CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Tính lồi lõm của đồ thị:
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
f gọi là lõm trên K nếu
f gọi là lồi trên K nếu
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
f lõm trên K
f lồi trên K .
Điểm uốn của đồ thị:
Điểm được gọi là điểm uốn của đường cong nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho một trong 2 khoảng thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Cho hàm số có đạo hàm cấp 2 một khoảng chứa điểm . Nếu và đổi dấu khi x qua điểm thì là điểm uốn của đường cong .
Chú ý:
1) Nếu thì tung độ điểm uốn tại là
2) Nếu f lồi trên đoạn thì GTLN
3) Nếu f lõm trên đoạn thì GTNN
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có.
Bước 2: Sự biến thiên
- Tính các giới hạn
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị
Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: có tâm đối xứng là điểm uốn.
Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương:
Đường tiệm cận
- Đường thẳng được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Đường thẳng được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu hoặc
- Đường thẳng được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị nếu hoặc .
Chú ý:
1) Nếu chia tách được và thì tiệm cận xiên:
2) Biểu thức tiệm cận khi
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tìm tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
Bước 2: Chiều biến thiên
- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: với
Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ:
Chú ý:
1) Từ đồ thị suy ra các đồ thị:
bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành
bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
bằng cách lấy đối xứng qua gốc
bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối xứng qua trục hoành.
là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung.
2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng
Đưa phương trình về dạng trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị . Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng .
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:
- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số: ,
Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:




hoặc
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) . Ta có

Vậy điểm uốn , hàm số lồi trên khoảng và lõm trên khoảng .
b) . Ta có
Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên .
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) . Ta có
Nên

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng và lõm trên khoảng .
b) . Ta có

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng và lõm trên khoảng .
Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số luôn có ba điểm uốn thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có:


Đặt
Ta có:
và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng .
Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là nên

Ta có:

Suy ra
Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng nên chúng thẳng hàng
Bài toán 2.4: Cho hàm số: , m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách .
Hướng dẫn giải
a) Khi hàm số trở thành
* Tập xác định
* Sự biến thiên:

Bảng biến thiên:
1
3
+
0
−
0
+
3
−1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và , nghịch biến trên . Hàm số đạt cực đại khi , và đạt cực tiểu tại .
• Đồ thị:
,

nên tâm đối xứng là điểm uốn .
Cho thì .
b) Ta có
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
Gọi các điểm cực trị là .
Theo định lý Viet
Ta có



nên

(thỏa mãn). Vậy .
Bài toán 2.5: Cho hàm số: có đồ thị với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
b) Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng .
Hướng dẫn giải
a) Khi hàm số trở thành .
* Tập xác định
* Sự biến thiên: ;
Bảng biến thiên
−1
2
−
0
+
0
+
5
−4
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , .
Hàm số đạt cực tiểu tại và , đạt cực đại tại và .
* Đồ thị:
Đồ thị cắt Oy tại ,
,
nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
b)
Hệ số góc của là
Tiếp tuyến của tại mỗi điểm vuông góc với đường thẳng khi

Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Vậy hay .
Bài toán 2.6: Cho hàm số . Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị có tung độ m và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.
Hướng dẫn giải
Hai điểm A, B thuộc đồ thị có tung độ m nên thuộc đường thẳng .
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị là nghiệm của phương trình
Phương trình (1)
Đường thẳng cắt tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi và phương trình (1) có nghiệm (trong đó là hoành độ của A, B)
Khi đó là nghiệm của phương trình
Phương trình (2)
Đồng nhất các hệ số của (1) và (2):
Suy ra
Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) b)
Hướng dẫn giải
a)
* Tập xác định
* Sự biến thiên và
Ta có nên hàm số nghịch biến trên . Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên
−
* Đồ thị:
nên đồ thị có điểm uốn .
Cho . Cho

b)
* Tập xác định
* Sự biến thiên: và
Ta có nên hàm số đồng biến trên , hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:
1
+
0
−
* Đồ thị:
nên đồ thị có điểm uốn
Cho .
Bài toán 2.8: Cho hàm số: , m là tham số. Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại thỏa mãn .
Hướng dẫn giải
,


Hàm số cực đại, cực tiểu tại khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ta có
Do đó

Kết hợp thì chọn:
Bài toán 2.9: Cho hàm số: , với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
a) Khi , hàm số trở thành
* Tập xác định , hàm số chẵn.
* Sự biến thiên:
hoặc
Bảng biến thiên
0
−
0
+
0
−
0
+
5
−4
−4
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng ;
Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại
* Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng
b) Ta có .
hoặc
Hàm số có 3 điểm cực trị có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại , A và C đối xứng nhau qua Oy.
ABC là tam giác vuông tam giác ABC vuông cân tại B
hoặc .
Vậy chọn .
Bài toán 2.10: Cho hàm số: , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi.
Hướng dẫn giải
Ta có

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó các điểm cực trị:

Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi
O và B đối xứng nhau qua

(thỏa mãn). Vậy .
Bài toán 2.11: Cho hàm số: , với m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho .
Hướng dẫn giải
a) Khi hàm số trở thành
* Tập xác định , hàm số chẵn
* Sự biến thiên:

Bảng biến thiên
0
+
0
−
0
+
0
−
6
6
2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và ; nghịch biến trên mỗi khoảng và . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu ; hàm số đạt cực đại tại các điểm , giá trị cực đại .
* Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng
b) Cho
Đặt thì PT:
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt .


Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn khi và chỉ khi .
Theo định lý Viet ta có .
Do đó
hay .
Ta chọn .
Bài toán 2.12: Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
a) .
* Tập xác định . Hàm số chẵn.
* Sự biến thiên:
hay
Bảng biến thiên
−2
0
2
−
0
+
0
−
0
+
3
−1
−1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; . Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại .
* Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng
b) Ta có phương trình

Đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị bằng cách giữ nguyên phần nằm phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị và đường thẳng .
Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
.
Bài toán 2.13: Cho hàm số: , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải


Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: , và
Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy.
O là trọng tâm của tam giác ABC

. Chọn giá trị .
Bài toán 2.14: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) b)
Hướng dẫn giải
a) .
* Tập xác định . Hàm số chẵn
* Sự biến thiên và

BBT
0
+
0
−
5
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Hàm số đạt cực đại tại điểm .
* Đồ thị: nên đồ thị không có điểm uốn.
Cho
b)
* Tập xác định : Hàm số chẵn.
* Sự biến thiên: .
.
BBT
0
−
0
+
−3/2
Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và đạt cực tiểu tại .
* Đồ thị: nên đồ thị không có điểm uốn.
Giao điểm với trục tung , giao điểm với trục hoành và .
Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) suy ra 2 TCĐ: và .
Ta có nên TCX: .
b) suy ra 2 TCĐ: và .
Ta có nên TCN: .
Bài toán 2.16: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) . Ta có nên TCĐ: (khi )
Ta có nên TNX: (khi ).
b) . Đồ thị không có TCĐ.
Gọi là TCN, TCX thì:
;


Vậy tiệm cận xiên: (khi ).





Vậy tiệm cận xiên: (khi )
Cách khác:
và vì suy ra TCX.
Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:
a) b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có
- Khi thì nên là tiệm cận xiên. Ta có:
Khi và khi nên TCĐ .
- Khi thì (với ), đồ thị là đường thẳng (trừ điểm ) nên nó trùng với tiệm cận xiên.
b) Ta có:
Khi thì
Khi thì
Từ đó suy ra: Với thì là tiệm cận đứng
Với thì là tiệm cận đứng.
Với và thì đồ thị có hai tiệm cận đứng là và .
Ta có nên đồ thị có TCN, TCX: .
Bài toán 2.18: Cho đường cong
a) Tìm m để tiệm cận xiên của đi qua
b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên
Hướng dẫn giải
a) Ta có


Suy ra phương trình tiệm cận xiên là .
TCX đi qua khi và chỉ khi: .
b) Đồ thị có tiệm cận đứng là . Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là .
Giao điểm này nằm trên đường cong khi
hoặc
Bài toán 2.19: Cho hàm số . Tìm m để tiệm cận xiên của tạo với các trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Hướng dẫn giải
Hàm số .
Ta có nên tiệm cận xiên d của có phương trình . Giao điểm của d với Ox: , giao điểm của d với Oy:
Diện tích tam giác OAB là .
Điều kiện
Bài toán 2.20: Cho hàm số: .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Suy ra đồ thị .
Hướng dẫn giải
a) .
* Tập xác định .
* Sự biến thiên: Ta có: và
Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng
Vì nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị.
Ta có:
Bảng biến thiên
−
−
2
2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
* Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại cắt Oy tại .
nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Ta có nên đồ thị giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng của đồ thị , còn phần bên trái tiệm cận đứng của đồ thị thì lấy đối xứng qua trục hoành.
Bài toán 2.21: Cho hàm số: .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận ngang tại B mà .
Hướng dẫn giải
a)
* Tập xác định
* Sự biến thiên: Ta có và
Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng
Ta có nên đường thẳng là tiệm cận đứng

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
* Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại , cắt Oy tại , và nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Phương trình tiếp tuyến tại

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 2 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Lê Hoành Phò File word