CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số:
Phương trình hoành độ giao điểm: là một phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
1) Phương trình bậc 3:
Nếu có nghiệm thì phân tích:
Nếu đặt hàm số thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc , có 2 nghiệm: , có 3 nghiệm phân biệt: .
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:
2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị , ta thường lấy hai hoành độ và với .
Góc và khoảng cách:
- Góc giữa 2 vectơ:
- Góc giữa 2 đường thẳng:
- Khoảng cách
- Khoảng cách từ đến :

- Đồ thị hàm bậc 3: cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách tức là 3 nghiệm lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi , .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm của đồ thị
, hệ số góc:
- Điều kiện 2 đồ thị và tiếp xúc là hệ phương trình:
có nghiệm
- Tiếp tuyến đi qua điểm : Lập phương trình tiếp tuyến tại bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm thì tìm ra .
Chú ý: Với hai đường thẳng thì có: khi , ; khi , ; khi
Yếu tố đối xứng:
- Hàm số chẵn: và
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.
- Hàm số lẻ: và
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.
- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến .
với :
- Điều kiện nhận là tâm đối xứng.
, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên là hàm số lẻ.
- Điều kiện nhận làm trục đối xứng;
, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến là hàm số chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.
Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
Đặc biệt: Nếu thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng tại đúng hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

hoặc
Xét hàm số . Ta có và
nên hàm số này đồng biến trên .
Vì
và
nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất : đpcm.
Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Cho

hoặc
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.
hoặc
b) . Ta có .
Điều kiện cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và
và
.
.
(vì nên ).
Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số:
a) Tại hai điểm phân biệt?
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Hướng dẫn giải
Phương trình của .
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường cong:


a) Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.
hoặc .
b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng của đồ thị. Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm và .
Đặt thì .
Phương trình trở thành:
.
ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng
a) cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
b) cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm:

Với mọi thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và đối xứng qua Oy, .
Tam giác OAB vuông tại O nên
Mà nên
Do đó
(vì )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
.
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:
: Đúng
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất khi .
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
a) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
b) Đường thẳng cắt tại hai điểm A, B mà .
Hướng dẫn giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:
hoặc .
Điều kiện và . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm

Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi: hoặc hoặc (chọn).
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và :

Đường thẳng d cắt tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó và
Ta có

(thỏa mãn).
Vậy hay .
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng luôn cắt đồ thị : tại 2 điểm M, N và cắt 2 tiệm cận của tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm d và :
.
Ta có không là nghiệm và , nên d luôn cắt tại 2 điểm phân biệt M, N.
Ta có nên TCĐ: , TCX: .
Do đó , hoành độ giao điểm Q của d với TCX:
. Do đó : đpcm.
Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) biết tung độ tiếp điểm là
b) song song với
Hướng dẫn giải
a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm :

Vì
nên .
Thế vào: .
b) . Đường thẳng d có hệ số góc .
Tiếp tuyến song song với nên
hoặc .
Với thì nên có tiếp tuyến
Với thì nên có tiếp tuyến .
Vậy có 2 tiếp tuyến và .
Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị:
a) và có hệ số góc bé nhất.
b) thỏa mãn tại
Hướng dẫn giải
a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.
, dấu = khi
nên , do đó tiếp tuyến tại là .
b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

Thế :
Thế vào
hoặc .
Với thì (loại)
Với thì .
Vậy phương trình tiếp tuyến
Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số:
a) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đến tiếp tuyến bằng .
b) biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho .
Hướng dẫn giải
a) Ta có
Phương trình tiếp tuyến d tại

nên



Với ta có phương trình tiếp tuyến
Với , ta có phương trình tiếp tuyến .
b) Ta có .
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho nên hệ số góc của tiếp tuyến d là:

Do đó

Với , phương trình của d là
Với , phương trình của d là .
Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số: tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích .
Hướng dẫn giải
Ta có
Tiếp tuyến d với tại

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.
. Ta có


Chọn nên có hai tiếp tuyến là:
.
Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số:
a) và đi qua
b) và đi qua
Hướng dẫn giải
a) Ta có: . Phương trình tiếp tuyến tại điểm


Cho tiếp tuyến qua :
hoặc
Với thì có tiếp tuyến
Với thì có tiếp tuyến
b) Ta có
Gọi d là tiếp tuyến với tại điểm bất kỳ.


Tiếp tuyến d đi qua nên ta có:


(vì )
Vậy phương trình tiếp tuyến .
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:
và
Hướng dẫn giải


Gọi tiếp tuyến chung là và , là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:

Do đó nên
và
nên
hoặc .
Với thì . Với thì .
Vậy có 2 tiếp tuyến chung: và .
Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị hàm số: sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận của A, B với .
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến tại

Giao điểm của d với tiệm cận đứng là ;
Giao điểm của d với tiệm cận ngang là

Ta có

Vậy .
Bài toán 3.14: Cho hàm số có đồ thị . Trên đồ thị lấy điểm phân biệt là A và B có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của tại các điểm A và B song song với nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, . Hệ số góc của tiếp tuyến của tại A và B lần lượt là:

Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là

Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:


Hai tiếp tuyến của tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi

Giải hệ này, ta được nghiệm là
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của tại A và B song song với nhau là , , .
Bài toán 3.15: Tiếp tuyến của tại điểm M có hoành độ , cắt trục hoành Ox tại A và cắt đường thẳng tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến, Ox và d không đổi.
Hướng dẫn giải
. Phương trình tiếp tuyến tại :
.
Giao điểm A với trục hoành
Cho thì .
Giao điểm B với đường thẳng .
Cho thì .
Vì:
nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.
Gọi I là giao điểm của Ox và d thì . Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:
: không đổi
Bài toán 3.16: Cho hàm số . Chứng minh rằng qua điểm vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng qua hệ số góc là a là , đường thẳng là tiếp tuyến với đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được:
PT có 2 nghiệm thỏa mãn: .
Ta có:

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
Bài toán 3.17: Cho hàm số . Tìm trên những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến với .
Hướng dẫn giải
Giả sử là một điểm trên . Giả sử tiếp tuyến kẻ từ M đến tiếp xúc với tại . Khi đó phương trình của có dạng:
Vì đi qua M nên ta có:
Và N thuộc nên ta có:
Suy ra
nên
hay
Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
. Từ đó tính được .
Vậy là điểm duy nhất trên mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với .
Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua giao điểm của 2 tiệm cận.
Hướng dẫn giải
Ta có nên có TCĐ: ,
TCX: , giao điểm 2 tiệm cận
Phương trình đường thẳng qua I với hệ số góc k là .
Giả sử d là tiếp tuyến của thì hệ sau có nghiệm.

: vô lý
Vậy không một tiếp tuyến nào của đi qua I.
Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại của đồ thị cũng là tiếp tuyến của đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Với thì nên tiếp tuyến tại là .
Đặt .
Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm :

.
Chọn nghiệm nên : đpcm.
Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.
Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau: và . Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Hướng dẫn giải
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có .
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ O.
Ta có nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là.
Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
a) tiếp xúc với trục hoành
b) có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: .
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:

b) Ta có nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là . Đường thẳng này tiếp xúc với khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm


Với , ta có và với thì
Vậy có hai giá trị m cần tìm là , .
Bài toán 3.22: Cho hàm số . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc . Gọi là giao điểm của với tiếp tuyến của tại A, B, C. Chứng minh rằng thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có dạng:

Phương trình hoành độ giao điểm của và tiếp tuyến có dạng:



Do đó tiếp tuyến của tại A cắt tại 2 điểm có hoành độ chính là A và điểm có hoành độ là điểm , tức là .
Tương tự .
Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc thẳng hàng khi và chỉ khi .
Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình .
Khi đó là nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lý Viet, ta suy ra
Ngược lại, giả sử . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt thì theo phần thuận ta có suy ra suy ra trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng. Nhận xét được chứng minh.
Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có .
Mà nên suy ra thẳng hàng (đpcm).
Bài toán 3.23: Cho hàm số . Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Khi thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Khi thì đồ thị có tiệm cận đứng: và tiệm cận xiên: .
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45° .
Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt M và N sao cho OM vuông góc với ON.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt khác 1:
. Do đó: .
Ta có
Điều kiện
(chọn).
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị đến 2 tiệm cận là một hằng số.
Hướng dẫn giải
nên TCĐ ,
TCX:
Với , khoảng cách đến 2 tiệm cận:
: không đổi.
Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều đường thẳng .
Hướng dẫn giải
. Ta có .
Điều kiện có CĐ và CT là
Ta có nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là .
Điều kiện CĐ, CT cách đều là hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm của đoạn nối CĐ, CT.
hoặc
hoặc (chọn)
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị : cắt trục tung Oy tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.
Hướng dẫn giải
Với điều kiện thì:
Phương trình tiếp tuyến tại là:

Tiếp tuyến cắt Oy tại
Ta có:
: đpcm
Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
Đồ thị có TCĐ: , TCN: nên giao điểm 2 tiệm cận là . Ta có nên khoảng cách:

Dấu = xảy ra khi .
Vậy .
Bài toán 3.29: Cho hàm số: có đồ thị . Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng và là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử . Tổng khoảng cách là


Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy điểm M thỏa mãn
Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.
Hướng dẫn giải
Đồ thị có TCĐ , TCN .
Gọi , ta có

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi , do đó có 2 điểm và .
Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi , tổng khoảng cách đến 2 trục là .
Xét điểm thì nên , khi đó chỉ xét các điểm có: , nên , khi đó:

Dấu = xảy ra khi
Vậy có 2 điểm
Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi thì tổng khoảng cách đến 2 trục .
Xét điểm thì , do đó nên chỉ xét các điểm có hoành độ .
Khi đó nên .
Nếu thì
.
Lập BBT thì .
Nếu thì
Do đó g nghịch biến trên .
So sánh thì tại .
Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị :
có khoảng cách bé nhất.
Hướng dẫn giải
Hàm số
Gọi là 2 điểm thuộc 2 nhánh với . Ta có:


.
Dấu = xảy ra khi và
Vậy và
Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc và N thuộc : sao cho MN bé nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.
Gọi thì

Do đó
Ta có

. Lập BBT thì .
Khi đó ; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy , .
Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị :
a) có tâm đối xứng.
b) có trục đối xứng.
Hướng dẫn giải
a) Ta có nên có TCĐ: và TCX: , do đó giao điểm 2 tiệm cận . Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ . Thế vào thì được:

Vì là hàm số lẻ đpcm.
b)
hoặc hoặc .
Xét điểm . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ : . Thế và hàm số: là hàm số chẵn đpcm.
Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm .
Hướng dẫn giải
Ta có . Gọi theo đề bài:

Do đó nên và .
Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
Hướng dẫn giải
Xét đường thẳng vuông góc với d thì .
PT hoành độ giao điểm của và .
.
Điều kiện
Hoành độ giao điểm I của d và :
I là trung điểm đoạn AB:
(chọn).
Vậy .
Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm đối xứng nhau qua .
Hướng dẫn giải
Điều kiện PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác −1:
.

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File word