CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa và căn thức:
(với và )
(với và )
(với và ).
Khi n lẻ, (với mọi a)
Khi n chẵn, (với ).
- Biến đổi lũy thừa: Với các số và tùy ý, ta có:


- So sánh: Nếu thì:
Lôgarit:
- Lôgarit cơ số a: ( và )
- Lôgarit cơ số 10: hay
- Lôgarit cơ số e:
- Tính chất: và với .
với .
- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:


(với mọi ), ()
- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
hay
hay
Hàm số lũy thừa :
Liên tục trên tập xác định của nó
Đạo hàm ;
, với .
Hàm số đồng biến trên khi ; nghịch biến trên khi .
Hàm số mũ:
Liên tục trên tập xác định , nhận mọi giá trị thuộc .

Đạo hàm: ;
với .
Đồng biến trên nếu , nghịch biến trên nếu .
Hàm số lôgarit :
Liên tục trên tập xác định , nhận mọi giá trị thuộc .
;
Đạo hàm
với .
Hàm số đồng biến trên nếu , nghịch biến trên nếu .
Giới hạn:

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính

Hướng dẫn giải


.
Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:

Hướng dẫn giải


Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b) Vì
nên
Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có
nên
Cách khác: Đặt .
Ta có nên chọn .
b) Ta có:
Tương tự
Do đó
Cách khác: Đặt . Ta có:

.
Ta có phương trình:

Bài toán 4.5: Tính gọn
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có

Tương tự: (do )
Suy ra
b) Đặt
Ta có:


Vậy .
Bài toán 4.6:
a) Cho . Tính
b) Tính
Hướng dẫn giải
a) Đặt
, và
Vì
nên


b) Với mọi thì

. Do đó


Bài toán 4.7: Cho với . Chứng minh , .
Hướng dẫn giải
Ta có

Ta có:
nên
.
Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:
a) Nếu thì
b) Nếu , thì:
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết suy ra

có 2 số đối nhau mà ta có n lẻ đpcm.
b) VT =
VT đpcm.
Bài toán 4.9: Tính:
a)

.
b) .
Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b) Đặt
Mặt khác
Do đó: .
Bài toán 4.11:
a) Cho , tính theo x, y
b) Cho , tính theo a, b, c.
Hướng dẫn giải
a) Ta có và
Suy ra
Do đó .
b)


Ta có ;

Vậy
Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
Tính
Hướng dẫn giải
Ta có:

.
Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b) VT =

Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu thì .
b) Nếu lập cấp số nhân thì
Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết: . Xét : đúng.
Xét thì
nên
b) Ta có
Tương tự:
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên
Do đó
Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:
a) Nếu , thì:
.
b) Nếu thì
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết, ta có:

Do đó: . Tương tự
Mà , nên

Tương tự trên, ta cũng có . Do đó

b) Nếu một trong các số bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến , mâu thuẫn.
Do đó khác 0.
Từ giả thiết thì:
Ta có:



Tương tự
Do đó:

: đúng
Chứng minh tương tự: .
Bài toán 4.16: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải
Vì nên
Ta có nên
Suy ra
Do đó

Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức .
a) Tìm hệ số của b) Tìm số hạng không chứa x
Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát của là:

a) Hệ số của ứng với là:
.
b) Số hạng không chứa x ứng với là .
Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x?
Hướng dẫn giải
ĐK: . Ta có:

Số hạng thứ 4 ứng với , theo giả thiết bằng 200 nên:

(Chọn).
Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)

b)

Bài toán 4.20: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Bài toán 4.21: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)

b)
.
Bài toán 4.22: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau:
a) b) với .
Hướng dẫn giải
a)

b)

Vậy
Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)


b) Ta có:
nên
Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có

Nên
b)
Nên
Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
Ta có:
Vậy:
b)
Đặt thì và
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
a) b) c)
Hướng dẫn giải
a)
b)

c) Ta có nên

Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
Bài toán 4.29: Chứng minh:
a) Nếu thì:
b) Nếu thì:
Hướng dẫn giải
a) nên:

b)

Do đó, ta có:
và
: đpcm.
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
Ta chứng minh quy nạp:
b) Với hoặc :


Ta chứng minh quy nạp
Suy ra
Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) , .
BBT
0
1
−
−
0
+
e
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng và đồng biến trên khoảng , đạt CT
b) hoặc .
BBT
0
2
−
0
+
0
−
0
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng , nghịch biến trong các khoảng và , đạt CĐ , CT .
Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
Khi thì nên hàm số nghịch biến trên
Khi thì nên hàm số đồng biến trên
Hàm số không có cực trị.
b)
nên hàm số đồng biến trên
nên hàm số nghịch biến trên
Ta có nên đạt cực tiểu tại .
Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số
đồng biến với mọi x dương.
Ta có

Do đó


Bài toán 4.34: So sánh các số:
a) và b) và
Hướng dẫn giải
a)
Ta có nên
b)
Bài toán 4.35: So sánh các số:
a) và b) và
Hướng dẫn giải
a) Ta có: và
. Vậy
b) Ta có và
Ta có : đúng
Vì cơ số nên .
Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số:
a) và b) và
Hướng dẫn giải
a) Ta có và , suy ra
b) Ta có nên (vì ) và nên (vì ).
Suy ra .
Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Bài toán 4.38:
a) So sánh hai số và
b) Chứng minh với n số 2, thì
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy rằng
Mà
nên
Mặt khác:

Từ đó suy ra
b) Ta chứng minh quy nạp
Với n số 2, đặt
Ta có nên

Và mặt khác
Nên . Ta có đpcm.
Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) với mọi số nguyên
b) , nếu , với
Hướng dẫn giải
a)

Ta có
và
. Do đó .
b) Ta có
Mà nên
Suy ra với thì
Từ đó ta có:
Bài toán 4.40:
a) Cho . Chứng minh
b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh:

Hướng dẫn giải
a) Giả sử .
- Xét : BĐT
Vì nên
- Xét : BĐT
Vì nên
b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có , nên:
và
Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên
thì
Ta có:
Suy ra hay đpcm.
Bài toán 4.41:
a) Cho . Chứng minh
b) Cho 4 số . Chứng minh:
.
Hướng dẫn giải
a) BĐT


BĐT này đúng vì cơ số nên hoặc nên , .
b) Ta có: với mọi a.
Và vì nên hàm nghịch biến, do đó:
VT

.
Bài toán 4.42: Chứng minh:
a)
b) với n nguyên, và .
Hướng dẫn giải
a) Với , bất đẳng thức tương đương

Xét trên thì .
Do đó f đồng biến trên nên: (đpcm)
b) Với hoặc , bất đẳng thức đúng.
Với , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
. Xét với .

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Lê Hoành Phò File word