CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
DẠNG 3.1
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Kiến thức quan trọng 1: Dùng tính đơn điệu để giải phƣơng trình.
Phương pháp :
 Phƣơng trình : f x  c có nhiều nhất một nghiệm nếu fx đơn điệu trên toàn bộ tập
   
xác định.
 Phƣơng trình : f x gx có nhiều nhất một nghiệm nếu hai hàm số f x, gx có
tính đơn điệu trái ngƣợc nhau.
 Phƣơng trình : f u x  f v x  u x  v x nếu f đơn điệu trên miền xác định.
       
   
Kiến thức quan trọng 2: Dùng tính đơn điệu để giải bất phƣơng trình.
N.C.Đ
Phương pháp :
 Bất phƣơng trình : f x c f x  x x nếu fx  đồng biến trên toàn bộ tập xác
00
định và f x  c f x  x x nếufx nghịch biến trên toàn bộ tập xác định
     
00
 Bất phƣơng trình : f x  g x và số x thỏa f x  g x :
       
0 00
+ Có nghiệm xx nếu fx đồng biến và gx nghịch biến.
   
0
+ Có nghiệm xx nếu fx nghịch biến và gx đồng biến.
   
0
 Bất phƣơng trình : f u x  f v x  u x  v x nếu f đồng biến trên miền xác
       
   
định và f u x f v x ux vx nếu f nghịch biến trên miền xác định.
   
Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình .
Phương pháp :
+ Tìm miền giá trị của hàm số fx là ab; .
   
+ Phƣơng trình có nghiệm khi ah m b.
 
Bài toán 2: Biện luận số nghiệm bất phƣơng trình hoặc .
Phương pháp :
 m f x x a;b  m max f x .
     
ab; 
 m f x x a;b  m min f x .
     
ab;
 
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 83
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
 m f x có nghiệm trên a;bm min f x .
     
ab;
 
 m f x có nghiệm trên a;bm max f x .
     
ab; 
Bài toán 3: Tìm tham số m để phƣơng trình có nghiệm
Phương pháp :
+ Giả sử fx liên tục trên ab; và f a  f b .
       
+ Phƣơng trình có nghiệm x a;b thì f ah m f b .
       
BÀI TẬP
32
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình x 3x 9x m 0 có
đúng 1 nghiệm?
A. 27 m 5. B. m5 hoặc m 27 .
m27 m 5 5 m 27
C. hoặc . D. .
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 21x  x m có
nghiệm thực?
A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 3 .
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình
22
x  4x 5 m 4x x có đúng 2 nghiệm dƣơng?
N.C.Đ
A. 13m . B. 35 m . C. 53 m . D. 33 m .
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phƣơng trình:
2
2
xx 3  2 0 cũng là nghiệm của bất phƣơng trình mx  m1 x m1 0?
 
4 4
A. m1. B. m . C. m . D. m1.
7 7
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình:
22 3

log x log x1 2m1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn ?
1;3
33

A. 13 m . B. 02m . C. 03m . D. 12 m .
2
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình x  mx 2 2x1 có
hai nghiệm thực?
7 3 9
m m m m
A. . B. . C. . D. .
2 2 2
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình
4 2
3 x1 m x1 2 x 1 có hai nghiệm thực?
1 1 1 1
A. m 1. B. 1 m . C. 2 m . D. 0m .
3 4 3 3
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình
1

2
(1 2x)(3 x) m 2x 5x3 nghiệm đúng với mọi x ;3 ?

2

A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 .
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 84
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
3 1 x 3 x  2 (1 x)(3 x) m nghiệm đúng với mọi x[ 1;3] ?
 
A. m 6 . B. m 6 . C. m6 2 4 . D. m6 2 4 .
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình
22
3 x 6 x 18 3x x  m  m1 nghiệm đúng ?
x3,6
A. m1. B. 10 m .
C. 02m . D. m1 hoặc m2 .
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình
xx2
 
m.4  m1 .2  m1 0 nghiệm đúng x ?
A. m 3 . B. m 1. C. 14 m . D. m 0 .
1
3
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho bất phƣơng trình: x 32mx 
m
3
x
x 1
nghiệm đúng ?
2 2 3 13
A. m . B. m . C. m . D.   m .
3 3 2 32
2 2 2
cos x sin x cos x
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phƣơng trình 2 3 m.3 có
nghiệm?
A. m 4 . B. m 8 . C. m 12 . D. m 16 .
32
Câu 14. Bất phƣơng trình 2x 3x  6x16 4 x 2 3 có tập nghiệm là ab; . Hỏi tổng
 
N.C.Đ
ab có giá trị là bao nhiêu?
2
A. . B. 4. C. 5. D. 3.
22
Câu 15. Bất phƣơng trình x  2x3 x  6x11 3 x x1 có tập nghiệm ab; . Hỏi
 
hiệu ba có giá trị là bao nhiêu?
1
A. 1. B. 2. C. 3. D. .
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình:
2 2 4 2 2
m 1 x  1 x  2  2 1 x  1 x  1 x có nghiệm.
 
A. m21. B. 21 m1. C. m1. D. m1.
Câu 17. Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
44
2x 2x 2 6 x 2 6 x  m, m
 
4 4
A. 2 6 2 6 m 3 2 6 B. 2 6 3 6 m 3 28
4 4
C. 6 2 6 m 3 2 6 D. 6 2 6 m 3 2 6
32
Câu 18: Cho hàm số y f x  ax bx  cx d với a, b, c, d; a 0 là các số thực, có đồ thị nhƣ
 
hình bên.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 85
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (2019;2019) để hàm số
32
g(x) f x  3x  m
 
nghịch trên khoảng 2; ?
 
A. 2012 B. 2013 C. 4028 D. 4026
Câu 19: Cho hàm số fx có đồ thị nhƣ hình vẽ
 
N.C.Đ
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phƣơng trình
32 
1
f x 2 f x 7 f x 5
     
e  ln f x   m có nghiệm là
 


fx
 

A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 86
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn C.
32
(1) m x 3x 9x f (x) . Bảng biến thiên của fx() trên .
3
0 0
5
Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m27 hoặc m 5
Câu 2. Chọn B.
22
Đặt t x1,t 0 . Phƣơng trình thành: 2t t 1 m mt  2t1
2
Xét hàm số 
f (t)t  2t1,t 0; f (t)2t 2
 
Bảng biến thiên của ft :
0 1
0
2
N.C.Đ
m 2
Từ đó suy ra phƣơng trình có nghiệm khi .
Câu 3. Chọn B
x 2
2

Đặt t f (x) x  4x 5 . Ta có fx() . f(x) 0 x 2
2
xx45
Xét x 0 ta có bảng biến thiên
0 2
0
1
22
Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành m t  t5 t  t5 m 0 (1).
Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm tt, thì tt 1. (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t1.
12 12
Vậy phƣơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dƣơng khi và chỉ khi phƣơng trình (1) có
2
đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Đặt g(t) t  t5. Ta đi tìm m để phƣơng trình g()t  m có
 
đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Ta có g(t) 2t1 0,t 1; 5 .
   
Bảng biến thiên:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 87
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Từ bảng biến thiên suy ra 35 m là các giá trị cần tìm.
Câu 4. Chọn C.
2
Bất phƣơng trình xx 3  2 012 x .
x 2
2
2
Bất phƣơng trình mx  m1 x m1 0  m(x  x1)x 2 m
 
2
xx1
2
x 2
x4x 1
Xét hàm số fx() với 12x . Có f(x)  0,x[1;2]
2 22
xx1
(xx1)
4
Yêu cầu bài toán m max f (x) m
[1;2]
7
Câu 5. Chọn B.
2
t1
Đặt txlog 1. Điều kiện: .
3
2 3

Phƣơng trình thành: t  t 2m 2 0 (*) . Khi xt 1;3  [1;2]

2 N.C.Đ
tt 2
(*) f (t)  m . Bảng biến thiên :
2
2
2
0
Từ bảng biến thiên ta có : 02m
Câu 6. Chọn C
1
x
Điều kiện:
2
2 2
Phƣơng trình x  mx 2 2x1 3x  4x1 mx (*)
2
3xx4 1
Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m
x
2 2
3xx4 1 3x 1 1

Xét fx() . Ta có f (x)  0x ; x 0
2
x x 2
Bảng biến thiên
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 88
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
0
+ +
9
m
Từ bảng biến thiên ta có để phƣơng trình có hai nghiệm thì .
2
Câu 7. Chọn D.
Điều kiện : x1
4 2
xx11
xx11
4
Pt 32 m 32 m
2
4
xx11
x1
(x1)
x1
2
4
x 1 01t
t với ta có . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc m 2t3t  f (t)
x1
1
 f(t) 0 t
Ta có: f (t)2 6t ta có:
3
Bảng biến thiên:
N.C.Đ
0 1
0
0
1
Từ bảng biến thiên ta có để phƣơng trình có hai nghiệm khi 0m
3
Câu 8. Chọn D.

1 7 2

Đặt t (1 2x)(3 x) khi xt  ;3   0;


24


2
Thay vào bất phƣơng trình ta đƣợc f()t  t  t m
Bảng biến thiên
0
Từ bảng biến thiên ta có : m 0
Câu 9. Chọn D.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 89
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
22
Đặt t 1 x 3 x  t  4 2 (1 x)(3 x) 2 (1 x)(3 x) t  4
2
Với x[ 1;3]  t[2;2 2] . Thay vào bất phƣơng trình ta đƣợc: mt 34t
3
2

Xét hàm số f (t)t  3t 4; f(t)2t 3 ; f (t) 0 t  2
2
-
6
Từ bảng biến thiên ta có m6 2 4 thỏa đề bài
Câu 10. Chọn D.
2
2
    
Đặt t 3 x 6 x 0 t  3 x 6 x  9 2 3 x 6 x
2
      
 9 t  9 2 3 x 6 x  9 3 x  6 x 18
22
1
     
 18 3x x  3 x 6 x  t  9 ;t 3;3 2

2
2
1 9
        

Xét f t  t  t ; f t 1t 0;t 3;3 2  max f t  f 3  3


22 3;3 2

22
 
ycbt  max f t  3 m  m1 m  m 2 0 m1hoặc m2

3;3 2

N.C.Đ
Câu 11. Chọn B
x xx2
 
Đặt t20 thì m.4  m1 .2  m1 0, đúng x
22
     
 m.t  4 m1 .t m1  0,t 0 m t  4t1  4t1,t 0
41t
 
 g t   m,0t .
2
tt41
2
42tt
   

Ta có gt 0 nên gt nghịch biến trên 0;
2
2
 
tt41
   
ycbt  max g t  g 0 1 m
t0
Câu 12. Chọn A.
32
1 1 2
 
Bpt  3mx x   2,x1 3m x    f x ,x1.
34
x
xx
4 2 2
4 2 4 2
   
Ta có f x  2x   2 2x    0 suy ra fx tăng.
5 2  5 2 2
x x x x x
2
     
Ycbt  f x  3m,x1 min f x  f 1  2 3m  m
x1 3
Câu 13. Chọn A.
22
cosxxcos
21
   
2
(1) 3 m . Đặt t cos x,0 t1
   
39
   
tt tt
21 21
       
(1) trở thành 3 m (2). Đặt ft( ) 3 .
       
39 39
       
Ta có (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t[0;1] m Max f (t) m 4
t[0;1]
Câu 14. Chọn C
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 90
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
32
Điều kiện: 24 x . Xét f (x) 2x  3x  6x16 4 x trên đoạn 2;4 .
 
2
31xx
 
1
Có f(x)   0,x 2;4 .
 
32
24 x
2x  3x  6x16
Do đó hàm số đồng biến trên , bpt .
2;4  f (x) f (1) 2 3 x1
 
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1;4] a b 5.
Câu 15. Chọn A.
22
Điều kiện: 13x ; bpt  x1  2 x1 3 x  2 3 x
   
t 1
2
Xét f (t) t  2 t với t 0 . Có f (t)   0,t 0 .
2
2 t
22t 
Do đó hàm số đồng biến trên [0;) . (1)  f (x1) f (3 x) x1 3 x 2
So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S  (2;3].
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình:
2 2 4 2 2
m 1 x  1 x  2  2 1 x  1 x  1 x có nghiệm.
 
A. m21. B. 21 m1. C. m1. D. m1.
Lời giải
x1;1
ĐK:  .
N.C.Đ
22
Đặt t11 x   x . Với x1;1 , ta xác định ĐK của t nhƣ sau:
 
22
Xét hàm số t11 x   x với x1;1 .
 
Ta có:
22
x11 x   x
 
xx
t  , cho tx 0  0
2 2 4
1 x 1 x 1 x
Ta có t1 2,t0 0,t1 2

Vậy với x1;1 thì t 0; 2
 

2 2 4 2
t 1 x  1 x  2 1 x  2 t
Từ .
2
tt  2
2
Khi đó pt đã cho tƣơng đƣơng với: m t22t  t 
 
t 2
2
tt  2

Bài toán trở thành tìm m để phƣơng trình  m có nghiệm t 0; 2 .

t 2
2
tt  2

t 0; 2
Xét hàm số ft  với .

t 2
2
tt4

Ta có: f t   0,t 0; 2
 
2

t 2
 
Suy ra: max f t  f 0 1, min f t  f 2  21 .
     
 
 
t 0; 2 t 0; 2


NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 91
GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

onthicaptoc.com Sử dụng tính đơn điệu của hàm số biện luấn số nghiệm phương trình, bất phương trình