1
BồidưỡngHSGTHCSvàônthivào10chuyên
BồidưỡngHSGTHCSvàônthivào10chuyên
2020
44
===NGUYỄNTÀICHUNG===
===NGUYỄNTÀICHUNG===
37
20
21
27 34
31
7
23
46 39
13
9
30
22
19 48
24 5
17
43
3
25
18
35
2
SửSửSửSửSửSửSửdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngnguynguynguynguynguynguynguyênênênênênênênlílílílílílílíDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichle
SửSửSửSửSửSửSửSửSửdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngnguynguynguynguynguynguynguynguynguyênênênênênênênênênlílílílílílílílílíDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichle
SửSửSửSửSửSửSửSửSửdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngdụngnguynguynguynguynguynguynguynguynguyênênênênênênênênênlílílílílílílílílíDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichleDirichle
SửSửdụngdụngnguynguyênênlílíDirichleDirichle
SửdụngnguyênlíDirichle
50
10
36
29
14
15
11
26
ccchứnghứnghứngminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
cccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccccccchứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứnghứngminhminhminhminhminhminhminhminhminh
ccccchứnghứnghứnghứnghứng49 minhminhminhminhminh
8
4
47
1
38
40
28
bấtđẳngthức
bấtđẳngthức
bấtđẳngthức
33
41
6
12
42
16
32
45
π
π
π
π
π
Pleiku24/05/2020
1|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
MỤCLỤC
A Lþ thuy¸t v  v½ dö gi£i to¡n 2
B B i tªp 5
1 · b i 5
2 Líi gi£i 8
MỤCLỤC|ChuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏiTHCSvàônthivào10chuyên
2|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
SỬDỤNGNGUYÊNLÍDIRICHLETRONGCHỨNGMINH
BẤTĐẲNGTHỨC
A.LÝTHUYẾTVÀVÍDỤGIẢITOÁN
Nếu nhốt 3 con chim Bồ Câu vào trong 2 cái chuồng
thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất 2 con
chim Bồ Câu. Khẳng định gần như hiển nhiên này
đượcgọilàNguyênlýDirichle.Bâygiờtahìnhdung
trên trục số, điểm 0 chia trục số thành 2 phần, hay 2
cáichuồngmàváchngănlàsố0.
Như thế với ba số a, b, c mà ta xem như là
¥ +¥
3 con chim Bồ Câu thì sẽ có một cái chuồng
0
chứaítnhấthaiconchimBồCâu,nghĩalàsẽ
có hai số cùng không âm (tức là có hai con chim Bồ Câu cùng thuộc chuồng [0;+¥))
hoặccùngkhôngdương(tứclàcóhaiconchimBồCâucùngthuộcchuồng(¥;0]).Do
đótacóthểgiảsửcóhaisố,màtagọilà avà b,saocho ab 0.Nhưvậy,trongbàitoán
bấtđẳngthức,khitađãchọnđược“điểmrơi”(tứclàđẳngthứccủabàitoán),vídụnhư
đẳngthứcxảyrakhi a = b = c = k thìtacóthểgiảsử2số(ak),(bk) cùngkhông
âmhoặccùngkhôngdương,tứclàcóthểgiảsử(ak)(bk) 0.
Bài 1. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmbấtkì.Chứngminhrằng
2 2 2
a +b +c +2abc+1 2(ab+bc+ca).
LLờigiải
Cách1.Tacósựtươngđương
2 2 2
a +b +c +2abc+1 2(ab+bc+ca)



2 2 2
, a 2ab+b + c 2c+1 +2abc2ac2bc+2c 0
2 2
,(ab) +(c1) +2c(a1)(b1) 0.
Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số a1; b1; c1 luôn tồn tại hai số không âm
hoặccùngkhôngdương.Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử(a1)(b1) 0.Khiđó
2c(a1)(b1) 0.Vậytađượcđiềuphảichứngminh.
Cách2.khôngmấttínhtổngquát,giảsử(a1)(b1) 0thì
ab a+b1) 2abc 2ac+2bc2c.
Suyra
2 2 2 2 2 2
a +b +c +2abc+1 a +b +c +2ac+2bc2c+1
2
 2ab+(c1) +2ac+2bc 2(ab+bc+ca).
Dođó,tacóđiềuphảichứngminh.
Lưuý.Bạnđọccầnlưuýbàitoán1này,kếtquảcủanócònđượcsửdụngtrongmộtsố
bàitoánkhác,chẳnghạnnhưbàitoán5ởtrang5,bàitoán7ởtrang5.
3|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
Bài 2 (APMO 2005). Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng




2 2 2 2
a +2 b +2 c +2  3(a+b+c) .
LLờigiải
2 2 2
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a 1; b 1; c 1 luôn tồn tại hai số cùng
khôngâmhoặccùngkhôngdương.Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử



2 2
a 1 b 1  0.
Tacó






2 2 2 2 2 2
a +2 b +2 = a 1 b 1 +3 a +b +1 .




2 2 2 2
Dođó a +2 b +2  3 a +b +1 .Nhưvậy






2 2 2 2 2 2
a +2 b +2 c +2  3 a +b +1 c +2 .
Tacầnchứngminh



2
2 2 2
3 a +b +1 c +2  3(a+b+c) .
Thậtvậy,theobấtđẳngthứcBunhiacopski,tacó





2
2 2
2 2 2 2 2 2
(a+b+c) =(a.1+b.1+1.c)  a +b +1 1+1+c = a +b +1 2+c .
Vậytacóđiềuphảichứngminh.
Lưuý.
1 Theodõilờigiảitathấyrằng,bấtđẳngthức




2
2 2 2
a +2 b +2 c +2  3(a+b+c)
đúngvớimọisốthực a,b,c(khôngcầnđiềukiện a,b,cdương).
2 Ngoàicáchgiảinhưtrên,tacòncóthểđưaramộtlờigiảirấtđiệunghệnhưsau:
Tacó




2 2 2 2 2 2
a +2 b +2 = 2 a +b +a b +4



2 2 2 2
= 2 a +b + a b +1 +3


2 2
 2 a +b +2ab+3
2
3(a+b)
 +3.
2
Vậyđểgiảibàitoán,tachỉcầnchứngminh
!
2


(a+b)
2
2
+1 2+c (a+b+c) .
2
TuynhiênđiềunàyđượckiểmchứngdễdàngnhờbấtđẳngthứcCauchy-Schwarz
nhưsau:
!
 
2 2
p


a+b (a+b)
2
2
(a+b+c) = p
2+1
c  +1 2+c .
2
2
MỤCLỤC|ChuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏiTHCSvàônthivào10chuyên
4|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
3 Tacóthểlàmbàitập2mạnhhơnbởibàitập3ởngayphíasau.
Bài 3. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng




2 2
2 2 2
a +2 b +2 c +2  3(a+b+c) +(abc1) .
LLờigiải
Tacósựtươngđương




2 2
2 2 2
a +2 b +2 c +2  3 a+b+c + abc1
( ) ( )


2 2 2 2 2 2 2 2 2
,a +b +c +2 a b +b c +c a +7+2abc 6 ab+bc+ca .
( )
2 2 2
Tacó: a +b +c +2abc+1 2(ab+bc+ca)(dovídụ1ởtrang2).Lạicó




2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b +b c +c a +3= a b +1 + b c +1 + c a +1
 2ab+2bc+2ca.
2 2 2 2 2 2
Do đó 2a b +2b c +2c a +6 4ab+4bc+4ca. Như vậy ta được điều phải chứng
minh.
Bài 4. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmcótổngbằng6.Chứngminhrằng
3(ab+bc+ca)abc 28.
LLờigiải
TheonguyênlíDirichletthìtrongbasố a2;b2;c2luôntồntạihaisốcùngkhông
âmhoặccùngkhôngdương.Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử
(a2)(b2) 0.
Khiđó
ab+4 2a+2b, abc+4c 2ac+2bc
,4c2ac2bcabc.
Dođó
3(ab+bc+ca)abc 3(ab+bc+ca)+4c2ac2bc.
Tacầnchứngminh
3ab+bc+ca+4c 28
,3ab+c(a+b)+4c 28
,3ab+c(6c)+4c 28.
Thậtvậy,tacó
3
2
2
3ab+c 6c +4c a+b +6cc +4c
( ) ( )
4
3
2 2
 (6c) +10cc .
4
Dođó
 
2
1 1
2
3ab+c 6c +4c c +c+27= c1 +28 28.
( )
4 2
Vậytađượcđiềuphảichứngminh.
5|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
B.BÀITẬP
1.Đềbài
Bài 5. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngcó abc= 1.Chứngminh
1 1 1
+ + +3 2(a+b+c).
2 2 2
a b c
Bài 6 (Rumania Mathematical Olympiad 2006).
Chocácsốdương a,b,cthỏamãn a+b+c= 3.Chứngminhrằng
1 1 1
2 2 2
+ +  a +b +c .
2 2 2
a b c
Bài 7. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminh
2 2 2
a +b +c +2abc+3(a+1)(b+1)(c+1).
Bài 8. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmcótổngbằng3.Chứngminhrằng:
2 2 2
a +b +c +abc 4.
Bài 9. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãn abc= 1.Chứngminhrằng
2 2 2
a +b +c +a+b+c 2(ab+bc+ca).
Bài 10 (HSG Toán 9, Gia Lai 2018-2019).
2 2 2
Xét x, y, zlàcácsốthựckhôngâmthỏamãnđiềukiện x +y +z +2xyz = 1.Tìmgiá
trịlớnnhấtcủabiểuthức P= xy+yz+zx2xyz.
Bài 11 (IMO 1984). Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmcótổngbằng1.Chứngminh
7
ab+bc+ca2abc .
27
Bài 12 (T3/476-Toán học & Tuổi trẻ, tháng 2 năm 2017).
Xétcácsốthựcdương a,b,cthỏamãn a+b+c= 3.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức
P= 2(ab+bc+ca)abc.
Bài 13. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng




2 2 2
a +2 b +2 c +2  9(ab+bc+ca).
MỤCLỤC|ChuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏiTHCSvàônthivào10chuyên
6|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
Bài 14. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmcótổngbằng1.Chứngminhrằng
9abc+1 4(ab+bc+ca).
2 2 2
Bài 15. Cho a,b,clàcácsốdươngsaocho a +b +c +abc= 4.Chứngminh:
1 ab+bc+caabc 2. (USA2001)
2 a+b+c 3. (Iran2002)
Bài 16 (P131, Tạp chí Pi, tháng 1 năm 2018).
2 2 2
Cho x,y,zlàcácsốthựcdươngthỏamãn x +y +z +2xyz= 1.Chứngminhrằng
2 2 2 2 2 2
2(x +y +z +xy+yz+zx) 3 3(x +y +z )+xy+yz+zx.
Bài 17. Choa,b,clàcácsốthựcdươngsaochoab+bc+ca+abc= 4.Chứngminhrằng
a+b+c ab+bc+ca.
Bài 18. Choa,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãna+b+c+2= abc.Chứngminhrằng:
2(a+b+c) ab+bc+ca.
Bài 19 (Mathematical Reflections 3/2020).
Xét a,b,clàcácsốdươngthỏamãn a+b+c= ab+bc+ca.Chứngminhrằng
3 3 3 4
+ +  4.
1+a 1+b 1+c (1+a)(1+b)(1+c)
Bài 20. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng




5
2
2 2 2
a +1 b +1 c +1  (a+b+c+1) .
16
Bài 21. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngcótổngbằng3.Chứngminhrằng




2 2 2
a a+1 b b+1 c c+1  1.
Bài 22. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâmbấtkì.Chứngminhrằng:
h i
1
2 2 2
abc+2+p (a1) +(b1) +(c1)  a+b+c.
2
7|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
Bài 23. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng:


2 2 2
2 a +b +c +abc+8 5(a+b+c).
Bài 24. Cho a,b,clàcácsốthựckhôngâm.Chứngminhrằng:


3 3 3
5 a +b +c +3abc+9 9(ab+bc+ca).
Bài 25. Cho a,b,clàcácsốthựcdương.Chứngminhrằng:
        
1 1 1 1 1 1
a+ 1 b+ 1 + b+ 1 c+ 1 + c+ 1 a+ 1  3.
b c c a a b
Bài 26. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãn abc= 1.Chứngminhrằng:
1 1 1 1
+ + +  1.
2 2 2
a+b+c+1
(a+1) (b+1) (c+1)
Bài 27. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãn abc= 1.Chứngminhrằng:
1 1 1 2
+ + +  1.
2 2 2
a+1 b+1 c+1
( )( )( )
(a+1) (b+1) (c+1)
Bài 28. Cho a,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãn abc= 1.Chứngminhrằng:
a+3 b+3 c+3
+ +  3.
2 2 2
a+1 b+1 c+1
( ) ( ) ( )
Bài 29 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018).
Cho x,y,zlàcácsốthựckhôngâmthỏamãn x+y+z = 3và xy+yz+zx6= 0.Chứng
x+1 y+1 z+1 25
p
minhrằng: + +  .
3
y+1 z+1 x+1
3 4(xy+yz+zx)
Bài 30 (Chọn đội tuyển Toán vòng 1 THPT Chuyên Hùng - Gia Lai 2020-2021).
Xétcácsốthựcdương a,b,cthỏamãn a+b+c= 3.Chứngminhrằng
a b c 1
+ +  .
3 3 3
b +16 c +16 a +16 6
Bài 31 (P43, Tạp chí Pi, tháng 7 năm 2017).
2 2 2
Cho a,b,clàbasốthựcthỏamãnđiềukiện a +b +c = 3.Chứngminhbấtđẳngthức
sau
2a 2b 2c  abc.
( )( )( )
Hỏiđẳngthứcxảyrakhinào?
MỤCLỤC|ChuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏiTHCSvàônthivào10chuyên
8|Biênsoạn: NguyễnTàiChung,GVTHPTChuyênHùngVương,ĐT0968774679
Bài 32 (P47, Tạp chí Pi, tháng 4 năm 2017).
Tìmsốthựckbénhấtsaochovớimọibộbasốthựckhôngâm a,b,c,taluôncó


2 2 2
abc+k (ab) +(bc) +(ca) +2 a+b+c.
Bài 33 (Chọn đội tuyển HSG Toán 12, Tỉnh Đồng Tháp năm học 2019-2020).
Cho a,b,clàcácsốthựcthỏamãn a+b+c= 3.Chứngminhrằng
2
(ab+bc+ca) +9 18abc.
Bài 34 (Chọn đội tuyển HSG Toán 12, Tỉnh Bến Tre năm học 2019-2020).
Tìmsốnguyênnhỏnhấtnsaochovớinsốthựcphânbiệta ,a ...,a lấytừđoạn[1;1000]
1 2 n
p
3
luôntồntại a ,a thỏa0< aa < 1+3 a a vớii,j2f1;2;...;ng.
i j i j i j
2.Lờigiải
Bài5. Xét a1,b1,c1;theonguyênlíĐi-rich-lê,cóthểgiảsử
§ §
a1 0 a1 0
hoặc
b1 0 b1 0.
2 1
2 2
Do abc= 1nên2c= , = a b .Khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhtươngđương
2
ab c
 
1 1 1
2 2
+ +a b +3 2 a+b+
2 2
a b ab
 
1 1 2
2 2
, + +a b 2a2b+3 0
2 2
a b ab
 
2
1 1
2
, +2(a1)(b1)+(ab1)  0 (đúng).
a b
Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh.
Lưuý.Ápdụngbàitoán1,tacũngnhanhchóngđưarađượclờigiảicủabàitoán5này.
Thậtvậy,theobàitoán1thì
2 2 2 2
(ab) +(bc) +(ca) +2(abc) +1 2(abbc+abca+bcca)
1 1 1
, + + +3 2(a+b+c).
2 2 2
a b c
1 1 1
2 2 2
Bài6. Xétbấtđẳngthức + +  a +b +c . (1)
2 2 2
a b c
2
2 2 2
Cách 1. Do a +b +c = a+b+c 2(ab+bc+ca) = 92(ab+bc+ca) nên bất
( )
đẳngthức(1)tươngđương
 
1 1 1 2 2 2 1 1 1
+ + +3+2(ab+bc+ca)+2 + +  12
2 2 2
a b c a b c a b c

onthicaptoc.com Sử dụng nguyên lí Dirichle chứng minh bất đẳng thức – Nguyễn Tài Chung