 3y 2 9x x 3y 2 y1  3x  3x  3y 2  3y 2
     

y1 
3
 f 3x  f 3y 2 với f tt t .
   
 
2

Ta có f t 3t 1 0,t nên hàm số ft  đồng biến trên , suy ra 3xy3 2
2 2
2
yx3 3xy3 2 x
hay . Doy 0 và nên .
3 3
2 2 2 11 11
22
S  6xy 6x 3x  3x  6x 3 x1  
Khi đó   .
3 3 3 3
11
Do đó maxS  khi .
x1
3
N.C.Đ
22
Câu 2. Cho xy,  thỏa mãn xy 1 và x y xyxy1. Gọi M , m lần lượt là giá trị
xy
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Tính Mm .
xy1
1 2 1 1
 
A. . B. . C. . D. .
3 3 2 3
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
xy
22
xy1;x y xyxy1
Với điều kiện ta có P .
22
xy xy
x1

15
y 0
Nếu thì x . Khi đó P 0 .

2
2
xx 10

x
y x t
Nếu y 0 thì P . Đặt t . Ta có P , .
t
2 2
y tt1

xx
1

yy

2
t t 1
 
Xét ft  , t . ft  ; f t 01t
     
2 2
2
tt1
tt1
 
7
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Từ bảng biến thiên:
xy

x

xy1


1
xy
1
 x1


y
M  tại    .
   1
2


3
3xx 2 1 0 xy 
1
22 


x  y xy x y1
x  3


 3

x 1

xy
x 
 
1
xy y1

  

y
m1 tại   x1 

  
2

x10 x1


22 
x  y xy x y1 x1 
 

y1



2
Vậy Mm  .
3
Cách 2:
xy
22
xy1;x y xyxy1
Với điều kiện ta có P .
22
xy xy
N.C.Đ
22
Px xy P1 Py  0 (*)
 
y 0
+) NếuP 0 thì x 0 hoặc .
x 0

+) Nếu P 0 thì .

y 0

1
2
 y P1 3P1  01 P
Để phương trình (*) có nghiệm x thì    .
x
3
Ta có:
xy

 yP1
  xy1


xy

1xy
 x1


M 
tại    .
2P
   1
2


3 xy 
3xx 2 1 0
1
22 

x  y xy x y1
x  3


 3

x 1

xy

 yP1 
 
xy y1

xy 
  

m1 tại   x1 
2P 
  
2

x10 x1

22  

x  y xy x y1 x1 
 

y1



1 2
M  ;m1. Mm  .
Do đó Vậy
3 3
22
Câu 3. Cho xy, là các số thực thỏa mãn x xyy 1 . Gọi Mm, lần lượt là giá trị lớn nhất ,
44
xy1
giá trị nhỏ nhất của P . Giá trị của AM 15mlà:
22
xy1
A. 17 2 6 . B. 17 6 C. 17 2 6 D. 17 6 .
8
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Lời giải
Chọn A
223
22
Ta có x xy y 1 x y  1 3xy 1 x y 22xy 
   
4
21
22
22

Mặt khác:  x  y  x y  2xy x y _ 2  2
   

33
2
2 tt41

22
Đặt t x  y t 2 . Vậy P g t
 

3 t1

2
tt 4 12

Xét hàm số g tt ;2
 


t13


2
tt 2  52 2
 
g tt ;2 ; g t  0t1 6 ;2 .
   

 
t13 3
 

11
Vậy mingt  ; maxgt6 2 6
   
15
2
t ;2
2

t ;2 3


3
Vậy AM15m17 2 6
Nhận xét: đây là bài toán thường gặp trong các đề thi TSĐH những năm trước đây. Tư
tưởng của các bài toán này là sử dụng ứng dụng đạo hàm tìm GTNN, GTLN của hàm
số sau khi áp dụng phương pháp dồn biến.
2 2 2 2
N.C.Đ
Câu 4. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x y  4x 6y 4 y  6y10 6 4xx . Gọi M
22
, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Có bao
T  x  y a
nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số a để Mm 2 ?
 
A. 17. B. 15. C. 18. D. 16.
Lời giải
Chọn D
2 2 2 2
Ta có x y  4x 6y 4 y  6y10 6 4xx
2 2 2 2
 y  6y10 y  6y10 6 4xx  6 4xx . *
 
2
f tt t 
Xét hàm   , có f (t) 2t10 , t 0 .
2
0;
Ta có hàm y f t đồng biến trên   , yy 6 10 0; ,
  
2
6 4xx  0; .
 
2 2 2 2
*
Nên    f y  6y10  f 6 4xx  y  6y10 6 4xx
   
22
22
 y  6y10 6 4xx  x 2  y 3  9 .
   
22
Xét điểm A x;y thuộc đường tròn ()C có phương trình xy 2  3  9 .
     
22
Ta có OAx y .
I 2;3 O 0;0
Đường tròn ()C có tâm   , bán kính R 3 nên điểm   nằm ngoài ()C .
9
TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

onthicaptoc.com Tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến