Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phương trình tổng quát của mật phẳng:
Mặt phẳng qua và vecto pháp tuyến .

Hay
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
khi cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại 3 điểm khác gốc O là
Phương trình của đường thẳng: đi qua và có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số: d:
Phương trình chính tắc khi :

- Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau:
Nếu thì chọn VTCP
Hoặc từ hệ ta chọn ra hai bộ nghiệm tương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến.
- Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng qua và có VTCP
Đường thẳng qua và có VTCP
Cách 1: Đường vuông góc chung d có VTCP
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa và .
Tìm giao điểm A của di và (P) thì d đi qua A và có VTCP

Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, và dạng tham số theo t và . Tìm t và bằng hệ điều kiện:
. Đường vuông góc chung d là đường thẳng AB.
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm bán kính R
hay:

Có tâm và bán kính
Phương trình đường tròn giao tuyến

Giao tuyến của mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt phẵng (P) là đường tròn giao tuyến (C) có tâm H là hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) và bán
Kính
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 16.1: Lập phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz
b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng và đi qua
Hướng dẫn giải
a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: với

(P) đi qua A và B nên:
Chọn và do đó và được phương trình của (P) là:

b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng có toạ độ thoả mãn hệ

Cho thì
Cho thì
Ta lập được phương trình (MNK):
Bài toán 16.2: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua điểm và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
b) Đi qua điểm và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử và . Vì là trọng tâm của tam giác
ABC nên:
Suy ra
Vậy phương trình theo đoạn chắn:
b) Nếu mặt phẳng đi qua và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC thì .
Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
hay .
Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm và cắt ba trục toạ độ ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn:

Điểm thuộc mặt phẳng nên: (1)
Với
Với
Với
Với
Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là:

Bài toán 16.4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
a) và .
b) và
Hướng dẫn giải
a) Điểm cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:



Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng phân giác:


b) Điểm cách đều hai mặt phẳng :



Vậy tập hợp các điểm M là mặt phẳng song song cách đều có phương trình:

Bài toán 16.5: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua các điểm và tạo với mặt phẳng Oxy góc .
Hướng dẫn giải
Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là . Ta có
Vì nên . Do đó
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến
Ta có:
PT mặt phẳng (P) là:

Bài toán 16.6: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp () có phương trình:
một góc
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng:

Ta có:

Lấy ,ta có:
Vậy có hai mặt phẳng (P) phải tìm:
Bài toán 16.7: Cho tứ diện ABCD với . Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.
Hướng dẫn giải
Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đình A, B, C, D của hình tứ diện thì:
- Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một mặt.
- Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút. Từ đó tìm được bảy mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đầu bài là:


Bài toán 16.8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểmvà . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua mà khoảng cách từ và đến (P) đều bằng .
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) đi qua nên có phương trình

Hay
Ta có khoảng cách
Do đó hay
Suy ra hoặc
- Với thì từ ta suy ra

nên : loại
Bài toán 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: với .
Hướng dẫn giải
Mặt cầu đã cho có tâm là và có bán kính

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng nên có phương trình: với với .
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi.
hoặc
Vậy có hai mặt phằng thoả mãn yêu cầu là:
và
Bài toán 16.10: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
và tiếp xúc với mặt cầu (S):
Hướng dẫn giải
Tâm của (S) là , bán kính
Đường thẳng d đi qua và
Phương trình(P):
(P) qua M, N nên:
Do đó (P): (*)
Điều kiện (P) tiếp xúc (S):


hoặc .
Thế vào (*) và rút gọn, ta được 2 mặt phẳng:
.
Bài toán 16.11: Lập phương trình mặt cầu
a) Có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với
b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với
Hướng dẫn giải:
a) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:

Nên
Ta có
Nên tâm và bán kính
Vậy PT mặt cầu là
b) Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Do đó
và
Vậy (S):
Bài toán 16.12: Cho bốn điểm
Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn:

Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì:
Ta có

Do đó
không đổi
Vậy tập hợp những điểm là mặt cầu tâm

Bài toán 16.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:
(S): cà đường thẳng
Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng và .
Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) tâm
đi qua điểm có vectơ chỉ phương
đi qua điểm có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến . Điều kiện tiếp xúc:
.
Vậy có 2 mặt phẳng
Các điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng nên đó là 2 mặt cần tìm.
Bài toán 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng:
và hợp với mp(Oxy) góc 60°.
Hướng dẫn giải
Giao tuyến d của mặt phẳng: đi qua
và có VTCP:

Ta có VTPT vuông góc với nên:
Do đó (P):
Mặt phắng (Oxy) có VTPT
Ta có:

Từ đó tìm được 2 mặt phẳng (P):
Bài toán 16.15: Lập phương trình m ặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P):
Hướng dẫn giải
Ta có (P), (Q) song song nên tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB với A, B là giao điểm của và 2 mặt phẳng đó (A) cắt (P) tại, cắt (Q) tại nên tâm
Ta có
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
Bài toán 16.16: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm, cắt đường thẳng
d: tại 2 điểm A, B mà
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vuông góc với AB. Mặt phẳng (P) qua I, vuông góc với d có phương trình:, suy ra giao điểm d và d (P) là:
Ta có
Vậy (S):
Cách khác
Bài toán 16.17: Cho và d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I là giao điểm của d với (P), cắt (Q) theo đường tròn có chu vi.
Hướng dẫn giải
Tâm có toạ độ là nghiệm của hệ:
nên
Ta có
Đường tròn giao tuyến có chu vi nên có bán kính do đó
.
Vậy phương trình (S):
Bài toán 16.18: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng:.
b) Vuông góc với mp(ABC) có tại trực tâm H của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a) có VTPT
Gọi VTCP của giao tuyến d là: thì
Chọn
Các điểm thuộc giao tuyển d có toạ độ thoả mãn hệ:
. Cho thì
Do đó d qua có VTCP nên có phương trình tham số
và chính tắc là:
Cách khác: ta có
Đặt thì nên phương trình:
Ngoài cách tìm một điểm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên giao tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng qua c vuông góc với AB là:

Phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC là:

Đường thẳng d qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là giao tuyến của và .
Đường thẳng d qua và có vectơ chỉ phương
nên có phương trình là:
Bài toán 16.19: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm
vuông góc và cắt đường thẳng
Hướng dẫn giải
Đường thẳng VTCP Gọi H là hình chiếu của M lên thì
Ta có nên

.Do đó hay
Vậy phương trình chính tắc của d là

Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng qua M, vuông góc với
Bài toán 16.20: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
a) Đường thẳng d: trên mỗi mặt phẳng toạ độ.
b) Đường thẳng d: lên mặt phẳng (P):
Hướng dẫn giải
a) Điểm thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là thuộc d, d là hình chiếu lên mp(Oyz).
Vậy phương trình tham số của d là: . Tương tự thì hình chiếu lên
mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:
b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và vuông góc với mp(P).
Vectơ pháp tuyến của của (Q) vuông góc với cả và nên ta có thể lấy Và (Q) đi qua d nên đi qua. Vậy (Q) có phương trình:
hay
Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d. Đường thẳng d là giao tuyến của (Q) và (P) nên d chứa các điểm có toạ độ
thỏa mãn :
Đặt thì , y = 15 – 5 t .Vậy d
Cách khác: Tìm giao điểm A của d và (P). Thế toạ độ x, y, z vào

Mặt phẳng (Q) qua d, vuông góc với (P) có VTPT:
Đường thẳng d của VTCP
Từ đó suy ra phương trình của hình chiếu d.
Bài toán 16.21: Viết phương trình hình chiếu của :
theo phương ( lên mặt phẳng
Hướng dẫn giải
Hình chiếu A là giao tuyến của với , trong đó là mặt phẳng chứa , song song với Vì chứa nên đi qua và có VTPT
hay
Do đó :
Các điểm thuộc giao tuyến có toạ độ thoả mãn:
Đặt
Vậy phương trình tham số của hình chiếu:
Bài toán 16.22: Cho đường thẳng và mp(P) có phương trình:

Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P) và vuông góc với .
Hướng dẫn giải
dạng tham số:
Thế x, y, z vào (P) thì được t = 0 nên
Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với . Khi đó, vectơ chỉ phương của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương của , đồng thời vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P), nên ta chọn:
Vậy đường thẳng d:
Cách khác: Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với thì (Q) có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình: Giao tuyến d của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và (vì d nằm trong (Q) mà )
Suy ra phương trình tham số của d là:
Bài toán 16.23: Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt cả hai đường thẳng: d: và
Hướng dẫn giải
Ta có A không thuộc d và d.Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (A; d) và mp (A; d).
Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến
mp(A; d) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là đi qua A nên có
phương trình tham số là:
Ta có nên d cắt mp(A; d), do đó d cắt
Tương tự, vì nên d cắt mp(A; d), do đó d cắt .
Vậy là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d.
Cách khác: Ta tìm giao điểm B của d và (A; d), đường thẳng là đường thẳng qua A và B. Lấy điểm nằm trên d và điểm nằm trên d. Ta tìm giá trị của t và t sao cho điểm A, M, M thẳng hàng, tức là và cùng phương.
Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AC và BD biết
Hướng dẫn giải
PT đường AC là : có VTCP
PT đường BD là : có VTCP
Gọi đường vuông góc chung là qua E thuộc ,F thuộc :

Ta có

Suy ra
Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương
hay
nên có PT là:
Bài toán 16.25: Cho 2 đường thẳng: và
. Lập phương trình đường thẳng đối xứng với
qua .
Hướng dẫn giải
Lấy điểm
Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với :

Ta có
nên giao điểm của và (P) là
ứng với
Gọi M đối xứng với M qua thì I là trung điểm đoạn MM nên có
M .
Vậy đường thẳng cần tìm chứa các điểm M nên có phương trình là:

Bài toán 16.26: Viết phương trình đường thẳng đi qua và tạo với hai đường thẳng Ox, Oy các góc bằng 60°.
Hướng dẫn giải
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Các đường thẳng Ox, Oy có các vectơ chỉ phương là . Theo giả thiết của bài toán thì:


. Chọn thì .
Vậy có 4 trường hợp xảy ra nên có 4 đường thẳng có phương trình:


Bài toán 16.27: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm đó. Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
c) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng toạđộ.
Hướng dẫn giải
Ta có
nên
Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Giả sử mặt cầu (S) có phương trình:

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có:

Vậy mặt cầu (S) là:
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến
hay và đi qua điểm nên có phương trình: hay
Khoảng cách
b) Mặt phẳng vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến nên có phương trình: Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi:
Vậy ta có hai mặt phẵng cần tìm với phương trình:

c) Tâm mặt cầu (S) là . Khoảng cách từ I tới (Oxy) là nên (S) cắt mp(Oxy) theo đường tròn có bán kính
Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) là nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính
Khoảng cách từ I tới mp(Oxz) là nên (S) cắt mp(Oxz) theo đường tròn có bán kính
Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử với
Vì M nằm trên (P) nên
Ta có:
Dấu = xảy ra khi hay
Thể tích tứ diện OABC là .
Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:
Bài toán 16.29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai điểm. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P).
Phương trình (Q):
K, H là hình chiếu của B trên , (Q).
Ta có nên AH là đường thẳng cần tìm. Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn: .
. Vậy phương trình :
Bài toán 16.30: Lập phương trình mặt phắng (P) chứa đường thẳng d:
và hợp với mặt phẳng một góc bé nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi .Vì (P) chứa d nên đi qua


Do đó (P):
Mp(Q) có VTPT Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng thì:

Xét thì . Xét , đặt thì:

Dấu = xảy ra khi nên , khi đó là góc cần tìm.
Vậy
Bài toán 16.31: Trong không gian Oxyz cho tập hợp các mặt phẳng có phương trình là.
a) Chứng tỏ các mặt phẳng (ctm) đi qua một đường thẳng cố định .
b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và chéo nhau.
c) Lập phương trình 2 mặt phẳng lần lượt chứa một đường thẳng d hoặc và chứa đường vuông góc chung của chúng.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành:

Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra:
Hệ phương trình này xác định một đường thảng A cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng
có VTCP và đi qua
Vậy các mặt phẳng đi qua đường thăng cô định :
b) d qua và có VTCP
Ta có . nên d và chéo nhau.
c) Đường vuông góc chung IJ có VTCP
Mặt phẳng (P) chứa d và IJ có VTPT
và đi qua nên có phương trình:
hay
Mặt phẳng (Q) chứa nên IJ có VTPT và đi qua
nên có phương trình: hay
Bài toán 16.32: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A có phương trình :

a) Viết phương trình hình chiếu của A trên các mặt phẳng ( Oyz).
b) Chứng minh mặt phẳng đi qua đường thẳng .
c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả và .
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng A có phương trình tham số là:
b) Mặt phẳng đã cho có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng có vectơ chỉ phương Ta có nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng .
Vì điểm của A (a) nên A nằm trên .
c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu của đường thẳng có phương trình: và hình chiếu của có phương trình. Giao điểm của hai đường thẳng và là Khi đó đường thẳng đi qua I, song song với Oz sẽ cắt cả hai đường thẳng
và Phương trình đường thẳng đó là:
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 16.1: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (P):

b) Chứa trục Oz và đi qua điểm
Hướng dẫn
a) Chọn Kết quả
b) Kết quả
Bài tập 16. 2: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua điểm song song với trục Oy và.
b) Đi qua điểm đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng và
Hướng dẫn
a) Chọn VTPT Kết quả.
b) Kết quả
Bài tập 16. 3: Cho tứ diện với các đỉnh
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho .
Hướng dẫn
Gọi Kết quả mặt cầu
Bài tập 16. 4: Lập phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mp(Oỵz). b) Cầu có tâm là hình chiếu H của gốc O lên đường thẳng AB và bán kính , với
Hướng dẫn
a) Tâm I nằm trên mp(Oyz) nên
Kết quả
b) Kết quả
Bài tập 16. 5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm thuộc trục Oy và tiếp xúc với hai mặt phẳng:.
b) Đi qua và có tâm thuộc mặt phẳng
Hướng dẫn
a) Tâm I thuộc trục Oy nên
Kết quả.
b) Kết quả
Bài tập 16. 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
và
Chứng to răng hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đó.
Hường dẫn
Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau.
Kết quả

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT Lê Hoành Phò File word