Chuyên đề 11: PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phép dời hình trong không gian
- Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ: Nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm thì .
Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng thành mặt phẳng…
- Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình.
Các phép dời hình trong không gian
- Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm sao cho .
- Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục): Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm sao cho trong mặt phẳng (M,d), d là đường trung trực của đoạn thẳng .
- Phép đối xứng qua một điểm (phép đối xứng tâm): Cho điển O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm sao cho , hay O là trung điểm của .
- Phép đối cứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .
- Hai hình H và gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Đối với các khối đa diện lồi: Nếu phép dời hình F biến tập các đỉnh của khối đa diện lồi H thành tập các đỉnh của khối đa diện lồi thì F biến H thành .
Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là
Phép vị tự trong không gian
- Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm sao cho gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm thì và do đó .
Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
- Hình H được gọi là đồng dạng với hình nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 hằng hình .
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 11.1: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A,B,C,D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử phép dời hình f biến các điểm A,B,C,D thành các điển đó, tức là . Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kỳ thành M.
Thật vậy, giả sử và khác với M. Khi đó vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên suy ra bốn điểm A,B,C,D nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn , điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy trùng với M và do đó f là phép đồng nhất.
Bài toán 11.2: Cho hai hình tứ diện ABCD và có các cạnh tương ứng bằng nhau: Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm .
Hướng dẫn giải
Giả sử có hai phép dời hình f1 và f2 đều biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm Nếu f1 và f2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu và thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt. Khi đó vì f1 và f2 đều là phép dời hình nên và , vậy , tương tự do đó bốn điểm cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M1M2, trái với giả thiết là hình tứ diện. Do đó với mọi điểm M ta đều có tức là hai phép dời hình f1 và f2 trùng nhau.
Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm
Bài toán 11.3: Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là . Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó.
Hướng dẫn giải
Vì và nên f biến mp(ABC). Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và thì thuộc mp(ABC) và
Nếu và M phân biệt thì ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác. Vậy
Bài toán 11.4: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và . Chứng minh rằng có đúng hai phép dời hình, mỗi phép biến tam giác ABC thành tam giác .
Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó?
Hướng dẫn giải
Trên đường thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm D khác A, trên đường thẳng vuông góc với tại có hai điểm phân biệt D1 và D2 sao cho .
Ta có các hình tứ diện ABCD, và có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Nếu f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác thì f biến D thành D1 hoặc f biến D thành D2.
Vậy có đúng hai phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác . Đó là phép dời hình f1 biến tứ diện ABCD thành tứ diện và phép dời hình f2 biến tứ diện ABCD thành tứ diện .
Đây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và trùng nhau. Vậy ta có hai phép dời hình biến ABCD thành chính nó: đó là phép đồng nhất và phép đối xứng qua mp(ABC).
Bài toán 11.5: Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm là các phép dời hình.
Hướng dẫn giải
- Nếu phép tịnh tiến theo vectơ biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm thì , suy ra do đó . Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
- Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm thì .
Suy ra:
Do đó , suy ra phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.
Bài toán 11.6: Chứng minh rằng phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng là các phép dời hình.
Hướng dẫn giải
- Giả sử phép đối cứng qua đường thẳng d biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của và , ta có:


Vì hai vectơ và đều vuông góc với nên:

Suy ra hay
Vậy phép đối cứng qua d là phép dời hình.
- Giả sử phép đối cứng qua mặt phẳng (P) biến M,N thành Nếu M,N thuộc (P) thì nên .
Nếu có ít nhất một trong hai điểm M,N không nằm trên (P) thì qua bốn điểm M,N, có một mặt phẳng (Q) ( và cùng vuông góc với (P) nên song song với nhau). Gọi là giao tuyến của (P) và (Q) thì trong mp(Q), phép đối cứng qua đường thẳng biến hai điểm M,N thành hai điểm và nên .
Bài toán 11.7: Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng .Trong trường hợp nào thì:
a) a trùng với b) a song song với
c) a cắt d) a và chéo nhau?
Hướng dẫn giải
a) a trùng với khi a nằm trên mơ(P) hoặc a vuông góc với mp(P)
b) a song song với khi a song song với mp(P)
c) a cắt khi cắt mp(P) nhưng không vuông góc với (P)
d) a và không bao giờ cắt nhau.
Bài toán 11.8: Cho hai đường thẳng song song a và , hai mặt phẳng (P) và cùng vuông góc với a. Tìm phép tịnh tiến biến a thành và biến (P) thành .
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của a và (P), là giao điểm của và (P). Khi đó phép tịnh tiến vectơ sẽ biến a thành và biến (P) thành .
Bài toán 11.9: Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là trọng tâm các tam giascc BCD, ACD, ABD, ABC. Với điểm M bất kỳ trong không gian ta gọi M1 là ảnh của M qua phép tịnh tiến là ảnh của M1 qua phép tịnh tiến theo , M3 là ảnh của M2 qua phép tịnh tiến theo , M4 là ảnh của M3 qua phép tịnh tiến theo Chứng minh rằng M trùng với M4.
Hướng dẫn giải
Ta có M4 là ảnh của M qua 4 phép tịnh tiến lien tiếp. Hợp thành phép tịnh tiến đó là một phép tịnh tiến theo vectơ

Gọi G là trọng tâm tứ diện, theo tính chất trọng tâm thì :

Do đó M trùng với M4.
Bài toán 11.10: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải
- Giải sử phép vị tự V tỉ số k biến đường thẳng a thành đường thẳng . Lấy hai điểm phân biệt M,N nằm trên a thì ảnh của chúng là các điểm nằm trên . Theo tính chất của phép vị tự thì . Do đó hai đường thẳng a và song song hoặc trùng nhau.
- Giả sử phép vị tự V biến thành . Lấy trên hai đường thẳng cắt nhau a và b thì ảnh của chúng qua V là hai đường thẳng và nằm trên và lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Từ đó suy ra hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau.
Bài toán 11.11: Cho hai hình tứ diện ABCD và có các cạnh tương ứng song song:
AB////////////. Chứng minh rằng có một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự biến tứ diện này thành tứ diện kia.
Hướng dẫn giải
Vì AB// nên có số k sao cho . Ta chứng minh rằng khi đó ta cũng có Thật vậy, xem xét tam giác ABC và có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số n và m sao cho và . Khi đó:
Vì hai vectơ và không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi , tức là , vậy và
Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
Xét trường hợp
Khi đó nên
Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ biến tứ diện ABCD thành tứ diện .
Nếu k≠1 thì hai đường thẳng và cắt nhau tại một điểm O nào đó. Khi đó phép vị tự V tâm O tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện .
Bài toán 11.12: Chứng minh rằng hợp thành của các phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.
Hướng dẫn giải
Giả sử T1 và T2 lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ và . Nếu T1 biến điểm M thành điểm M1 và T2 biến điểm M1 thành M2 thì hợp thành T2 o T1 biến điểm M thành điểm M2.
Vì và nên
Vậy T2 o T1 là phép tịnh tiến vectơ .
Tổng quát : Hợp thành của n phép tịnh tiến đã cho là một phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến bằng tổng các vectơ của các phép tịnh tiến đã cho.
Bài toán 11.13 : Cho phép dời hình j thoả mãn điều kiện phép hợp thành của f và là phép đồng nhất : f o f = e, biết rằng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thành chính nó. Chứng minh rằng f là phép đối xứng tâm.
Hướng dẫn giải
Với một điểm M bất kỳ khác I, ta gọi là ảnh của M qua f, khi đó M và không trùng nhau. Vì f o f = e nên f biến thành M, vậy f biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng .
Từ đó suy ra f biến trung điểm đoạn thẳng thành chính nó và vì vậy, theo giả thiết trung điểm phải là điểm I. Vậy f là phép đối xứng qua tâm I.
Bài toán 11.14 :Chứng minh rằng :
a) Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
b) Hợp thành của một số lẻ của phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
Hướng dẫn giải
a) Giải sử Đ1 và Đ2 là các phép đối xứng tâm có tâm lần lượt là O1 và O2. Gọi M là một điểm bất kỳ, M1 = Đ1(M) và = Đ2(M1) thì phép hợp thành Đ1 o Đ2 biến M thành .
Ta có :
Suy ra Đ1 o Đ2 là phép tịnh tiến theo vectơ
Vì hợp thành của hai phép đối xứng tâm là hợp thành của n phép tịnh tiến và do đó là một phép tịnh tiến.
b) Với điểm M ta lấy M1 đối xứng với M qua O, và lấy sao cho .
Khi đó hợp thành biến M thành . Nếu gọi I là trung điểm của thì Vậy điểm I cố định. Suy ra là phép đối xứng qua I.
Tương tự ĐO o là phép đối xứng qua điểm mà
Hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng tâm là hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm nên là một phép đối xứng tâm.
Bài toán 11.15 : Chứng minh rằng
a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến
b) Hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến theo vectơ vuông góc với trục đối xứng là một phép đối xứng trục.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử Đa và Đb là các phép đối xứng trục có trục lần lượt là các đường thẳng a và b song song với nhau. Lấy hai điểm I và J lần lượt nằm trên a và b sao cho IJ a. Với điểm M bất kỳ, ta gọi M1 = Đa(M) và Đb(M1) thì phép hợp thành Đb o Đa biếm M thành . Nếu gọi H là trung điểm của và K là trung điểm của thì :

Vậy hợp thành Đb o Đa chính là phép tịnh tiến theo vectơ .
b) Giả sử Da là phép đối xứng qua đường thẳng a, là phép tịnh tiến theo vectơ thì phép tịnh tiến là hợp thành của hai phép đối xứng Đb và Đa qua các đường thẳng a và b : .
Bởi vậy
Gọi là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo vectơ thì phép tịnh tiến là hợp thành của hai phép đối xứng Đb’ và Đa qua các đường thẳng và a :
Do đó :
Bài toán 11.16 : Chứng minh :
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến.
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Hướng dẫn giải
a) Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho . Với một điểm M bất kì, ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua mp(P) và là điểm đối xứng với M1 qua mp(Q).
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM1 và thì ta có :

Vậy phép hợp thành là phép tịnh tiến theo vectơ .
b) Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Với một điểm M bất kỳ, ta gọi M1là điểm đối xứng với m qua mp(P) và là điểm đối xứng của M1 qua mp(Q).
Nếu M nằm trên (P) hoặc trên (Q) thì thấy là điểm đối xứng của M qua d.
Nếu M nằm trên cả (P) và (Q) thì ba điểm M,M1 và xác định mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q), do đó vuông góc với d.
Gọi giao tuyến của (R) với (P) và (Q) lần lượt là p,q, còn O là giao điểm của p và q.
Xét trong mặt phẳng (R) thì điểm là ảnh của điểm M qua hợp thành của phép đối xứng qua đường thẳng p và phép đối xứng qua đường thẳng q.
Suy ra O là trung điểm của .
Mặt khác nên phép hợp thành là phép đối xứng qua đường thẳng d.
Bài toán 11.17 : Cho mặt phẳng (P) và cho phép dời hình f có tính chất : f biến điểm M thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P). Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
Hướng dẫ giải
Phép dời hình f biến mọi điển M nằm trên (P) thành M. Với điểm A không nằm trên (P) ta gọi a là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Nếu H là giao điểm của a và (P), vì nên f biến a thành đường thẳng đi qua H và vuông góc với (P), vậy .
Từ đó suy ra điểm A biến thành điểm nằm trên a, khác với A và . Vậy (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .
Suy ra f là phép đối xứng qua mp(P).
Bài toán 11.18 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số và phép vị tự tâm tỉ số . Chứng minh rằng nếu thì phép hợp thành là một phép tịnh tiến.
Hướng dẫn giải
Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k, là phép vị tự tâm tỉ số . Với mỗi điểm M ta lấy M1 sao cho rồi lấy điểm .
Ta có :
Vì nên bởi vậy đẳng thức trên trở thành :

Từ đó suy ra là phép tịnh tiến theo vectơ
Bài toán 11.19 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k và phép vị tự tâm tỉ số với . Gọi . Chứng minh rằng :
a) Có điểm I duy nhất sao cho F(I) = I
b) F là phép vị tự tâm I tỉ số
Hướng dẫn giải
a) Giả sử . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu V biến I thành I1 thì V’ biến I1 thành I, tức là: nếu thì hay:
Vậy điểm I được xác định duy nhất với
b) Với điểm M bất kì, gọi M1 là ảnh của M qua phép vị tự V, M’ là ảnh của M1 qua phép vị tự V’, thì F biến M thành M’. Khi đó ta có và . Từ đó ta có:
Vậy F là phép vị tự tâm I tỉ số kk’.
Bài toán 11.20: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số và một phép tịnh tiến T theo vectơ . Đặt và . Chứng minh rằng:
a) Có một điểm I duy nhất sao cho và điểm I duy nhất sao cho .
b) F là phép vị tự tâm I tỉ số k, F’ là phép vị tự tâm I’ tỉ số k.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu V biến I thành I1 thì T biến I1 thành I, tức là: nếu thì từ đó suy ra: hay , do đó . Vậy điểm I xác định duy nhất, với .
Giả sử . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu T biến I’ thành thì V biến thành I’, tức là: nếu thì .
Từ đó suy ra : hay , do đó .
Vậy điểm I’ xác định duy nhất, với .
b) Với mỗi điểm M bất kì ta lấy điểm M1 sao cho , rồi lấy điểm M’ sao cho . Khi đó phép hợp thành biến M thành M’. Ta xác định điểm O’ sao cho thì O’ là điểm cố định không phụ thuộc M và có:
Suy ra là phép vị tự tâm I tỉ k. Chứng minh tương tự thì là phép vị tự tâm I’ tỉ k.
Bài toán 11.21: Chứng minh rằng một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng, tổng quát một hình chóp không có tâm đối xứng.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta thấy rằng nếu một hình chóp có tâm đối xứng O, thì số mặt chẵn. Thật vậy nếu M là điểm bất kì thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M’ đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đỉnh thành đỉnh). Điều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thẳng MM’.
Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt là chẵn. Vậy đáy của hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh nên O không thuộc mặt phẳng đáy và không thuộc các mặt bên.
Gọi (T) là thiết diện của hình chóp đi qua O và song song với đáy ((T) tồn tại vì phép đối xứng qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), khi đó (T) là đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh (vì các cạnh của (T) chỉ nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp). Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán, và suy cho tứ diện bất kỳ.
Bài toán 11.22: Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây:
a) Hình chóp tứ giác đều.
b) Hình chóp cụt tam giác đều.
c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.
Hướng dẫn giải
a) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng: mp(SAC), mp(SBD), mặt phẳng trung trực của AB (đồng thời của CD) và mặt phẳng trung trực của AD (đồng thời của BC).
b) Hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, BC, CA.
c) Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, AD, AA’.
Bài toán 11.23:
a) Tìm các trục đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
b) Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử d là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là ghép đối xứng qua đường thẳng d biến các đỉnh của tứ diện thành các đỉnh của tứ diện.
Trước hết ta nhận thấy rằng trục đối xứng d không thể là đường thẳng đi qua hai đỉnh nào đó của hình tứ diện, vì hiển nhiên phép đối xứng qua đường thẳng d như thế không biến hình tứ diện thành chính nó.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng trục đối xứng d cũng không đi một đỉnh nào của tứ diện. Thật vậy, nếu d đi qua A thì vì B không thể nằm trên d nên B biến thành C hoặc D. Nếu B biến thành C thì C biến thành B nên D biến thành D và do đó d đi qua A và D, vô lí. Nếu B biến thành D thì D biến thành B và do đó C biến thành C và d đi qua A và C, vô lí
Vậy phép đối xứng Đ qua đường thẳng d biến điểm A thành một trong ba điểm B, C hoặc D.
Do đó tứ diện đều có 3 trục đối xứng là 3 đường thẳng đi qua trung điểm 2 cạnh đối diện (đường trung bình).
b) Giả sử là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là phép đối xứng Đ biến tập hợp {A, B, C, D} thành chính nó. Vì Đ không thể biến mỗi đỉnh thành chính nó (vì khi đó Đ là phép đồng nhất) nên phải có một đỉnh, A chẳng hạn, biến thành một đỉnh khác, B chẳng hạn. Khi đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (hiển nhiên đi qua C và D).
Vậy tứ diện ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh.
Bài toán 11.24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm
a) Tâm đối xứng b) Mặt đối xứng
c) Trục đối xứng
Hướng dẫn giải
a) Tâm đối xứng O là giao điểm của 4 đường chéo AC’, BD’. CA’ và DB’.
b) Gọi là mặt đối xứng của hình lập phương thì phép đối xứng qua biến hình vuông ABCD thành chính nó, hoặc thành hình vuông chung cạnh hoặc thành hình vuông A’B’C’D’.
Từ đó thì hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh và 6 mặt phẳng chứa hai cạnh đối.
c) 9 trục đối xứng gồm 3 trục của các mặt và 6 đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối.
Bài toán 11.25: Cho hình bát diện đều. Tìm:
a) Tâm đối xứng. b) Mặt đối xứng.
c) Trục đối xứng.
Hướng dẫn giải
a) Hình bát diện đều ABCDEF có tâm đối xứng O là giao điểm của 3 đường chéo AC, BD và EF.
b) Hình bát diện đều ABCDEF có tất cả 9 mặt phẳng đối xứng: ba mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng, mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
c) Hình bát diện đều ABCDEF có 9 trục đối xứng: ba trục của mặt (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 đường thẳng đi qua 2 trung điểm của 2 cạnh song song.
Bài toán 11.26: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau
b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Gọi O là tâm của hình lập phương. Vì phép đối xứng tâm O biến các đỉnh của hình chóp A.A’B’C’D’ thành các đỉnh của hình chóp C’ABCD. Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.
b) Phép đối xứng qua mp(ADC’B’) biến các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thành các đỉnh của hình lăng trụ AA’D’.BB’C’ nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.
Bài toán 11.27: Chứng minh 2 hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Giả sử ABCD.A’B’C’D’ và MNPQ.M’N’P’Q’ là hai hình lập phương có cạnh đều bằng a. Hai tứ diện ABDA’ và MNQM’ có các cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép dời hình F biến các điểm A, B, D, A’ lần lượt thành M, N, Q, M’. Vì F là phép dời hình nên F biến hình vuông thành hình vuông, do đó F biến điểm C thành điểm P, biến điểm B’ thành N’ biến điểm D’ thành Q’ và biến điểm C’ thành P’. Vậy hai hình lập phương đã cho bằng nhau.
Bài toán 11.28: Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng tỉ lệ:
. Chứng minh hai tứ diện đồng dạng.
Hướng dẫn giải
Xét phép vị tự V tâm O nào đó và có tỉ k.
Gọi là ảnh của ABCD qua V. Ta có:
,
Theo giả thiết thì
, do đó hai tứ diện và A’B’C’D’ bằng nhau.
Vậy hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.
Bài toán 11.29: Chứng minh rằng hai hình lập phương bất kì đều đồng dạng với nhau.
Hướng dẫn giải
Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ cạnh b.
Xét phép vị tự V tâm O nào đó và tỉ . Khi đó ảnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a thành hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ có cạnh là .
Do đó hai hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ và MNPQ.M’N’P’Q’ có cùng cạnh b nên bằng nhau.
Vậy hai hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và MNPQ.M’N’P’Q’ đồng dạng.
Bài toán 11.30: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng. Suy ra nếu ABCD là tứ diện đều thì A’B’C’D’ cũng là tứ diện đều.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Ta có: ;
Suy ra phép vị tự tâm G, tỉ số biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’. Vậy V biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên 2 tứ diện đó đồng dạng.
Bài toán 11.31: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính , một điểm M thay đổi trên mặt cầu. Gọi C’, D’, M’ là các điểm sao cho: . Chứng minh nếu BC’D’M’ là hình tứ diện thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó nằm trên (S).
Hướng dẫn giải
Phép tịnh tiến T theo vectơ biến A thành B, C thành C’, D thành D’ và M thành M’, tức là biến tứ diện ACDM thành tứ diện BC’D’M’.
Do đó T biến tâm O của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm O’ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’D’M’, tức là . Vì nên điểm O’ nằm trên mặt cầu (S).
Bài toán 11.32: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Gọi O là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng với mọi điểm K nằm trong tứ diện ta có:
Hướng dẫn giải
Ta có MN là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD.
Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK’ và MN.
Ta có: và .
Ta chứng minh rằng .
Xét trong mặt phẳng (MCD), điểm A’ sao cho tia MA’ vuông góc với MN, ngược chiều với tia NC và độ dài .
Ta có nên .
Vì A’C đi qua O nên .
Vậy
Bài toán 11.33: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho trong các trường hợp sau đây:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết và . Do đó khi và chỉ khi . Suy ra tập hợp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Theo giả thiết . Do đó khi và chỉ khi và , tức là M đồng thời nằm trên các mặt phẳng trung trực của AB và CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.
c) Theo giả thiết . Do đó khi và chỉ khi . Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Bài toán 11.34: Cho mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD. Với mỗi điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức:
Tìm tập hợp N, khi M di động trong (P).
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì G cố định.
Ta có
Do đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm G.
Vậy tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G.
Bài toán 11.35: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác cân ABC . Trên các cạnh AC và A’B’ ta lấy điểm tương ứng M và M’ sao cho .
Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MM’.
Hướng dẫn giải
Gọi I, J là trung điểm cạnh bên AA’ và giao các đường chéo hình chữ nhật BCC’B’.
Ta có IJ là trục đối xứng của hai đoạn AC và A’B’, do đó M và M’ đối xứng với nhau IJ. Vậy tập hợp các trung điểm của MM’ thuộc đoạn IJ.
Bài toán 11.36: Cho tứ diện ABCD. Điểm M lưu động trong tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các mặt (BCD), (CAD), (ABD) sao cho MA’ // AD, MB’ // BD, MC’ // CD. Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh:
Vì G là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên:

Do đó: nên .
Phép vị tự tâm D tỉ số biến M thành G nên tập hợp các điểm G là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự đó.
3. BÀI LUỆN TẬP
Bài tập 11.1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B lên CD và C’, D’ là hình chiếu C, D lên AB. Chứng minh đoạn và .
Hướng dẫn
Dùng phép đối xứng trục.
Bài tập 11.2: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng qua đường thẳng d. Với điểm M bất kì thuộc (R), gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng mặt phẳng (P), gọi M” là ảnh của M’ qua phép đối xứng mặt phẳng (Q). Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MM”.
Hướng dẫn
Dùng tính chất phép phép đối xứng qua mặt phẳng.
Kết quả: mặt phân giác.
Bài tập 11.3: Cho điểm I nằm trên đường thẳng d, đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P). Chứng minh phép dời hình f biến (P) thành (P), d thành d và có một điểm bất động duy nhất là I là phép đối xứng tâm I.
Hướng dẫn
Dùng định nghĩa phép dời hình.
Bài tập 11.4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, a’ và b’ có góc và khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau đó bằng nhau. Chứng minh có một phép dời hình biến đường thẳng a thành a’ và đường thẳng b thành b’.
Hướng dẫn
Gọi đoạn vuông góc chung AB và A’B’, từ đó dựng các tứ diện trên hai đường thẳng chéo nhau đã cho có cạnh tương ứng bằng nhau.
Bài tập 11.5: Cho tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD và BCD, ABC và ABD bằng nhau. Chứng minh tứ diện ABCD có trục đối xứng.
Hướng dẫn
Hai tam giác cùng đáy có diện tích thì chiều cao tương ứng bằng nhau.
Kết quả: trục đối xứng đi qua trung điểm AB và CD.
Bài tập 11.6:
a) Dựng 4 điểm A, B, C, D trong không gian cho biết 4 trung điểm của 4 đoạn AB, BC, CD, DA lần lượt là I, J, K, L.
b) Dựng 5 điểm A, B, C, D, E trong không gian cho biết 4 trung điểm của 5 đoạn AB, BC, CD, DE, EA lần lượt là I, J, K, L, M.
Hướng dẫn
a) Lý luận IJKL là hình bình hành.
b) Dùng hợp thành của 5 phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
Bài 11.7: Cho 2 mặt cầu và . Tìm các phép vị tự biến mặt cầu này thành mặt cầu kia.
Hướng dẫn
Dùng đường nối tâm và đường thẳng qua 2 mút của 2 vectơ bán kính cùng hướng và ngược hướng. Kết quả có 2 phép vị tự.
Bài 11.8: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh:
a) Bán kính mặt cầu đi qua trọng tâm 4 mặt không nhỏ hơn bán kính mặt cầu nội tiếp.
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp không nhỏ hơn 3 lần bán kính mặt cầu nội tiếp.
Hướng dẫn
a) Dùng phép vị tự tâm hay so sánh bằng cách vẽ các mặt song song với tiếp diện.
b) Dùng phép vị tự tâm G là trọng tâm tứ diện và tỉ .
Bài tập 11.9: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz và điểm M. Tìm 3 điểm A, B, C lần lượt trên 3 tia đó để M là trọng tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm của 3 mặt Oxy, Oyz, Ozx với các đường thẳng qua M và song song với Oz, Ox,Oy. Dùng phép vị tự tâm O tỉ .
Trang 18
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

onthicaptoc.com Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 11 PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN Lê Hoành Phò File word