CHUYÊN ĐỀ 5 - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phương pháp chung:
- Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,…
- Lôgarit hóa, mũ hóa
- Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số, định lý Lagrange,…
Phương trình mũ và lôgarit
- Dạng:
Nếu , phương trình vô nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất
- Dạng: ()
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất .
*
*
Bất phương trình mũ và lôgarit
(với và )
(với và )
(với )
(với )
Nếu :
Nếu :
Nếu :
Nếu : .
Hệ phương trình mũ và lôgarit
Việc giải hệ phương trình mũ và lôgarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ phương trình đại số như rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu của hàm số, … phối hợp với các biến đổi về biểu thức mũ và lôgarit, mũ hóa, lôgarit hóa.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 5.1: Giải các phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì PT:
hoặc
Giải ra nghiệm hoặc
b) Chia 2 vế cho thì PT:
. Đặt .
PT:
Bài toán 5.2: Giải các phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Hai vế đều dương, lôgarit hóa theo cơ số 10:

b) PT:
hoặc
hoặc hoặc
Bài toán 5.3: Giải các phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình:
Vì:
Đặt thì PT:

Ta có: suy ra nghiệm
b) Điều kiện , vì không thỏa mãn nên PT:

Đặt
PT: . Xét , với
suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
Vì cùng dấu nên cùng thuộc một khoảng hoặc do đó PT:
(chọn).
Bài toán 5.4: Giải các phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) PT:

hoặc hoặc .
(Vì đồng biến trên và ).
b) PT . Xét ,
Ta có: ,
Vậy có tối đa 2 nghiệm mà nên tập nghiệm là .
Bài toán 5.5: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện . Phương trình tương đương với




Ta có:
- Nếu
: chọn
- Nếu
: chọn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
Cách khác: đặt thì
Phương trình: .
b) PT:



Vì .
- Nếu thì , vô nghiệm
- Nếu thì
Suy ra
Vậy nghiệm là: .
Bài toán 5.6: Giải các phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt . Phương trình:
hay với
Ta có:
Đây là phương trình bậc hai theo nên có không quá hai nghiệm. Theo định lý Rolle thì phương trình có không quá ba nghiệm. Mặt khác ta thấy , là ba nghiệm của .
Suy ra PT đã cho có nghiệm .
b) PT:
- Nếu , do nên
VT
VP = : loại.
- Nếu , lập luận tương tự trường hợp trên: loại.
- Nếu thì PT được thỏa mãn và phương trình đã cho có nghiệm .
Bài toán 5.7: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Xét
thì
Nên f đồng biến và nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
b) Ta có
Gọi a là nghiệm của phương trình trên thì có
Xét hàm số , khi đó liên tục trên và
. Ta có
Áp dụng định lý Rolle trên thì tồn tại số c thuộc sao cho do đó
hoặc
Vì c thuộc nên hoặc
Thử lại đúng, vậy phương trình có 2 nghiệm là và
Bài toán 5.8: Giải các phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: , PT:
Chia cả hai vế cho , đặt thì được PT:
. Chọn nghiệm .
b) ĐK: , đặt thì
PT:
. Vậy
Bài toán 5.9: Giải các phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK:
PT: .
(chọn).
b) ĐK: , , đặt thì PT:
hoặc .
Suy ra nghiệm hoặc .
Bài toán 5.10: Giải các phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện . Đặt . Ta có


PT:


và
. Vậy nghiệm
b) Điều kiện . Đặt
PT:

Xét hàm số thì PT trên là
Khảo sát hàm số ta suy ra được

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là , suy ra .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .
Bài toán 5.11: Giải các phương trình
a) b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: . Ta có là hàm đồng biến nên với và với
Vậy là nghiệm duy nhất.
b) ĐK: , đặt thì PT:


Ta có thỏa mãn và vì hàm số nghịch biến trên nên là nghiệm duy nhất, do đó PT cho có nghiệm .
Bài toán 5.12: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện là . Đặt
PT:

Do đó:
: chọn. Vậy nghiệm .
b) Điều kiện . Phương trình tương đương với



. Từ đó suy ra nghiệm x.
Bài toán 5.13: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện
Đặt . Ta có

Do đó
PT:
- Nếu thì
Xét

Do đó phương trình có tối đa 2 nghiệm mà nên phương trình có hai nghiệm là .
- Nếu
Vì
và nên phương trình trên vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .
b) Điều kiện . PT:
Xét hàm số vế trái , ta có:

Do đó f là hàm số đồng biến và nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
Bài toán 5.14: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) PT: hay
Xét hàm số
Vì nên phương trình có đúng một nghiệm là .
Vì do đó là điểm cực tiểu của hàm số.
Suy ra nên PT vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
b) Điều kiện
PT:

Đặt thì
Đặt

Suy ra
Do đó: hay : chọn.
Bài toán 5.15: Giải các phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: , PT: .
Xét hàm số thì
, lập BBT thì có tối đa 2 nghiệm mà nên .
b) Đk: . Xét thì PT thỏa mãn:
Xét thì
nên VT > VP (loại), xét thì VT < VP (loại)
Vậy PT có nghiệm duy nhất .
Bài toán 5.16: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình:

Xét hàm số thì
Do đó đồng biến, nên phương trình
k
Vậy phương trình có 2 nghiệm và .
b) ĐK: .
Đặt
Do đó
nên
Suy ra PT có nghiệm duy nhất
Chọn nghiệm .
Bài toán 5.17: Giải các bất phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) - Nếu thì bất phương trình thỏa mãn
- Nếu thì
, thỏa mãn
- Nếu thì bất đẳng thức ở trên đổi chiều: không thỏa mãn.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm .
b) Vì là hàm nghịch biến và nên cùng dấu với . Hàm số là hàm đồng biến và nên , do đó cùng dấu với x.
Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với
. Vậy tập nghiệm của BPT là .
Bài toán 5.18: Giải các bất phương trình
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Chia 2 vế cho , BPT:

(vì cơ số )
b) Đặt . Bất phương trình

Do đó
Bài toán 5.19: Giải các bất phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Đặt thì BPT:

Do đó .
b) ĐK: , BPT:


hoặc
hoặc
Từ đó suy ra nghiệm BPT: hoặc .
Bài toán 5.20: Giải các bất phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: hoặc
Xét thì VT VP: đúng.
Xét thì VP ,
VT = nên có nghiệm .
Vậy tập nghiệm
b) Điều kiện . Đặt thì
VT
Ta có nên hàm số f đồng biến, mà .
Mặt khác VP nên dấu = đồng thời xảy ra .
Bài toán 5.21: Giải các bất phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) BPT:
Vậy tập nghiệm
b) ĐK: , lôgarit hóa theo cơ số :

hay
hoặc
Bài toán 5.22: Giải các bất phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: , .
Nếu thì BPT

(loại)
Nếu thì BPT chọn .
Vậy tập nghiệm .
b) ĐK: . Xét thì còn (loại)
Xét thì nên BPT nghiệm đúng.
Vậy tập nghiệm .
Bài toán 5.23: Giải các bất phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện , BPT:
Xét hàm số
thì . Ta có

Khi thì nên đồng biến: suy ra
Do đó . Tương tự khi thì nên nghịch biến:
suy ra . Do đó .
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi .
b) Xét thì ,
Do đó : đúng
Xét thì


: Đúng
Vậy tập nghiệm .
Bài toán 5.24: Giải các hệ phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: . Ta có nên
. Xét thì : đúng.
Xét thì
Do đó nên
Chọn . Vậy .
b) ĐK: . Hệ tương đương:

hoặc
Từ đó giải ra nghiệm .
Bài toán 5.25: Giải các hệ phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Trừ 2 phương trình vế theo vế thì được

Xét thì VT (loại), thì VT (loại).
Xét thì được:
Đặt . Ta có:

Suy ra đồng biến trên nên có tối đa 2 nghiệm mà nên hệ có 2 nghiệm và
b) Điều kiện xác định
Ta có:
Đặt , thì . Ta có:
.
Suy ra .
Nên
hay hay
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là
Bài toán 5.26: Giải các hệ phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) ĐK: nên . Vì cơ số , nên với : Nếu thì VT VP, nếu thì VT VP, nếu thì thỏa mãn.
Do đó , chọn .
b) Đặt , ĐK: .
Hệ
Do đó
Xét
nên f đồng biến trên , do đó PT .
Ta có PT: , giải ra nghiệm duy nhất:
nên
Bài toán 5.27: Giải các hệ phương trình:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) PT (1) biến đổi thành:
và
Cộng lại thì được
Do đó
PT này có nghiệm duy nhất nên
b) Đặt thì

Xét thì VT , xét thì VT nên chỉ có nghiệm
.
Thế vào
Xét hàm thì
, nên là hàm đồng biến trên , ta có nên là nghiệm duy nhất.
Suy ra
Bài toán 5.28: Giải các hệ phương trình
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện



Thay vào phương trình nên:
Ta thấy rằng , suy ra

. Do đó : thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
b) Đặt , phương trình (1) của hệ trở thành

Nếu a là nghiệm thì cũng là nghiệm nên chỉ cần xét .
Xét hàm số với số thực t dương tùy ý.
Ta có: , do nên suy ra hàm số này đồng biến trên .
Do đó, ta được bất đẳng thức sau: và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi .
Suy ra
Đẳng thức phải xảy ra nên hay .
Thay vào phương trình (2) ta có:


. Suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
Bài toán 5.29: Giải các hệ phương trình sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện . Xét : loại nên
Xét hàm số .
nên hàm số này đồng biến trên . Do đó .
Thay vào phương trình (1)
Đặt
Suy ra
Vế trái là hàm nghịch biến và thỏa mãn nên nghiệm duy nhất của phương trình là . Vậy hệ có duy nhất là .
b) Điều kiện
Xét hàm số
nên f là hàm đồng biến
Giả sử thì từ hệ trên suy ra
Do đó nếu là nghiệm của hệ thì nên có phương trình . Vì vế trái là hàm đồng biến và thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .
Bài toán 5.30: Giải các hệ phương trình:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện . PT (2):
Đặt . Ta có
, suy ra
Do đó:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
b) Điều kiện . PT

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành Phò File word