CHUYÊN ĐỀ 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm
Cho K là một khoảng , nửa khoảng hay đoạn . Hàm số gọi là một nguyên hàm của hàm số trên K nếu:
Neesu là một nguyên hàm của thì họ các nguyên hàm của là: , C là hằng số bất kì
- Phương pháp đổi biến số:
Nếu có đạo hàm liên tục trên K thì:

Nếu có đạo hàm liên tục trên K thì:
thì:
- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu có đạo hàm liên tục trên K thì
Tích phân:
Giả sử liên tục trên khoảng K và và là 1 nguyên hàm của thì:

- Phương pháp tích phân đổi biến số:

Nếu có đạo hàm liên tục và thì:

- Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu có đạo hàm liên tục trên đoạn thì

Tổng tích phân
Cho f là một hàm số xác định trên . Phân hoạch T đoạn thành n đoạn nhỏ bởi những điểm chia tùy ý , trên mỗi đoạn ta lấy một điểm và lập tổng tích phân .
Kí hiệu .
Nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn và được kí hiệu là: .
Ta chọn phân hoạch đều , tổng tích phân
thì .
Nguyên hàm đa thức và phân thức:
với k là hằng số

Với thì
Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,…
Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.
Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất hay bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: ; Đồng nhất hệ số ở tử thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh.
Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ:
: Chia miền xét dấu ,
: Đặt hoặc phân tích,
: Đặt ,
: Nếu thì đặt .
- Dạng : Lập .
: Dùng công thức
: Đặt
: Biến đổi
- Dạng : Lập
Phân tích và dùng công thức.

- Dạng : đặt .
Chú ý: Cho hàm số liên tục trên đoạn .
Nếu f lẻ thì . Nếu f chẵn thì .
Nguyên hàm lượng giác:




Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ ,…






Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng . Tích phân liên kết, để tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân và hoặc và dễ dàng lợi hơn. Tích phân truy hồi theo hay thì tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng phần còn tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số.
Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì:

Các dạng tích phân lượng giác:
: đặt hoặc
: đặt
: đặt
: đặt
: đặt đặc biệt:
Nếu thì đặt
Nếu thì đặt
Nếu thì đặt .
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 7.1: Tính giới hạn dãy xác định bởi:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số . Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn là:

Ta có: . Vậy .
b) Ta viết nên chính là tổng tích phân của hàm số trên đoạn .
Do đó: .
Bài toán 7.2: Tính giới hạn dãy xác định bởi:
.
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:

Do đó là tổng tích phân của hàm số trên đoạn .
Suy ra .
Bài toán 7.3: Chứng minh:
a)
b) là hàm số chẵn
Hướng dẫn giải
a) Với thì .
Do đó: .
Vì đpcm.
b) Đặt trong tích phân
ta được đpcm.
Bài toán 7.4: Tính đạo hàm các hàm số:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b) Đặt . Gọi F là một nguyên hàm của f, theo định nghĩa tích phân, ta có: nên

Bài toán 7.5:
a) Cho . Tính .
b) Tìm số b dương để tích phân có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Lấy đạo hàm 2 vế thì có
Cho .
b) Xét hàm số
Ta có .
Lập bảng biến thiên của trên thì đạt giá trị lớn nhất khi , do đó .
Bài toán 7.6: Chứng minh rằng:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì .

b) và
Do đó
Bài toán 7.7: Cho hàm số liên tục trên . Chứng minh:
a) Nếu f là hàm số lẻ thì .
b) Nếu f là hàm số chẵn thì
Hướng dẫn giải

Đổi biến đổi với tích phân ta được:
a) Nếu f lẻ thì
b) Nếu f chẵn thì
Bài toán 7.8: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Chứng minh:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì .

b) Đặt thì .


Do đó đpcm.
Bài toán 7.9: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt nên
Do đó , đồng nhất hệ số thì nên .
Do đó:

b)
Đặt nên , đồng nhất hệ số thì được , do đó:

Bài toán 7.10: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt


b) Đặt

Bài toán 7.11: Tính a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b) .
Bài toán 7.12: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì .
Khi thì .


b)

Bài toán 7.13: Tính .
Hướng dẫn giải
Tam thức . Ta xét 2 trường hợp sau:
- Nếu
Khi đó:
- Nếu
Khi đó:
Với thì hay

Với thì



Bài toán 7.14: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có
nên .
Đồng nhất hệ số
Vậy
.
b)
Đặt .
Khi thì , khi thì .

Bài toán 7.15: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì
Khi thì thì .

b)

Đặt
Khi thì thì .
Vậy .
Bài toán 7.16: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b) Đặt với thì
Khi thì thì .

Bài toán 7.17: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt .


Từ đó tính được
Cách khác:
b)
Lần lượt đặt thì
Bài toán 7.18: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a)
Đồng nhất thì được nên

b) Đặt thì .
Khi thì thì


Bài toán 7.19: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:

Từ đó
b)


Bài toán 7.20: Cho hàm số
Xác định k để .
Hướng dẫn giải
Ta có nên .
Bài toán 7.21: Cho là hàm liên tục và thỏa mãn: và với mọi . Tính theo a.
Hướng dẫn giải
Đặt thì
Khi , ta có:

nên
Vậy .
Bài toán 7.22: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
nên .
Bài toán 7.23: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) nên


Vậy
b)
Bài toán 7.24: Tìm: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì . Ta có:


b) Đổi biến thì . Ta có:



Bài toán 7.25: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Xét

Suy ra .
b) Xét thì:


Suy ra
Bài toán 7.26: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a)

b)

Bài toán 7.27: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt . Khi đó .

.
b) Đặt


Bài toán 7.28: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Xét thì


b) Đặt thì .

.
Bài toán 7.29: Tính: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt
Khi thì thì .

b) Đặt thì , khi thì thì .

Do đó
Bài toán 7.30: Tính
a) b)
Hướng dẫn giải
a) .
nên
b)
Đặt thì . Khi thì thì


Bài toán 7.31: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt .


b) Ta có
Vì nên có số để

Bài toán 7.32: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Xét

Đồng nhất thì nên , do đó:

b) Đặt
.
Bài toán 7.33: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)

b) Đặt
Khi

Bài toán 7.34: Tính
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt

Do đó .
b) Đặt .

Do đó
Đặt thì tính được .
Bài toán 7.35: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)

b)

.
Bài toán 7.36: Tính: b)
Hướng dẫn giải
a)

b) Đặt .
Khi nên
Đặt . Khi đó

Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì .
Bài toán 7.37: Tính:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì .

b) Xét , ta có

và
nên
Bài toán 7.38:
a) Tính
b) Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải
a)

b)
.
Phương trình .
Bài toán 7.39: Tìm hàm số biết:
a) và
b) và .
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì nên .

Vì nên . Vậy .
b) Đặt thì


Vì nên . Vậy .
Bài toán 7.40: Tính theo .
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Với :
.
b)



Do đó .
Bài toán 7.41: Đặt
Chứng minh .
Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó

Bài toán 7.42: Đặt , với .
Chứng minh .
Hướng dẫn giải

Đặt . Khi đó
⇒ đpcm.
Bài toán 7.43: Đặt . Tính và suy ra hệ thức:

Hướng dẫn giải
Với , đặt và thì:

nên

Mà nên có:
Khai triển nhị thức dưới dấu tích phân:

So sánh thì ta có điều phải chứng minh:

Bài toán 7.44: Đặt . Tính theo và suy ra
Hướng dẫn giải



Do đó: Suy ra:


Xét dãy thì
Do đó
Mà
Và đpcm.
Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục trên . Chứng minh rằng tồn tại điểm sao cho .
Hướng dẫn giải
Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên . Ta có nên:

Vì f là hàm liên tục nên tồn tại để .
Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục trên thì:

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 7 Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác Lê Hoành Phò File word