Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH HÀM
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Ánh xạ và hàm số
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y. Phần tử y tương ứng của x gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu, x gọi là nghịch ảnh của y:

- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều cho hai ảnh khác nhau của Y:
Hay
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử Y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh x của X:

Hay .
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh và toàn ánh, tức là nếu mỗi phân tử y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh duy nhất x của X.
Hai tập hữu hạn có cùng số phần tử khi tồn tại một song ánh giữa chúng. Còn 2 tập vô hạn mà có song ánh giữa chúng thì gọi là cùng lực lượng hay cùng bản số.
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:
thì và
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
thì và
- Hàm số tuần hoàn
Số dương bé nhất nếu có trong các số a thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ T của
hàm số f.
- Hàm phản tuần hoàn
- Hàm cộng tính:
- Hàm nhân tính:
- Điểm bất đồng của hàm f(x) là x = a sao cho f(x) = a
- Nếu hàm số f(x) có trên D thì f(x) là hàm hằng trên D.
Đặc trưng hàm sơ cấp:
- Hàm bậc nhất
- Hàm tuyến tính
- Hàm mũ
- Hàm lôgarit
- Hàm
- Hàm

- Hàm
- Hàm
- Hàm
- Hàm
Phương trình hàm
- Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1),...
- Dùng phép thế, đổi biến, các chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến và đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính,...
- Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn,..
- Đánh giá, dự đoán hàm số, quy nạp,...
Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:
thì với a hằng số tùy ý.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 18. 1: Cho hàm số f: thỏa:
Biết f(201) = a, hãy tính f(202).
Hướng dẫn giải
Thay ta được:
Thay ta được :
Thay ta được
Suy ra
Xét bất kì. Thay ta được:

Với ta cũng có
Ta chứng minh bằng quy nạp theo k:
Từ đó rút ra:
Do đó
Bài toán 18. 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện:

Với mọi số nguyên không âm x, y. Tìm f(4, 1981)
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
Ta lại có:
Do đó:
Bây giờ:
Đặt và
Do vậy:
Ta có:
Bằng qui nạp ta chứng minh được
Trong đó số mũ chứa (n + 2) chữ số 2. Từ đó:
với số mũ chứa 1983 chữ số 2.
Bài toán 18. 3: Cho hàm f: thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)
(ii) Hãy tính f(2003).
Hướng dẫn giải
Từ (i) và (ii)
Ta có:

.............
Suy ra
Nên có
Do đó khẳng định đúng với mọi n
Ta có số nguyên m nằm giữa và 2. và do giả thiết (i)
nên có số nguyên m nằm giữa f() và f(2. ) suy ra
. Do giả thiết (ii) suy ra.

Vậy với
Suy ra:
Bài toán 18. 4: Cho f(n) là hàm số xác định với mọi và lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất:
1. lấy giá trị 0 hoặc 1
2. và
3. . Tính .
Hướng dẫn giải
Vì lấy giá trị 0 hoặc 1 nên ta suy ra:


Ta có:

.................

Vì giả thiết cho nên ta có dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra, tức là

Mặt khác nếu a và
hoắc 667
Giả sử

mà (mâu thuẫn). Vậy:
Bài toán 18. 5: Cho f và g là các hàm xác định trên R thỏa:

Chứng minh rằng:
Nếu và thì
Hướng dẫn giải
Ta dùng phương pháp phản chứng
Giả sử lại một điểm
Ta lấy và xây dựng dãy như sau:
Theo giả thiết ta có:

Nên với
Do đó ta có: Nhưng vì và nên có thể chọn k sao cho dó đó
Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy
Bài toán 18. 6: Cho hàm số f: thỏa 2 điều kiện:
i)
ii)
Chứng minh rằng không thể tồn tại hai số mà
Hướng dẫn giải
Ta sẽ chứng minh:
Thật vậy: với thì theo điều kiện (i) ta có ngay
Với , trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
thì
Với n = 0: công thức (1) đúng.
Giả sử công thức (1) đúng với tức
Ta có: tức (1) đúng với
Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng.
Bây giờ chọn n đủ lớn để tùy ý, khi đó
Do đó tức
Như vậy không thể tồn tại mà
Bài toán 18. 7: Đặt với x là số thực dương, và với mọi số nguyên dương n, ta đặt:được lấy n lần ở số hạng cuối cùng. Chứng minh rằng:
a) nếu
b)
với và với .
Hướng dẫn giải
a) Kí hiệu (n lần). Kí hiệu là hàm đồng nhất. Chú ý rằng là hàm tăng thực sự khi .
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n rằng là hàm tăng thực sự khi . Dễ dàng kiểm tra được điều này đúng với
Giả sử khi là các hàm tăng thực sự với
Cho . Ta có:


Vậy là hàm tăng thực sự khi .
b) Để y rằng và . Suy ra:
Bài toán 18. 8: Cho với .
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Ta có:
Nên

Ta lại có:
Nên . Suy ra:


Do đó :
Bài toán 18. 9: Cho hàm số . Giả sử và với mọi số tự nhiên n.
a) Tìm giá trị lớn nhất M của với thỏa mãn điều kiện
b) Tìm tất cả các số , với , sao cho
Hướng dẫn giải
Có thể dùng quy nạp để chứng minh rằng f(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số n.
a) Tồn tại nhiều nhất 10 chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của một số nếu số đó bé hơn hoặc bằng
Suy ra M = 10
b) Với mọi số tự nhiên ta có nếu và chỉ nếu n là một trong các số:

.
Bài toán 18. 10: Cho Giả sử và .
Chứng minh
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có:

Giả sử:
Do đó:
Ta có: thì có:

Bài 18. 11: Cho hàm số thỏa mãn phương trình: . Chứng minh tồn tại số thực k để:
Hướng dẫn giải
Đặt
Từ bằng quy nạp ta có:

Hay
Hướng dẫn giải phương trình đặc trưng:
ta được
Vậy
Với thì
Vậy hay
Bài toán 18. 12: Cho ánh xạ

Chứng minh nếu thì
Hướng dẫn giải
Đặt . Xét phương trình:
Gọi là nghiệm sao cho bé nhất. Vai trò như nhau nên giả sử .
Xét phương trình
Gọi nghiệm thứ hai là thì
Ta có:
1) Nếu từ
(thỏa đề bài)
2) Nếu từ , vô lý vì và cùng chẵn hay cùng lẻ
3) Nếu và
Từ
mà
và , vô lý vì
Vậy
Bài 18. 13: Giả sử là hàm liên tục và giảm sao cho với mọi
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Cho ta được:
Thay x bằng f(x) ta có:
Trừ hai phương trình trên ta suy ra:

Nếu , vế trái của phương trình trên âm, do đó:
và
là điều mâu thuẫn.
Tương tự, ta cũng có điều mâu thuẫn xảy ra khi
Vậy , điều phải chứng minh.
Bài toán 18. 14: Cho song ánh . Chứng minh rằng: Tồn tại vô số bộ với thỏa: và
Hướng dẫn giải
Ta xây dựng dãy như sau:
Trong các số từ 0, 1, 2,..., m chọn số sao cho
Chọnsao cho
Chọn sao cho
Vậy ta có dãy và
Trong đó và
Vì f là song ánh nên
Và để
Mặt khác:
Nên

Do cách xây dựng, dãy {an}là dãy vô hạn nên tồn tại vô số bộ (a, b, c) thỏa điều kiện đã nêu.
Bài toán 18. 15: Chứng minh với mọi hàm thì:


Hướng dẫn giải
- Phần đảo: Cho
thì
- Phần thuận: Cho
Chọn thì ta có :



Vì
Nên
Lấy

Do đó
Lấy thì nên
Hay:
Nếu thì : Đúng
Nếu thì thì có
Bài toán 18. 16: Hàm số f xác định trên tập các số tự nhiên N và có giá trị trên đó. Chứng minh rằng đẳng thức không thể nghiệm đúng với mọi .
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng ta có đẳng thức đúng . Khi đó:
Và suy ra: (1) đúng
Xét số nguyên r bất kì: và chia f(r) cho 1995 có số dư
fvới
Theo giả thiết:
Từ (1):
Vì nên chỉ có thể có hai khả năng
(i): và
(ii): và nghĩa là
Như vậy các số có thể chia thành các cặp (a, b) sao cho
trong mỗi cặpvà . Đó là điều vô lí vì từ 0 đến 1994 có một số lẻ số.
Bài toán 18.17: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0, 1] sao cho:
(i)
(ii) với mọi
Chứng minh rằng với mọi
Hướng dẫn giải
Bằng quy nạp theo n ta sẽ chứng minh rằng với mọi số nguyên
và với mọi m thoả mãn . Các điều kiện ở đề bài chứng tỏ điều này đúng với
. Giả sử điều này đúng với, ta chứng minh nó đúng với .
Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có:
Nếu thì và

Cuối cùng, nếu thì và

Vậy với mọi số nguyên và
Với mọi , ta có thể lập nên một dãy số có dạng có giới hạn x. Vì hàm f(x) liên tục nên suy ra với mọi ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 18.18: Hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên . Biết rằng với mọi luôn có:
1)
2) . Tồn tại hay không
Hướng dẫn giải
Đặt xác định trên
(1)
(2) nên F(x) tang
Xét dãy số
Thì , tăng và khi
Đặt thì là dãy số tăng và bj chặn trên, nên tồn tại
Giả sử rằng tồn tại limf(x) khi thì tồn tại

Như thế tồn tại limcosx khi , điều này không thể được vì:
là dãy số không có giới hạn.
Vậy không tồn tại limf(x) khi .
Bài toán 18. 19: Tìm hàm f xác định trên tập các số nguyên dương và cũng nhận giá trị nguyên dương thoả mãn:
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta sẽ chứng minh qui nạp:
Gọi là phát biểu sau: nếu và thì
Vì khi thì với , nên f(m) không thể là phần tử nhỏ nhất của tập
Nhưng tập này bị chặn dưới bởi 0, nên chắc chắn nó phải có phần tử bé , nhất. Suy ra phần tử này là f(1). Vậy đúng.
Giả sử đúng. Lấy , khi đó , do đó ta có
(vì đúng). Nhưng cũng từ ta có: , do vậy, ta được
. Suy ra từ đó . Từ đây suy ra rằng đúng.
Vậy đúng với mọi n. Nói cách khác, nếu thì
Giả sử với số m nào đó ta có , thế thì: iều này mâu thuẫn. Suy ra với mọi m. Nhưng do ta có và nên với mọi m. Suy ra với mọi
m.
Bài toán 18. 20: Cho tập hợp T gồm tất cả các số tự nhiên không vượt quá 1999. Hãy tìm tất cả hàm số f xác định trên N, lấy giá trị trên T và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) với mọi
ii) với mọi
Hướng dẫn giải
Đặt , với
Ta nhận xét:
1) Với mọi r mà ta có: f(2000 + r) = a + r
2) Với mọi , ta có:
Từ đó suy ra nếu f là hàm số cần tìm thì thoả mãn:
với mọi (*)
Với và
Ngược lại cho , xét hàm số f xác định trên N thoả (*) thì để ý:
với mọi
với mọi
Vậy tất cả các hàm số thoả mãn đề bài được xác định theo công thức (*) với mỗi cho trước. Vậy có 2000 hàm số.
Bài toán 18. 21: Xác định tất cả các hàm f: hoả mãn điều kiện:
với mọi
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có:
Và .
Do đó với mọi thì
Suy ra rằng:
(1)
(2)
Nếu và thì hai đẳng thức trên dẫn đến mâu thuẫn. Do đó xảy ra các trường hợp sau:
1) và
Từ (2) có với mọi k.
Nên (2) dẫn tới với mọi k. Như vậy ta phải có .
Từ đó (1) trở thành nên dãy
là cấp số cộng với công sái d. Như thế với mọi k ta có:

Từ giả thiết cho ta có

. Vậy ta có: a là số nguyên dương tùy ý.
. Lập luận như trên ta có kết quả:
với a là sô nguyên dương tùy ý.

Khi đó với mọi và a, b nguyên dương tùy ý.
Với ta có:


Vì 1997 là số nguyên tố nên hoặc hoặc a = 1998, b = 2. Ta có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
và
Bài toán 18. 22: Tìm tất cả các hàm f: thoả mãn
i) với mọi
ii) với mọi
Hướng dẫn giải
Ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại
Cho ta tính được
Với mỗi x nguyên luôn có sao cho
Suy ra với x như trên ta có
với k là số tự nhiên.
Từ đó:
. Ta tính f(11) và f(22)
Ta có
Mặt khác
Và
Vậy: với mọi
Bài toán 18. 23: Tồn tại hay không hàm số f: thoả mãn điều kiện:
với mọi
Hướng dẫn giải
Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với mỗi , xây dựng dãy số như sau:
Từ giả thiết ta có:

Từ đó chứng minh được với mọi
Do nên đẳng thức trên không thể xảy ra.
Vậy không tồn tại hàm số f.
Bài toán 18. 24: Tìm tất cả các hàm thoả mãn điều kiện

Hướng dẫn giải
Viết lại phương trình hàm ban đầu
Đặt ta có
Ta có:
Suy ra rằngchia hết cho với mọi số tự nhiên k. Điều này chỉ xảy ra khi
. Thử lại đúng.
Vậy
Bài toán 18. 25: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:
i)
ii)
Hướng dẫn giải
Cho ta có
Thay n bởi f(m) ta có:

Từ đó ta có:
Suy ra hoặc
Giả sử . Cho thì nên
Cho thì : vô lý nên
Thay vào hệ thức đầu bài ta có
Thay vào hệ thức ở đầu bài ta có:
Hay
Từ đó với mọi ta có

Do đó . Thử lại đúng. Vậy
Bài toán 18. 26: Cho hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* và nhận giá trị trong tập đó thoả mãn: chia hết cho với mọi số nguyên dương m, n.
Hướng dẫn giải
Trước hết cho ta được 4 chia hết cho nên có
Với mỗi p nguyên tố, thay và ta được:
chia hết
Từ đó: hoặc
Giả sử thì
chia hết
vô lí
Do đó ta phải có
Bây giờ với n là số tự nhiên tùy ý, chọn , ta có:
chia hết
Chú ý rằng
Như vậy A chia hết Với bất kì số nguyên tố p. Chỉ cần chọn p đủ lớn ta có

Từ đó . Thử lại đúng. Vậy vơi mọi
Bài toán 18. 27: Tìm tất cả sao cho:
i)
ii) Nếu thì và
Hướng dẫn giải
Ta có: và
Nên
Suy ra:
Với . Vì nên từ

Mà nên:
Nếu thì:
(vô lý)

Nếu thì
(vô lý)
Như vậy:
Tóm lại ta có: với t bất kỳ,
Thử lại, ta thấy hàm số trên là nghiệm của bài toán.
Bài toán 18. 29: Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên z và lấy giá trị trong tập số thực dương R* sao cho:

Hướng dẫn giải
Giả sử hàm số thoả


Đặt
Ta có:
Nếu f(m) không là hàm hằng thì tồn tại sao cho.
Xét trường hợp : Với p nguyên dương thì:

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Lê Hoành Phò File word