CHUYÊN 19: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM G
Định nghĩa: Cho và số
Ta gọi là một nghiệm thực của nếu
Ta gọi là nghiệm bội của nếu chia hết cho nhưng không chia hết cho nghĩa là:
và
hay
Định lí BEZOUT: là một nghiệm của đa thức khi và chỉ khi chia hết cho .
Nghiệm hữu tỷ, nghiệm nguyên
Cho

Nghiệm hữu tỷ nếu có với thì là ước của hệ số tự do và là ước của hệ số cao nhất: .
Nếu có nghiệm (phân biệt hay trùng nhau).
Thì:

và
Đảo lại, nếu số có tổng các tích chập k của n số là thì là nghiệm nếu có của phương trình:

Định lí liên tục:
Nếu đa thức nhận 2 giá trị trái dấu trên là thì đa thức có ít nhất một nghiệm
Định lí LAGRANGE:
Với mọi đa thức trên thì có số
Đặc biệt nếu hay chỉ cần thì tức là: có 1 nghiệm thuộc
Định lí ROLE:
Giữa 2 nghiệm của đa thức thì có một nghiệm của
Nếu có nghiệm phân biệt thì có nghiệm phân biệt,
có nghiệm phân biệt,…, có nghiệm phân biệt,…
Phân tích nhân tử theo các nghiệm
Cho có nghiệm với bội tương ứng thì tồn tại

Hay với
Nếu bậc n có đủ nghiệm phân biệt hay trùng nhau thì:

Phân tích ra nhân tử của
Các nhân tử của chỉ là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm:

Với các hệ số và cách phân tích này là duy nhất.
Phân tích ra nhân tử của

Theo định lí D’ALEMNBERT thì có đủ nghiệm phức nên:

Đa thức CHEBYSHEV:
xác định như sau:

Cụ thể:


Đa thức Chebyshev (Trưbưsep) có bậc và có hệ số cao nhất .
Đôi khi ta chỉ xét trở đi.
Kết quả:

có đúng nghiệm phân biệt trê là:

Chú ý:
1) Số lượng nghiệm:
* Mỗi đa thức hệ số thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực
* Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không
* Nếu đa thức có bậc và có quá n nghiệm là đa thức không
* Nếu đa thức có bậc và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến là đa thức hằng:
* Hai đa thức có bậc và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến thì đồng nhất nhau:
2) Quy tắc dấu DESCARTE:

Gọi D là số nghiệm dương (kể cả bội)
L là số lần đổi dấu trong dãy hệ số khác 0 từ đến (bỏ đi các hệ số
Thì: và là số chẵn hay
3) Đưa đa thức vào giả thiết các số bất kì
Cho n số bất kì thì ta xét đa thức nhận n số đó làm nghiệm:
. Từ đó ta khai thác các quan hệ về nghiệm, Viette, hệ số, đạo hàm,…
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 19.1: Cho số tự nhiên , chứng minh phương trình:
không có nghiệm hữu tỉ.
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh phản chứng. Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ . Khi đó sẽ là nghiệm hữu tỉ của đa thức:

Nhưng do P(x) là đa thức bậc n với hệ số nguyên, hơn nữa hệ số của bằng 1, nên suy ra phải là số nguyên, và ta có:
(1)
Gọi p là một ước nguyên tố của n.
, kí hiệu là số mũ cao nhất của p thỏa mãn , ta có:
(2)
Với s là số nguyên không âm thỏa mãn:
Từ (2) suy ra:
Do đó . Suy ra
Vì vậy ta được (3)
Mà nên từ (1) ta có , và dó đó
Suy ra
Kết hợp điều này với (3) ra được
Từ đây và (1) ta suy ra : mâu thuẫn đpcm.
Bài toán 19.2: Cho và có ít nhất một nghiệm nguyên lần lượt là . Chưng minnh không có hơn một nghiệm nguyên
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh rằng là nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.
Ta có với
Cho và , ta được

Vì là những số nguyên nên và chỉ có thể
bằng. Nhưng nên:
Hoặc và
Hoặc và
Do đó là trung bình cộng của
Giả sử phương trình còn có một nghiệm nguyên . Lặp lại lập luận trên cho 3 số thì ta lấy (mâu thuẫn)
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng dẫn giải tương tự cho
Giả sử phương trình có một nghiệm nguyên , ta có:

Nếu chỉ có thể lấy các giá trị và
Nếu thì theo chứng minh trên phải trùng với hoặc . Vô lý vì khác với và . Do đó chỉ có thể xảy ra khả năng
Mà

Suy ra chỉ có thể lấy các giá trị và . Có thể thấy
(mâu thuẫn). Nên do đó:
Nếu và thì
Nếu và thì
Như vậy nghiệm nguyên (nếu nó tồn tại) của phương trình được xác định hoàn toàn bởi . Các số này là duy nhất. Vậy không thể có hơn một nghiệm nguyên.
Bài toán 19.3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, đa thức:
không thể có hai nghiệm nguyên (phân biệt hay trùng nhau)
Hướng dẫn giải
Trước hết ra chứng minh rằng nếu là một nghiệm nguyên của thì phải là số chẵn. Thật vậy:
là số lẻ nên là số lẻ
Nhưng chia hết cho nên là một số lẻ do đó là chẵn. Ta xét 2 trường hợp:
* Giả sử có hai nghiệm nguyên phân biệt, thế thì:
Đẳng thức không thể xảy ra vì đều chẵn.
* Giả sử có nghiệm kép chẵn. Khi đó cũng là nghiệm của đạo hàm . Do đó:

Đẳng thức không thể xảy ra vì chẵn.
Bài toán 19.4: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương là số nguyên. Chứng minh tồn tại các số nguyên p, q, r sao cho a, b, c là 3 nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải
Ta xét bài toán: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p, q sao cho a, b là 2 nghiệm của phương trình
Theo định lí Viet, rõ ràng điều phải chứng minh tương đương với việc chứng minnh và là số nguyên. hiển nhiên nguyên theo điều kiện đề bài.
Ngoài ra ta có là số nguyên. Đến đây, ta có thể tiếp tục dùng hằng đẳng thức này để suy ra cũng là số nguyên:
Bổ đề. Nếu x là số thực sao cho và là các số nguyên thì x là số nguyên.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử nguyên, nhưng x không nguyên. Khi đó k là số nguyên lẻ:
Suy ra
Nhưng khi đó không nguyên. Mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai, tức là x nguyên.
Như vậy, theo bổ đề thì ab nguyên và ta suy ra điều phải chứng minnh. Từ phép chứng minh ta cũng suy ra kết quả mạnh hơn:
Nếu là các số nguyên thì a, b là 2 nghiệm của phương trình với p, q là các số nguyên nào đó (và dó đó nguyên dương với mọi n nguyên dương). Điều đó cũng có nghĩa là ta chỉ cần dùng giả thiết của bài toán đến . Ví dụ cho thấy là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện: Nếu a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện là số nguyên với mọi thì nguyên với mọi n nguyên dương.
Trở lại với bài toán, ta chỉ cần chứng minh và nguyên.
Theo điều kiện đề bài thì là số nguyên. Tiếp theo ta có
là số nguyên.
Tương tự như lời hướng dẫn gải trên, ta muốn chứng minh rằng cũng là số nguyên.
Từ đó dùng bổ đề suy ra là số nguyên
Ta có
và (1)
Vì (2)
Từ đây, do và là số nguyên nên ta suy ra là số nguyên (ta nhân (2) với ). Từ đó, nhân (2) với 3 ta thu được
là số nguyên.
Như vậy và . Áp dụng cách chứng minh như bổ đề nêu trên, ta suy ra là số nguyên. Từ đây, thay vào (2) ta có là số nguyên.
Tiếp theo, ta ử dụng hằng đẳng thức tương tự (2)

với chú ý là số nguyên ta suy ra là số nguyên.
Từ và là số nguyên, bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta suy ra abc là số nguyên. Bài toán được Hướng dẫn giải quyết hoàn toán.
Bài toán 19.5: Cho đa thức P(x) có bậc và có các hệ số nguyên. Gọi n là số tất cả các nghiệm nguyên phân biệt của hai phương trình và . Chứng minh rằng :
Hướng dẫn giải
Xét hai đa thức và , với các hệ số nguyên, chúng giống nhau hoàn toàn, chỉ trừ hai số hạng tự do là khác nhau, hai số hạng này hơn kém nhau 2 đơn vị.
Gọi r và s là các nghiệm nguyên tương ứng của hai đa thức, tức là:
(1) và (2)
Khi đó, trừ (1) cho (2) ta được một tổng của hạng tử có dạng và cộng thêm cho 2. Mỗi hạng tử này chia hết cho , do đó 2 phải chia hết cho . Từ đó, suy ra r và s hơn kém nhau 0, 1 hoặc 2 đơn vị.
Giả sử r là nghiệm nguyên bé nhất trong tất cả các nghiệm nguyên của hai phương trình: và .
Ta biết rằng đa thức bậc m và có không quá m nghiệm phân biệt, do đó nó cũng có không quá m nghiệm nguyên phân biệt. Theo nhận xét trên, nếu r là một nghiệm nguyên của phương trình này và s là một nghiệm nguyên của phương trình kia thì r và s khác 0, 1 hoặc 2 đơn vị.
Nhưng ta có , do đó ta được hoặc
Do vậy, ta suy ra rằng phương trình thứ hai chỉ có thêm vào nhiều nhất là 2 nghiệm phân biệt nữa. Vậy:
Bài toán 19.6: Tìm các nghiệm của đa thức hệ số thực thỏa mãn:
với mọi x.
Hướng dẫn giải
Ta có
Từ đây chọn: suy ra , chọn suy ra:
(do
Chọn suy ra chọn suy ra
Do đó , với là đa thức hệ số thực
Thay vào đẳng thức ở đề bài ta được


Suy ra

Đặt , ta có
Suy ra (hằng số), nên
Do đó . Thử lại:
(thỏa mãn)
Vậy nên có 4 nghiệm
Bài toán 19.7: Tìm a để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số nhân
Hướng dẫn giải
Gọi 4 nghiệp phân biệt lập cấp số nhân với
Với , theo Viete
(1)
(2)
(3)
Ta có: vì nếu thì phương trình có 2 nghiệm trùng nhau là trái với bài ra.
Ta có
Chia (3) cho (1) vế theo vế: (4)
Suy ra . Thay (4) vào (2) được:
(2’)
Vì , do đó . Từ (1) suy ra
Từ (4) ta có: . Đặt thì
Thay vào (2) và (2’) được: (5)
Rồi biến đổi thì được phương trình:

Ta có:
(do các biệt số đều âm) nên:
hoặc
Thay vào (5) thì có: suy ra:
Đảo lại thì phương trình: có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số nhân có công bội là 4. Vậy
Bài toán 19.8: Tìm a, b nguyên sao cho phương trình:
(1)
Có 2 trong số các nghiệm có tích bằng
Hướng dẫn giải
Giả sử có 2 số nguyên a, b mà phương trình
có 2 nghiệm u, v với và
Để ý rằng nếu x là 1 nghiệm thì và cũng là nghiệm
Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là:
Theo định lí Viet ta có: (2)
Và (3)
Ta sẽ chứng minh
Giả sử . Từ (2) và (3) ta suy ra hữu tỉ và nên và cả hai đều chia hết cho u.v
Nhưng , nên suy ra hoặc hoặc
Điều này mâu thuẫn với
Vậy và do đó
Ngược lại nếu
Phương trình (1) trở thành: có hai nghiệm:

Thỏa mãn:
Vậy các số nguyên a, b cần tìm là:
Bài toán 19.9: Cho phương trình bậc 3: có 3 nghiệm phân biệt. Chứng minh điều kiện cần và đủ để 3 nghiệm
a) Lâp cấp số cộng là:
b) Lập cấp số nhận là:
Hướng dẫn giải
a) Giả sử nghiệm lập cấp số cộng nên
Theo định lí Viet thì
Nên:
Do đó:
Đảo lại nếu có thì phương trình nhận là nghiệm nên
Khi đó:
Vậy lập thành cấp số cộng
b) Giả sử 3 nghiệm lập cấp số nhân nên
Theo định lí Viete thì:

Mà . Suy ra
Nên:
Đảo lại nếu có thì phương trình nhận là một nghiệm của phương trình.
Do đó
Khi đó nên lập cấp số nhân
Bài toán 19.10: Cho đa thức có bậc có nghiệm thực phân biệt. Chưng minh:
Hướng dẫn giải
Đặt
Nên với
Ta thấy
Xét đa thức: có bậc không vượt quá
Với ta có:
có n nghiệm phân biệt
Mà hệ số của đối với bằng 0.
Nên
Vậy: (đpcm)
Bài toán 19.11: Giả sử a và b là 2 trong 4 nghiệm của đa thức:
Chứng minh tích ab là nghiệm của đa thức:
Hướng dẫn giải
Giả sử a, b, c, d là 4 nghiệm của đa thức:

Ta cần chứng minh: với:



Do đó:
Thật vậy:
Tương tự nên
Tương tự: suy ra:

. Vậy: (đpcm)
Bài toán 19.12: Cho có hệ số nguyên. Chứng minh nếu có một nghiệm bằng tích 2 nghiệm còn lại thì:
Hướng dẫn giải
Gọi 3 nghiệm là theo định lý Viete:

* Xét thì nên có nghiệm bằng do đó chia hết cho mọi số
* Xét thì
Nên hữu tỉ
Do nguyên nên uv nguyên
Ta có:

Và

Do đó:
Bài toán 19.13: Chứng minh phương trình:
a) có ít nhất 1 nghiệm dương
b) có đúng 2 nghiệm
c) có đúng 2 nghiệm dương và ít nhất 1 nghiệm âm
Hướng dẫn giải
Sử dụng quy tắc dấu Đề các
a) Dãy các dấu của các hệ số là
Gọi L là số lần đổi dấu hệ số và D là số nghiệm dương thì:

Do đó hoặc 1 hay nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương.
b) Dãy các dấu của hệ số là nên :
Do đó: hoặc
Mặt khác nên do đó phương trình có ít nhất một nghiệm trong
Vậy do đó nên phương trình có 2 nghiệm dương
Rõ ràng nếu nên phương trình chỉ có 2 nghiệm dương không có nghiệm âm
c) Dãy các dấu của các hệ số là nên:
. Thành thử hoặc
Vì và nên phương trình có nghiệm dương trong
Vậy do đó
Xét
Dãy các dấu của các hệ số của là:
do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương nên phương trinnhf có ít nhất 1 nghiệm âm
Bài toán 19.14: Cho . Giả sử mà . Chứng minnh có một số lẻ các nghiệm trong khoảng kể cả bội. Còn nếu thì có một số chẵn các nghiệm trong
Hướng dẫn giải
Giả sử là các nghiệm của với các bội tương ứng là . Khi đó:
Trong đó không có nghiệm trong nên đa chức giữ nguyên dấu trong . Giả sử với mọi
Ta có và
Vì trái dấu với và cùng dấu với do đó trái dấu với
Thành thử tổng là số lẻ
Chứng minh tương tự khi
Bài toán 19.15: Cho đa thức bậc n và 2 số thỏa:

Chứng minh các nghiệm thực của thuộc
Hướng dẫn giải
Khai triển Taylor ta có:

Nếu không có nghiệm
Tương tự:

Nếu không có nghiệm
Vậy các nghiệm phải thuộc
Bài toán 19.16: Cho là đa thức bậc n có các hệ số bằng . Biết rằng đa thức là nghiệm bội cấp m với k nguyên. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Gọi là đa thức với các hệ số theo modulo 2. Vì có các hệ số là 1 và -1 nên
Ta có trong đó là đa thức có hệ số nguyên
Dễ dàng chứng minh được rằng (model 2),
Nên (*)
Giả sử có bậc không quá
Ta có hệ số của ở vế phải của (*) là 0. Điều này mâu thuẫn vì hệ số vế trái của (*) là 1. Do đó, bậc của không nhỏ hơn
Vậy
Bài toán 19.17: Cho đa thức trong đó p,q r là các số thực với Xét dãy số xác định như sau

Chứng minh rằng nêú đa thức chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có nghiệm bội thì dãy có vô số số âm.
Hướng dẫn giải
Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp. Giả sử ba nghiệm đó là với thì trong đó là các hằng số nào đó, là các số phức liên hợp. Đặt với , ta có



Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho với mọi
Khi đó ta có

với mọi
Điều này không xảy ra vì nên tồn tại vô số n sao cho:

Bài toán 19.18: Cho phương trình: có 3 nghiệm phân biệt. Tính tổng lũy thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó
Hướng dẫn giải
Theo định lý Viete: phương trình: có 3 nghiệm phân biệt nên và
Ta có:

Nên:
Do đó:
Bài toán 19.19: Giả sử đa thức có 5 nghiệm .
Đặt . Tính tích:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Và



Bài toán 19.20: Chứng tỏ đa thức: (1) có đúng 5 nghiệm . Tính tổng
Hướng dẫn giải
Xét hàm số thì làm hàm số liên tục trên R.
Ta có : Phương trình có các nghiệm sao cho:

Hơn nữa, vì là phương trình bậc năm nên có đúng 5 nghiệm
Ta có là nghiệm của phương trình (1) nên:

Do đó:
Xét biểu thức
Ta có: nên đồng nhất được:

Do đó:
Mà
Vậy ta được
Và , do đó:


Vậy
Bài toán 19.21: Cho . Chứng minh phương trình:
có 3 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
Xét hàm số:
Ta chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu và

Do đó
Vì y’ bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt nên có CĐ và CT.
Lấy y chia y’ ta có:



Bài toán 19.22: Cho phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:

Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có:
Đặt . Ta có
Gọi 3 nghiệm của là ta có:

Bảng biến thiên

Vì
Tương tự ta có: và
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực
Bài toán 19.23: Cho
Chứng minh: thì f có nghiệm
Hướng dẫn giải
Xét
Thì
Ta có . Áp dụng định lí Role thì có 2 nghiệm neenn có nghiệm
Bài toán 19.24: Cho có n nghiệm phân biệt. Chứng minh cũng có nghiệm phân biệt và:

Hướng dẫn giải
Đặt
Vì có n nghiệm nên
Theo định lí Role trong mỗi khoảng thì tồn tại để . Mặt khác:
Suy ra có nghiệm và do đó có đủ n nghiệm.
Vì có n nghiệm phân biệt nên theo định í Role thì: có nghiệm; có nghiệm,…
có 2 nghiệm phân biệt
Do đó: nên:
Vậy
Bài toán 19.25: Giả sử là đa thức với các hệ số thực, có và thỏa mãn đẳng thức sau với . Chứng minh không có nghiệm số thực.
Hướng dẫn giải
Từ (*) nhận thấy nếu là nghiệm thực của thì tất cả các số thực:
cũng sẽ là nghiệm của
Hơn nữa dễ dàng nhận thấy:
thì và:
Với
Từ đó suy ra nếu có 1 nghiệm thực khác 0 thì sẽ có vô số nghiệm thực khác nhau. Tuy nhiên chỉ có tối đa n nghiệm thực, do là đa thức bậc n với các hệ số thực. Mâu thuẫn, chứng tỏ không có nghiệm thực khác 0.
Ta chứng minh
Giả sử . Gọi k là chỉ số lớn nhất thỏa
Do vậy:

Vì
Do đó (mâu thuẫn). Nên
Vậy không có nghiệm số thực
Bài toán 19.26: Cho 2 cấp số cộng và số m nguyên dương, . Xét m tam thức bậc hai: với . Chứng minh nếu và không có nghiệm số thực thì các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực.
Hướng dẫn giải
Ta có tam thức bậc hai: và không cói nghieemj số thực thì và đều luôn luôn dương với mọi x.
Giả sử tồn tại với có nghiệm số thực
Gọi a, b là công sai của hai cấp số cộng
Ta có và
Do đó và nên vô lý.
Vậy các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực
Bài toán 19.27: Cho các đa thức xác định bởi:

Chứng mịm rằng có nghiệm thực phân biệt nhau.
Hướng dẫn giải
Ta thu hẹp việc xét nghiệm của phương trình trên đoạn
Đặt
Khi đó, bằng quy nạp ta chứng minh được:
Và phương trình trở thành:

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 19 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Lê Hoành Phò File word