CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a. HÌNH HỌC PHẲNG
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A
B
2 22
 BC AB AC
 AH.BCAB.AC
22
 AB BH.BC, AC CH.CB
1 11
2
  ,. AH HBHC
2 22
AH AB AC
B
C
M
H
 2AMBC
2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:
CChhọn gócọn góc n nhọn lhọn làà αα
ccaïaïnh oánh oáññ ii ññii

 sinα= ;
sinα= ;


Cạnh huyền
ccaïaïnh uynh uyhh eeànàn hhooïcïc

ccaïaïnh enh ekkkkàà hoâhoângng

 cosα= ;
cosα= ;
Cạnh


ccaïaïnh uynh uyhh eeànàn hhöö

đối
ccaïaïnh oánh oáññññii  oaøoaønn
 
 tanα= ;
tanα= ;
 
 
α caïnh keà keát
caïnh keà keát
 
ccaïaïnh enh ekkkkàà  eeátát 
 
Cạnh kề
 cotα= ;
cotα= ;
 
ccaïaïnh oánh oáññ ii ññoaøoaønn
 
3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A
22 2
b ca
2 22
 a b c 2bccosA cosA
2bc
2 22
a cb
b
c 2 22
 b a c 2accosB  cosB
2ac
2 22
a bc
2 2 2
 c a b 2abcosC  cosC
a
2ab
B
C
b. Định lý sin:
Trang 1/35
A
ab c
 2R
c
b sinA sinB sinC
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)
R
a C
B
c. Công thức tính diện tích tam giác:
A
1 11
 S  a.h bh. ch.
ABC a b c
2 22
1 1 1
c
 S  absinC bcsinA acsinB
b
ABC
2 2 2
abc
 S , S p.r
ABC ABC
4R
B C
a
 p= pp−a p−−b p c
( )( )( )
p
- nửa chu vi
r - bán kính đường tròn nội tiếp
d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
A 2 2 2
AB AC BC
2
 AM 
24
K N
22 2
BA BC AC
2
 BN 
24
B C
2 2 2
CA CB AB
M
2
 CK 
24
4. Định lý Thales:
A
AM AN MN
 MN //BC  k
AB AC BC
2
M N

S
AM
 2
AMN 
  k



 
S AB

ABC
B C
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
Trang 2/35
5. Diện tích đa giác:
B
a. Diện tích tam giác vuông:
1
S AB.AC
ABC
2
 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh
C
A
góc vuông.
b. Diện tích tam giác đều:
2
B 
 a 3
2

.(cạnh) 3 S 

ABC

 Diện tích tam giác đều: S 
4


đều

4 
a

h
a 3

h
. 3
(cạnh)

2
 Chiều cao tam giác đều: h  
A C

đều
2
c. Diện tích hình vuông và hình chữ nhật:
B
A
2

Sa
HV

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

a 

O

ACBD a 2
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . 


D
C
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
A D
d. Diện tích hình thang:
ADBC .AH
1  
 S  .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
Hình Thang S
2 2
C
H
B
e. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
B
góc:
1
S AC.BD
A C
H.Thoi
 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
2
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau
D
tại trung điểm của mỗi đường.
b. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :


d()




 ddd () (Định lý 1, trang 61, SKG HH11)




d ()




()
 


 d() (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)


d()


Trang 3/35


d  d



 () dd () (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)



d() 


2. Chứng minh hai mặt phẳng song song:


()aa, ()



 ()bb, () () () (Định lý 1, trang 64, SKG HH11)



abO 



()  (Q)

  ()() (Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)

() (Q)




() ()



 () d ()( ) . (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)



() d 


3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai mặt phẳng (), có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ab, thì giao
 
tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.


S()
 



() a, b () Sx (ab). (Hệ quả trang 57, SKG HH11)
    


ab



 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa a và cắt theo
() () ()
giao tuyến b thì b song song với a.


a (),a
 


ba. (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)


() b
 



 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với
đường thẳng đó.

()() 


(P) () =d ,d  d . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)

(Pd)()  


 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.



dd




d ()  d d (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)




d  ()


 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4. Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:
 Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.


da()



db()d .
  


ab {O}


 Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông
Trang 4/35
góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia.


dd 

d  .
  

d  ()


 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông
góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.



   


.
d 
  

d 
 


 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.


  P
   




  P dP .
      



 d
   


 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào
nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.


  P
   




a   P dP
     


d ,da
 



5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 0
 Cách 1: Dùng định nghĩa:
ab ab,  90 .
 
  
  
Hay ab aba.b 0 a ..b cos a,b  0
 
 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải
vuông góc với đường kia.

b//c 

ab .

ac 


 Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đó.


a 
 


ab.


b 
 


 Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng P
 
và a là đường thẳng không thuộc P đồng thời không vuông góc với P . Gọi a’ là hình chiếu
   
vuông góc của a trên P . Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’.
 


ahch ()P
 

baba .

bP 
 



 Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).
6. Chứng minh :
mp mp
   

0
 Cách 1: Theo định nghĩa:   ,  90 . Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng
      
90 .
 Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):
c. HÌNH CHÓP ĐỀU
Trang 5/35
1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
S
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau.
2. Hai hình chóp đều thường gặp:
C
A
a. Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi
O
đó:
B
 ĐáyABC là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại .
S
 Chiều cao: SO .
  
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAOSBO SCO .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .
21 AB 3
 Tính chất: AO AH,, OHAH AH .
S
33 2
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên
bằng cạnh đáy.
I
A
b. Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều .
S.ABCD D
 ĐáyABCD là hình vuông.
O
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
B C
 Chiều cao: SO .
   
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAOSBO SCOSDO .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .
d. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S
1
1. Thể tích khối chóp: V Bh.
3
D
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp. A
O
B C
Trang 6/35
A C A
C
B
B
2. Thể tích khối lăng trụ:
VBh.
Diện tích mặt đáy.
B :
A’ C’ A’
h : Chiều cao của khối chóp.
C’
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là B’ B’
cạnh bên.
c
a
a
3. Thể tích hình hộp chữ nhật: Va..bc
a
3 b a
Thể tích khối lập phương:
 Va
S
V   
SA SB SC
 
S.ABC
4. Tỉ số thể tích:  . .
V SA SB SC
S.ABC
A’ B’
5. Hình chóp cụt ABC.A′′BC′
C’
h
 A
V BB BB B
 
3

Với BB,,h là diện tích hai đáy và chiều cao.
C
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. .
2
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 2 .
Câu 3. Cho khối đa diện đều pq; , chỉ số p là
{ }
A. Số các cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện. D. Số đỉnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều pq; , chỉ số q là
{ }
A. Số đỉnh của đa diện. B. Số mặt của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện. D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
3 3 3
a 2 a 2 a
3
A. ⋅ B. ⋅ C. a . D. ⋅
12 4 6
Câu 6. Cho là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp biết , .
S.ABCD S.ABCD AB=a SA=a
3 3 3
a 2 a 2 a
3
A. a B. C. . D.
2 6 3
Câu 7. Cho hình chópS.ABC có SA⊥(ABC) , đáyABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
S.ABC biết AB=a , SA=a .
Trang 7/35
3 3 3
a 3 a 3 a
3
A. . B. . C. a . D.
12 4 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
( )
S.ABCD biết AB=a , AD= 2a , SA= 3a .
3
a
3 3 3
A. a . B. 6a . B. 2a . D. ⋅
3
Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O.ABC vuông tại O có OA a, OB OC 2a là
3 3 3
2a a a
3
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. 2a .
3 2 6
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giácABC vuông tại A, SA= 2cm ,
AB 4cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp.
12 24 24
3 3 3 3
A. cm . B. cm . C. cm . D. 24cm .
3 5 3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB a, AD 2a . Góc giữa
0
và đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp là
SB
3 3 3 3
a 2 2a a a 2
A. B. ⋅ C. D.
⋅ ⋅ ⋅
3 3 6
3
Câu 12. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA=a 3,ACa= 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S.ABCD là
3 3 3 3
a 2 a 2 a 3 a 3
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
2 3 2 3
Câu 13. Cho hình chópS.ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và
thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết
( )
AB=a , AC=a 3 .
3 3 3 3
a 6 a 6 a 2 a
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
12 4 6 4
Câu 14. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại
S.ABCD ABCD ( )
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
biết BD=a , AC=a 3 .
3 3 3
a 3 a 3 a
3
A. a . B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
4 12 3
Câu 15. Cho hình chópS.ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC là trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB=a , AC=a 3 ,
( )
SB=a 2 .
3 3 3 3
a 6 a 3 a 3 a 6
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
6 2 6 2
Câu 16. Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh a . Hình chiếu của lên mặt phẳng
S.ABCD ABCD S
3a
(ABCD) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SB= .
2
3 3 3
a a 3a
3
A. B. . C. D.
⋅ a ⋅ ⋅
3 2 2
Trang 8/35
==
==
== =
a 13
Câu 17. Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD= . Hình chiếu của S lên ABCD là
( )
2
trung điểm H củaAB . Thể tích khối chóp là
3 3 3
a 2 a 2 a
3
A. ⋅ B. ⋅ C. a 12 . D. ⋅
3 3 3
0

Câu 18. Hình chóp S.ABCD đáy hình thoi, AB= 2a , góc BAD bằng 120 . Hình chiếu vuông góc của
a
S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI= . Khi đó thể tích khối chóp
( )
2
S.ABCD là
3 3 3 3
a 2 a 3 a 2 a 3
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
9 9 3 3
V
S.ABC
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA,SB . Tính tỉ số .
V
S.MNC
1 1
A. 4 . B. ⋅ C. 2 . D. ⋅
2 4
Câu 20. Cho khối chop O.ABC . Trên ba cạnh lần lượt lấy ba điểm ′′ sao cho
OA,OB,OC A’,B ,C
V
O.A BC
′′ ′
2OA OA, 4OB OB, 3OC OC . Tính tỉ số
V
O.ABC
1 1 1 1
A. . B. . C. . D. .
12 24 16 32
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi α là mặt phẳng qua A và song song với BC . α cắt SB , SC
( ) ( )
SM
lần lượt tại MN, . Tính tỉ số biết α chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
( )
SB
1 1 1 1
A. . B. . C. . D. .
2 4
2 22
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
3 3 3 3
a 3 a 3 a 2 a 2
A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
4 3 3 2
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có ABCD là hình chữ nhật, AA AB AD . Tính thể tích
khối lăng trụ biết , , .
ABCD.A B C D AB=a AD=a 3 AA2= a
3 3 3 3
A. 3a . B. a . C. a 3 . D. 33a .
Câu 24. Cho lăng trụ ABC.A B C có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A lên ABC là
( )
trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C biết AB=a , AC=a 3 ,
AA2= a .
3 3
a 3a
3 3
A. ⋅ B. ⋅ C. a 3 . D. 33a .
2 2
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A lên ABCD là
( )
trọng tâm của tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ biết ,
ABD ABCAB C AB=a
0

ABC=120 , .
AA=a
3 3 3
a 2 a 2 a 2
3
A. a 2 . B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅
6 3 2
V
ABBC
Câu 26. Cho lăng trụ ABC.A B C . Tính tỉ số .
V
ABCAB C
Trang 9/35
==
===