CHUYÊN ĐỀ 6 - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bất đẳng thức cơ bản
- Bất đẳng thức BECNULI
Nếu và thì
Nếu và thì
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
Nếu thì
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
- Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ
Với hai dãy số thực:
thì
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
- Bất đẳng thức sắp thứ tự
Cho hai dãy số tăng và ()
Nếu là một hoán vị của dãy thì:

- Bất đẳng thức trung bình lũy thừa
Nếu và thì

- Bất đẳng thức SHUR
Cho thì:

- Bất đẳng thức CHEBYCHEP
Nếu hai dãy:
thì:
- Bất đẳng thức MIN-COP-XKI
Với hai dãy: và
thì
Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức:
- Nếu có trên K thì đồng biến trên K:

Đối với thì ta có bất đẳng thức ngược lại.
Việc xét dấu đôi khi phải cần đến hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu thì đồng biến từ đó ta có đánh giá rồi ,…
- Bất đẳng thức có biểu thức dạng là dùng định lý Lagrange , sự tồn tại số hay giá trị cũng có đánh giá bất đẳng thức.
- Bất đẳng thức JENSEN: và
Nếu thì
Nếu thì
- Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số thuộc K có tổng không đổi.
Bất đẳng thức có dạng .
Lập phương trình tiếp tuyến tại : .
Nếu trên K, dấu bằng xảy ra khi .
Khi đó

Dấu bằng xảy ra khi .
Còn nếu trên K, dấu bằng xảy ra khi thì có ngược lại
.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Đối với hàm số trên D. Xét dấu đạo hàm hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ với điều kiện đầy đủ của t.
Nếu đồng biến trên đoạn thì: và . Ngược lại với hàm nghịch biến.
Nếu liên tục trên đoạn và có nghiệm thì:

Nếu f lồi trên đoạn thì GTLN và nếu f lõm trên đoạn thì GTNN .
Đối với các đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại. Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:
a) với mọi
b) với và
Hướng dẫn giải
a) Hàm số liên tục trên nửa khoảng và:

Do đó hàm số f đồng biến trên nên
b) Xét hàm số: với
Ta có
Nếu thì do .
Nếu thì và
Nếu thì do . Do đó nên f là hàm số nghịch biến trên khoảng
Từ giả thiết có .
Do và nên từ đó có

đpcm (vì và )
Bài toán 6.2: Chứng minh các bất đẳng thức
a) với mọi .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Khi thì có nên
Suy ra
Xét hàm số
Ta có
Xét thì
nên nghịch biến do đó
Suy ra nên đồng biến
Do đó
b) BĐT

Vì

Ta sẽ chứng minh:
Đặt thì
Xét
Vì với
đồng biến trên đpcm.
Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương:
a) với và .
b) với mọi x.
Hướng dẫn giải
a) Với hoặc , bất đẳng thức đúng.
Với , BĐT:
Xét hàm số với
Ta có ; .
BBT
1
0
+
0
−
1
1
Suy ra với mọi đpcm.
b) Xét
Với thì : đúng. Với thì:

: đúng
Với thì f liên tục trên đoạn nên tồn tại giá trị bé nhất tại . Nếu hay thì .
Nếu thì f đạt cực tiểu tại đó.

Vì : đúng
Bài toán 6.4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) với 4 số a, b, c, d dương.
b) với a, b, c là 3 số mà phương trình:
có 3 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Không mất tính tổng quát, giả sử
Xem vế trái là hàm số

nên đồng biến trên :
. Vì nên đồng biến trên : : đpcm.
b) Đặt .
Vì có 3 nghiệm phân biệt nên có 2 nghiệm phân biệt:
với
Và vì hệ số cao nhất của f dương nên và .
Ta có

Từ

Do vậy:
Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức:
a) , với .
b) với .
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số trên . Ta có:
với nên đồng biến trên nửa khoảng
Do đó với mọi .
Xét hàm số trên .
Ta có: nên đồng biến trên , do đó . Suy ra g đồng biến trên nên với mọi đpcm.
b) Giữ y cố định, xét hàm số trên đoạn .
Ta có
Như vậy dấu của là dấu của

Do x, y thuộc nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y là điểm cực đại, suy ra : đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Bài toán 6.6: Cho và . Chứng minh:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử z là số bé nhất thì . Ta có

Và có

Xét thì
trên đồng biến trên , do đó:
.
b) Ta có:


Vì ít nhất 1 trong 3 số . Giả sử


Xét trong thì trên nên f đồng biến, do đó
Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi .
Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:
a) với a, b tùy ý.
b) với mọi .
Hướng dẫn giải
a) Nếu thì bất đẳng thức đúng.
Nếu thì bất đẳng thức tương đương: . Không mất tính tổng quát, giả sử .
Hàm số liên tục trên và có đạo hàm .
Theo định lý Lagrange, tồn tại sao cho:

: đpcm.
b) BĐT:
Hàm số liên tục trên và có
Theo định lý Lagrange, tồn tại sao cho:

Vì nên đpcm.
Bài toán 6.8: Cho các số thực dương. Chứng minh.
a)
b) với tổng
Hướng dẫn giải
a) Bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa: . Do đó
. Xét hàm số với .
Ta có
Vì trên nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen thì có
VT .
b) Ta có

Xét hàm số với .
Ta có
Vì trên nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen thì có
VT =
Dấu = xảy ra khi .
Bài toán 6.9: Chứng minh:
a) với
b) với
Hướng dẫn giải
a) Với , trước hết ta chứng minh rằng



: đúng
Ta cần chứng minh rằng

Đặt
BĐT : đúng
b) BĐT:

Giả sử , đặt thì .
Bất đẳng thức tương đương: .
Xét hàm số .

nên f là hàm đồng biến.
Ta có đpcm.
Bài toán 6.10: Chứng minh rằng
a) với khác 4.
b) với
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm trên . Ta có nên tiếp tuyến tại là:
hay
Bằng biến đổi tương đương hoặc sử dụng đạo hàm ta chứng minh được:
, với mọi
Tương tự: và
Cộng 3 bất đẳng thức trên và ta được đpcm.
b) Đặt
Ta cần chứng minh
Xét hàm số . Ta có:
nên f là hàm đồng biến.
Suy ra đpcm.
Bài toán 6.11: Cho và
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Với và . Ta chứng minh:
(đúng)
Dấu bằng xảy ra khi hoặc
Áp dụng ta có:
Dấu bằng xảy ra khi n chẵn và: hoặc
Xét
Áp dụng bất đẳng thức Jensen vào hàm lõm với các và:

Bài toán 6.12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số liên tục trên và có trên .
Theo định lý Lagrange, với mọi tồn tại và sao cho:
Hay
Vì nên
Do đó đpcm.
b) Xét thì : đúng.
Xét . Ta chứng minh qui nạp
Khi : đúng
Giả sử công thức đúng đến n:
Ta chứng minh: . Giả sử có số mà . Vì liên tục và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu để: . Ta có

Mà
Do đó:
Vì nên




Do đó: : vô lý đpcm.
Bài toán 6.13: Cho a, b, c là những số thực dương sao cho .
Chứng minh:
Hướng dẫn giải
BĐT
Ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Xét hàm:
thì
Vì là hàm số tăng trong khoảng và .
Do đó

Giả sử thì
Vì nên ta có:
Từ đó: và
Nên:

. Dấu “=” xảy ra khi
Từ đó đpcm.
Bài toán 6.14: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với .
Hướng dẫn giải
Đặt với

Do đó tăng trên
Theo định lý Lagrange:

Tương tự:
nên:

Và nên
(đpcm)
Bài toán 6.15: Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa . Chứng minh:
.
Hướng dẫn giải
Đặt
Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d. Ta có:

Nếu thì:

Nếu thì:


Đặt và gọi là 4 số theo thứ tự giảm dần.
Nếu thì tương tự lí luận trên:
với là 4 số theo thứ tự giảm dần.
Tiếp tục quá trình này ta lập được dãy vô hạn (vì nếu hữu hạn thì ta có ) thỏa 2 tính chất sau đây:
là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số


Từ tính chất (1) ta suy ra:
Và vì thế cùng có giới hạn là .
Do tính liên tục của hàm ta có:

Đẳng thức xảy ra khi: bốn số bằng khi dãy vô hạn, hay một số bằng 0 và ba số còn lại bằng khi dãy hữu hạn.
Bài toán 6.16: Cho .
Chứng minh bất đẳng thức: .
Hướng dẫn giải
Bổ đề: Xét hàm số
Nếu thì
Chứng minh: Ta có:



. Từ đó suy ra đpcm
Trở lại bài toán. Ta xét hai trường hợp
- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho . Khi đó:


Áp dụng bổ đề ta có:

. Từ đó suy ra đpcm.
- Cả ba số a, b, c đều không nằm trong đoạn . Khi đó do điều kiện , ta phải có hai số âm và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử thì ta có , vô lý). Giả sử, chẳng hạn .
Khi đó .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Bài toán 6.17: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki:


Do đó:

Ta chứng minh:
: Đúng
Dấu “=” xảy ra khi .
Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải
Từ giả thiết suy ra nên
và và
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Xét với với
có một nghiệm .
Lập bảng biến thiên thì được:
, suy ra:
Do đó: đạt được khi .
Bài toán 6.19: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
Hướng dẫn giải
Ta có . Điều kiện .
Khi thì hàm số .
Ta có .

So sánh thì tại
Khi hoặc thì
Khi thì
Vậy tại .
Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n.
a) Tìm giá trị lớn nhất của với
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn giải
a) Với thì nên .
Ta có . Đặt thif
nên hoặc hoặc .
Ta có nên suy ra
b) Xét thì
Ta có

hàm số nghịch biến trên nên .
Vậy .
Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn giải
Kết hợp với suy ra:
.


. Đặt , ta có
, do đó
Xét với mọi
. Do đó dấu = xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng .
Bài toán 6.22: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của .
Hướng dẫn giải
Ta có
Xét hàm số
.
Suy ra là hàm lõm trên nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị. Tiếp tuyến của tại là
.
Do đó và đẳng thức xảy ra khi . Từ đó, ta được

nên
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là , đạt được khi .
Bài toán 6.23: Cho và y tùy ý. Tìm GTLN, GTNN của

Hướng dẫn giải
Xét thì . Xét thì:

Đặt thì
Ta có .
BBT
0
1
+
0
+
1/18
0
0
Do đó: . Kết hợp thì .
Vậy khi , khi .
Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết


Đặt . Khi đó và
Xét hàm trên
Ta có
Lập BBT thì , đạt được khi
Ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy , đạt được khi .
Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 6 Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Lê Hoành Phò File word