onthicaptoc.com
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức .
a. Rút gọn biểu thức .
b. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .
Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng:
a. chia hết cho 3;
b. không chia hết cho với mọi số tự nhiên
Câu 4 (1,0 điểm). Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên để cả hai số và đều là các số chính phương.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn
Chứng minh rằng
Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác vuông tại và Gọi là trung điểm của cạnh điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
a. Chứng minh rằng
b. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh rằng
Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn . Vẽ các đường cao và của tam giác . Gọi điểm là trực tâm của tam giác là trung điểm của đoạn thẳng . Tia cắt đường tròn tại , tia cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng:
a. là trung điểm của đoạn thẳng ;
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường thẳng .
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:………………..….…………..…...................Số báo danh:…………..…..…
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
HƯỚNG DẪN CHẤM
( Bản hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
- Giám khảo cần nắm vững yêu cầu của hướng dẫn chấm để đánh giá đúng bài làm của thí sinh. Thí sinh làm cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Khi vận dụng đáp án và thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng bài làm của học sinh.
- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 và không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a. Điều kiện: .
0.25
Khi đó
0.25
0.25
0.25
b. Với điều kiện ta có .
0.25
Vì biểu thức nhận giá trị nguyên nên ta xét các trường hợp:
+ (vô nghiệm).
+ (vô nghiệm).
+.
+(loại).
+.
+.
+.
+.
0.5
Vậy tập hợp các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên là .
0.25
Câu 2
Điều kiện
0.25
Ta có:
0.25
0.25
Với điều kiện thì .
Vậy phương trình có nghiệm
0.25
Câu 3
a. Chứng minh rằng chia hết cho 3.
Vì 10 chia cho 3 dư 1 nên chia cho 3 dư 1.
2024 chia cho 3 dư 2.
Vậy chia hết cho 3. (1)
0.25
b. Chứng minh rằng không chia hết cho với mọi số tự nhiên
Với mọi số tự nhiên thì là 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số đó có đúng một số chia hết cho 3.
Do đó chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
0.25
Vì 2025 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
Do đó chia cho 3 dư 2 với mọi số tự nhiên (2)
0.25
Từ (1), (2) suy ra không chia hết cho với mọi số tự nhiên
0.25
Câu 4
Giả sử, tồn tại số tự nhiên để cả hai số và đều là các số chính phương.
Khi đó, tồn tại sao cho:

0.25
Do đó (1)
Suy ra (2)
Ta có nhận xét sau: Một số chính phương khi chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: 0; 1; hoặc 4.
Từ đó, suy ra chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: 0; 3; 2. (3)
chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: 0; 1; 4. (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra
0.25
Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ suy ra
Vì 5 là số nguyên tố nên từ suy ra
0.25
Do đó suy ra (5)
Từ (1), (5) suy ra . Điều này vô lý.
Do đó, điều giả sử là sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên để cả hai số và đều là các số chính phương.
0.25
Câu 5
Vì là các số thực dương nên áp dụng bất đẳng thức ta có:
0.25
Do đó (1)
0.25
Ta có:
Vì nên (2)
0.25
Từ (1), (2) suy ra
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0.25
Câu 6
a. Chứng minh rằng
Vì vuông tại có là đường trung tuyến nên
0.25
Vì cân tại và nên
0.25
Vì là tâm đường tròn nội tiếp nên lần lượt là đường phân giác trong của
Suy ra
0.25
Do đó
Vậy
0.25
b. Chứng minh rằng
Theo ý a, suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn.
Suy ra
0.25
Do đó
Vì nên cân tại Suy ra (1)
0.25
Trong có và
Suy ra (2)
0.25
Từ (1), (2) suy ra
0.25
Câu 7
a. Ta có: (cùng phụ với ).
0.5
Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung ). Suy ra .
0.25
Tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong kẻ từ đỉnh nên tam giác cân tại . Suy ra là đường trung tuyến kẻ từ . Do đó là trung điểm của đoạn thẳng .
0.25
b. Ta có các tứ giác nội tiếp nên .
Đồng thời . (2)
Từ và suy ra đồng dạng với (g.g)
0.25
Mặt khác là trung điểm của (chứng minh trên) và là trung điểm của , kết hợp với ta có .
0.25
Xét và có
Suy ra đồng dạng với
Mà nên thẳng hàng.
0.25
Từ đó
Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Mặt khác nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường thẳng .
0.25
ĐIỂM TOÀN BÀI
10,0
---- Hết---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Thai Nguyen 23 24