onthicaptoc.com
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 - 2024
Khóa ngày 07/6/2023
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
SBD:………….. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang gồm 5 câu
Câu 1 (2,0 điểm)
a. Tính giá trị của biểu thức
b. Rút gọn biểu thức với và
Câu 2 (2,0 điểm)
a. Giải hệ phương trình
b. Cho phương trình là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C sao cho (C khác B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và AC, K là giao điểm thứ hai của BM với (O).
a. Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.
b. Chứng minh HC là tia phân giác của góc .
c. Qua O, kẻ đường thẳng song song với AM cắt MC tại P, MC cắt AB tại Q. Chứng minh rằng
Câu 5 (1,5 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho .
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương biết rằng hai phương trình và (với là ẩn) đều có nghiệm nguyên.
...........................HẾT.........................
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 -2024
Khóa ngày 07/6/2023
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi câu được phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm là 0,5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Đối với Câu 4, học sinh không vẽ hình thì cho điểm 0. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì điểm 0 ở ý đó.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm từng câu.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.
Câu
Nội dung
Điểm
1
a. Tính giá trị biểu thức
b. Rút gọn biểu thức
với và
2,0
a
0,5

0,5
b
Với vàta có
0,25

0,25

0,25

0,25
2
a. Giải hệ phương trình
b. Cho phương trình là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
2,0
a
Ta có
0,25
Đặt (*) ta được hệ phương trình
0,25
0,25
thay vào (*) ta có
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;1); (1;-1)
0,25
b
Ta có nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu, suy ra
Theo Vi et ta có
0,5
Theo bài ra ta có
0,25
. Vậy
0,25
3
Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
1,0
Ta có:
Suy ra
0,5
Tương tự ta có


0,25
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
4
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C sao cho (C khác B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và AC, K là giao điểm thứ hai của BM với (O).
a. Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.
b. Chứng minh HC là tia phân giác của góc .
c. Qua O, kẻ đường thẳng song song với AM cắt MC tại P, MC cắt AB tại Q. Chứng minh rằng
3,5 điểm
a
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra (1)
0,5
Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
nên (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHKM nội tiếp.
0,5
b
Ta có (cùng chắn cung )
Và (cùng chắn cung )
Suy ra (3)
0,25
Ta thấy BOHK nội tiếp.
Nên (4)
0,25
Lại có cân tại O nên (5)
Từ (4) và (5) suy ra (6)
0,25
Từ (3) và (6) suy ra
Hay HC là tia phân giác của .
0,25
c
Vì nên (hai góc so le trong)
Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên (cùng bằng )
Suy ra cân tại P
0,5
Áp dụng định lý Ta-lét trong ta có
mà (chứng minh trên) nên (đpcm).
0,5
5
a. Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho .
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương biết rằng hai phương trình và (với là ẩn) đều có nghiệm nguyên.
1,5 điểm
a
Ta có .
0,25
Vì mà nên
0,25
Suy ra
0,25
b
Phương trình có .
Phương trình có .
Vì hai phương trình có nghiệm nguyên nên , đều là số chính phương.
0,25
Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó .
Do đó là số lẻ. Đặt .
0,25
+) Nếu thì không là số chính phương.
+) Nếu (thỏa mãn).
+) Nếu thì (thỏa mãn).
+ Nếu thì không là số chính phương.
Vậy các bộ số thỏa mãn là: , , .
0,25
...........................HẾT.........................

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Quang Binh 23 24