www.MATHVN.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT A NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH
TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10
MÔN TOÁN
Thực hiện Vũ Văn Bắc
Website: http://parksungbuyl.wordpress.com/
---------- NGHĨA HƯNG NGÀY 8 THÁNG 5 NĂM 2013 ----------
www.MATHVN.com
VẤN ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
2
x  x x x
Bài toán 1.1 Cho biểu thức P  với x 0, x 1.
x x1 x1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x khi P 0.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011)
 Lời giải. a) Với x 0, x 1 ta có
3
 
x x 1
x x x1 x 1 x   x x1
     
 
 
P   
x x1 x1 x x1 x1
x x1 x x1
  
  x  x x1  x
 
x x1
 x x x  x 2 x.
Vậy với x 0, x 1 thì P x 2 x.
b) Với x 0, x 1 ta có
 x 0
x  0  x 0

P 0 x 2 x  0 x x 2  0  

  

x 4
x  2
x 2 0 
 

Đối chiếu với điều kiện x 0, x 1 ta thấy hai giá trị này đều thỏa mãn.
Vậy với P 0 thì x 0, x 4.
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN
Kĩ năng cũng như cách giải chung cho dạng toán như câu a
 Đặt điều kiện thích hợp, nếu đề bài đã nêu điều kiện xác định thì ta vẫn phải chỉ
ra trong bài làm của mình như lời giải nêu trên.
 Đa phần các bài toán dạng này, chúng ta thường quy đồng mẫu, xong rồi tính toán
rút gọn tử thức và sau đó xem tử thức và mẫu thức có thừa số chung nào hay
không để rút gọn tiếp.
 Trong bài toán trên thì đã không quy đồng mẫu mà đơn giản biểu thức luôn.
 Khi làm ra kết quả cuối cùng, ta kết luận giống như trên.
Đối với dạng toán như câu b
 Cách làm trên là điển hình, không bị trừ điểm.
 Ngoài câu hỏi tìm x như trên thì người ta có thể hỏi: cho x là một hằng số nào đó
bắt rút gọn P, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tìm x để P có
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
giá trị nguyên, chứng minh một bất đẳng thức. Nhưng thường thì người ta sẽ hỏi
như sau: tìm x để P có giá trị nào đó (như ví dụ nêu trên), cho x nhận một giá trị
cụ thể để tính P.
MỘT SỐ CÂU HỎI MỞ CHO BÀI TOÁN
 Câu hỏi mở 1. Rút gọn P khi x 3 2 2.
2 2 2
Ta có x 3 2 2  1  2.1. 2 ( 2)  (1 2)
2
Khi đó, với x 0, x 1 thì x  (1 2) 1 2
Do đó P x 2 x  3 2 2 2(1 2) 3 2 2 2 2 2 1.
Vậy với x 3 2 2 thì P 1.
 Câu hỏi mở 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2 2
Với x 0, x 1 ta có P x 2 x  ( x)  2 x11 ( x1) 1
2 2
Vì x 1 nên ( x1)  0 ( x1) 11
Vậy với x 0, x 1 thì P không có giá trị nhỏ nhất.
Trong loại câu hỏi này, ta cần chú ý đến điều kiện xác định. Chẳng hạn với điều kiện
x 4 ta rút gọn được P x x thì ta sẽ không làm như trên mà sẽ làm như sau
Với x 4 ta có P x 2 x x  x( x 2) x
Vì x 4 x  2 x  0, x 2 0 x( x 2) x  0 2 2
Vậy min P 2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 4 (thỏa mãn điều kiện).
 Câu hỏi mở 3. Chứng minh rằng P1 thì ta làm như trên nhưng kết luận là
P1.
 Câu hỏi mở 4. Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên.
Ví dụ trên, ta có P x 2 x , thì thường đề bài sẽ không hỏi đến nghiệm nguyên. Chẳng
3x
hạn với điều kiện x 1 ta rút gọn được P , đề bài hỏi: tìm số nguyên x để P nhận
x1
giá trị nguyên thì ta làm như sau
3x 3(x1) 3 3
Với x 1, ta có P   3
x1 x1 x1
3 3
Từ đó với x là số nguyên, P¢  3   ¢  3M(x1)
x1 x1
Tương đương với x1 là ước của 3, mà ước của 3 là 3;1;1;3  (x1) 3;1;1;3
   
Mà x1 x1 2 x1 3 x 2 (thỏa mãn điều điện)
Kết luận: vậy x 2 là giá trị cần tìm.
Ta xét thêm một bài toán nữa là một câu trong đề chung chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định năm 2011.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
 
3 x1 1 1
Bài toán 1.2 Cho biểu thức P  : với x 0, x 1.
 
 
x1
x1 x x
 
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để
2P x 3.
(Đề chung Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)
 Lời giải. a) Với x 0, x 1 ta có
 
3 x1 x1
B x x 
  
 
( x1)( x1) ( x1)( x1)
 
3 x1 x1
 x( x1).
( x1)( x1)
x(2 x 2) 2 x( x1)
   2 x.
x1 x1
Vậy với x 0, x 1 thì P 2 x.
b) Với x 0, x 1 và P 2 x ta có
2P x 3 4 x x 3
 x 4 x 3 0
 x x 3 x 3 0
 x( x1) 3( x1) 0
 ( x1)( x 3) 0
 
x1 0 x 1 x 1

  
 

x 9
x 3 0 x  3 
 
 
Kết hợp với điều kiện nêu trên thì chỉ có x 9 thỏa mãn bài toán.
B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
a 2 5 1
Bài 1: Cho biểu thức
P  
a 3 a a 6 2 a
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để P 1.
   
x x  3 x  2 x 2
   
Bài 2: Cho biểu thức P = 1 :  
   
x 1 x  2 3 x x 5 x  6
   
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P 0.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
   
x1 1 8 x 3 x 2
   
Bài 3: Cho biểu thức P =   : 1
   
9x1
3 x1 3 x1 3 x1
   
a) Rút gọn P.
6
b) Tìm các giá trị của x để P .
5
   
a 1 2 a
   
Bài 4: Cho biểu thức P = 1 : 
   
a1
a 1 a a  a  a1
   
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để
P 1.
c) Tìm giá trị của P nếu a  19 8 3
2 3 3
 
  
a(1 a) 1 a 1 a
  
:  a .  a 
Bài 5: Cho biểu thức P =
  
1 a
1 a 1 a
 
  
 
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M  a(P 0,5).
   
x 1 2x  x x1 2x  x
   
Bài 6: Cho biểu thứ P =  1 : 1 
   
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
   
a) Rút gọn P
3 2 2
b) Tính giá trị của P khi x .
2
   
2 x 1 x
   
Bài 7: Cho biểu thức P =  : 1
   
x1
x x  x  x1 x 1
   
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0
3
 
 
2a1 a 1 a
 
 
Bài 8: Cho biểu thức P =  .  a
 
3
 
a a 1 1 a
a
 
 
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P 1 a
 
1 1 2x x1 2x x x x
 
Bài 9: Cho biểu thức P  : 
 
 
 
1 x
1 x x 1 x x
 
 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x 7 4 3
c) Tính giá trị lớn nhất của a để P a.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
  
1 a a 1 a a
  
Bài 10: Cho biểu thức P =  a .  a
  
1 a 1 a
  
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P 7 4 3.
   
2 x x 3x 3 2 x  2
   
Bài 11: Cho biểu thức P =   : 1
   
x 9
x  3 x  3 x  3
   
a) Rút gọn P
1
b) Tìm x để P
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
   
x 3 x 9 x x  3 x  2
   
Bài 12: Cho biểu thức P = 1 :  
   
x 9
x x  6 2 x x  3
   
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
15 x11 3 x 2 2 x 3
Bài 13: Cho biểu thức P =  
x 2 x 3 1 x x 3
a) Rút gọn P
1
b) Tìm các giá trị của x để P
2
2
c) Chứng minh P .
3
2
2 x x m
Bài 14: Cho biểu thức P =   với m > 0
2
4x 4m
x m x m
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x 1.
2
a  a 2a a
Bài 15: Cho biểu thức P =  1
a a 1 a
a) Rút gọn P
b) Biết a1 hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
   
a 1 ab a a 1 ab  a
   
Bài 16: Cho biểu thức P =  1 :  1
   
ab1 ab1 ab 1 ab1
   
a) Rút gọn biểu thức P.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
3 1
b) Tính giá trị của P nếu a = 2 3 và b =
1 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a  b  4
 
a a 1 a a 1  1  a 1 a 1
 
Bài 17: Cho biểu thức P =   a   
 
a a a a a a 1 a 1
 
 
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P 6.
2
   
a 1 a 1 a 1
   
Bài 18: Cho biểu thức P =  
   
2
2 a a 1 a 1
   
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để
P 0
c) Tìm các giá trị của a để P2
2
 a b  4 ab a b b a
Bài 19: Cho biểu thức P = .
a b ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3
 
x 2 x 1 x 1
 
Bài 20: Cho biểu thức P =   :
 
2
x x 1 x x 1 1 x
 
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 với x  1
   
2 x  x 1 x  2
   
Bài 21: Cho biểu thức P =  : 1
   
x x 1 x 1 x x 1
   
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x =5 2 3
 3x 
 
1 2 1
2
 
Bài 22: Cho biểu thức P = 1:   :
 4 x 
2 x 4 2 x 4 2 x
 
 
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
2
3 3
 
x y x  y  x  y  xy
 
Bài 23: Cho biểu thức P =  :
 
y x
x  y x y
 
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P  0
 
   
1 3 ab 1 3 ab a b
   
Bài 24: Cho P =  .  :
 
   
a  b a a  b b a  b a a  b b a ab b
 
   
 
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a = 16 và b = 4
 
2a a 1 2a a  a  a a a
 
Bài 25: Cho biểu thức P = 1  .
 
1 a
1 a a 2 a 1
 
a) Rút gọn P
6
b) Cho P = tìm giá trị của a
1 6
2
c) Chứng minh rằng P .
3
   
x 5 x 25 x x  3 x  5
   
Bài 26: Cho biểu thức:P= 1 :  
   
x 25
x 2 x15 x  5 x  3
   
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P 1.
 
3 a 3a 1 a1. a  b
 
Bài 27: Cho biểu thức P =   :
 
a ab  b a a  b b a  b 2a 2 ab 2b
 
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
 
1 1 a 1 a  2
 
 
Bài 28: Cho biểu thức P =    : 
 
a 1 a a  2 a1
 
 
a) Rút gọn P
1
b) Tìm giá trị của a để P .
6
3 3
 
 
x  y x x y y
1 1 2 1 1
 
Bài 29: Cho biểu thức P =   .    :
  3 3
x y
x y x y
x y  xy
 
 
 
a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
3
x 2x 1 x
Bài 30: Cho biểu thức P =  .
xy 2y x x 2 xy  2 y 1 x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P 0, 2.
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
2 2
 Xét phương trình ax  bx c 0 với a khác 0, biệt thức  b  4ac.
 Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai
b c
x  x  ; x x 
1 2 1 2
a a
 Nếu thì PT có 2 nghiệm phân biệt.
ac 0
 PT có nghiệm
 0.
 PT có nghiệm kép  0.
 PT có 2 nghiệm phân biệt  0.
 0

 PT có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 

x x  0
 1 2
 0


 PT có 2 nghiệm dương phân biệT  x  x  0

1 2

x x  0
 1 2
 0


 PT có 2 nghiệm âm phân biệt  x  x  0

1 2

x x  0
 1 2
 Từ những tính chất quan trọng nêu trên, ta sẽ giải được một dạng toán về PT trùng
phương.
4 2 2
Xét phương trình ax  bx  c 0 (i) với a khác 0. Đặt t x  0, ta có
2
at  bt c 0. (ii)
 PT (i) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 2 nghiệm dương phân biệt.
 PT (i) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm
bằng 0.
 PT (i) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm dương.
 PT (i) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm là 0.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán thường gặp mang tính chất điển hình.
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com

onthicaptoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Vũ Văn Bắc