Chương 4 TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP
A. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ HAY – LỜI GIẢI ĐẸP.
Cuộc tranh luận về “cái đẹp” vốn không có hồi kết giữa các trường phái trong triết, và quả thực khi ta cảm nhận rằng một ai đó hay một thứ gì đó là đẹp, ta cũng rất khó diễn tả ra. Trong ca dao Việt Nam có rất nhiều bài nhắc về phép đẹp, như: “Thân em như miếng cau khô. Người thanh tham mỏng, người thô tham dày”, hay như câu nói bóng bẩy của nhà triết học duy tâm Kant: “Cái đẹp không ở gò má hồng của người thiếu nữ mà ở cặp mắt của kẻ si tình”… Nó đã phần nào thể hiện sự đánh giá về cái đẹp là muôn hình, muôn vẻ. Vì vậy thật khó lòng để chúng tôi làm một chương về phương trình vô tỷ…có liên quan về cái đẹp.
Nhưng cứ suy ra trong những cách nghĩ thông thường, chúng tôi mạnh dạng đề xuất những tiêu chí về vẻ đẹp của một phương trình vô tỷ theo những quan điểm của riêng mình, đó là:
- Một phương trình vô tỷ quen thuộc về mặt hình thức, nhưng có những đột phá trong lời giải.
- Một phương trình vô tỷ đơn giản về mặt hình thức nhưng chứa đựng nhiều ý đồ sâu xa trong quá trình tìm lời giải.
- Một phương trình vô tỷ sáng tác hay được giải quyết trên những ý tưởng táo bạo hoặc rất ít thấy.
1. Tuyển chọn một số phương trình có một dấu căn thức.
Bài 1. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Đặt
Phương trình đã trở thành
+ Với :
+ Với
Kết luận. Tập nghiệm của phương trình đã cho là
- Bình luận. Nếu ta đặt câu hỏi là: “Giải phương trình sau như thế nào?” thì chắc là chúng ta sẽ nhận được nhiều câu trả lời bởi dạng toán này quá quen thuộc với nhều người và cũng được nhắc lại khá nhiều lần trong các chương trước. Song cái tư duy tưởng như là cũ ở lời giải trên lại cho chúng ta một bất ngờ thú vị.
Bài 2. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng
Đặt ta được phương trình
Bây giờ, tiếp tục đặt Từ đó ta thu được phương trình
Suy ra hệ phương trình
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được
- Xét trường hợp Ta có (ta loại nghiệm vì tương ứng ), suy ra
- Xét trường hợp ta có (ta loại nghiệm vì khi đó ), suy ra
Vậy ta có là hai nghiệm của phương trình.
- Bình luận. Nếu không được phép sử dụng máy tính bỏ túi, suy nghĩ đầu tiên chắc hẳn sẽ dành cho phương pháp đưa về hệ đối xứng kiểu II. Tuy nhiên, điều thú vị và cũng là khác biệt lớn nhất trong lời giải này đó là vấn đề sử dụng liên tiếp các ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng kiểu II một cách rất tự nhiên.
Bài 3. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, ta nhân hai vế của phương trình cho x ta được
Phương trình đã được biến đổi thành

Đặt , đưa bài toán về giải hệ đối xứng sau
Trừ vế theo vế hai phương trình đã cho ta được:

Ta lại để ý rằng vô nghiệm
Vậy, ta có
Thử lại, nhận thấy là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có 3 nghiệm là .
- Bình luận. Nét đặc sắc trong lời giải trên chính là sự táo bạo khi quyết định chọn con đường đưa phương trình về hệ đối xứng kiểu II và rõ ràng để tìm được điều này tác giả đã rất tinh ý trong những biến đổi của mình.
Bài 4. Giải phương trình
Lời giải 1
Ta có
Điều kiện
Lúc này phương trình đã cho được viết lại thành:


Đặt ta có phương trình
Do nên


Thử lại với điều kiện, ta nhận
Vậy là nghiệm của phương trình.
Lời giải 2
Điều kiện
Phương trình đã cho được biến đổi thành
Đặt
Từ đó dễ dàng suy ra
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế của cho ab ta được phương trình


Thử lại với điều kiện, ta nhận .
Vậy là nghiệm của phương trình.
- Bình luận. Thực ra không có điều gì mới lạ ở cách tiếp cận bài toán với hai lời giải trên. Song nó thể hiện rõ nét tư duy “Quy lạ về quen” khi giải toán.
Bài 5. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện hoặc Ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1:
Ta có
Trường hợp 2:
Ta có
Trường hợp 3:
Ta có
Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
- Bình luận. Cái tinh tế của lời giải này chính là sự chia nhỏ các miền xác định để xử lý phương trình vô tỷ.
Bài tập tương tự
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình .
Bài 6. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Đặt với Phương trình trở thành:

Từ suy ra
Với đặt với
Từ phương trình ta có
Vì
Vậy phương trình có tối đa 4 nghiệm suy ra bốn nghiệm phân biệt của phương trình là:
Do nên chỉ có thảo mãn.
Với
Với
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
- Bình luận. Cái hay của bài toán ở chỗ sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình khép chặt miền nghiệm để thực hiện phương pháp lượng giác hóa.
Thực ra tác giả đã tinh ý khi nhận biết phương trình chỉ có nghiệm .
Bài tập tương tự.
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình
2. Tuyển chọn một số phương trình có chứa hai dấu căn thức.
Bài 1. Giải phương trình
Lời giải 1
Đặt
Phương trình đã cho biến đổi thành

Từ giả thiết
Do đó vế trái vế phải . Nên phương trình đã cho có nghiệm tương đương Vậy là nghiệm của phương trình.
- Bình luận. Sự tinh tế trong nhận xét đã đưa bài toán đẹp về một lời giải đẹp.
Bài tập tương tự.
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình
Lời giải 2
Đặt
Từ phép đặt trên cho ta
Ta viết lại phương trình đã cho thành




Mà từ điều kiện nên ta có
Vậy là nghiệm của phương trình.
- Bình luận.
Cái hay của lời giải trên là một cách giải hoàn toàn tự nhiên khi thực hiện phép biến đổi và đưa về dạng phân tích bình phương ; .
Bài tập tương tự.
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương thành phương trình:


Để ý rằng
Mặt khác, ta có . Thật vậy, ta có tương đương với
Dễ thấy rằng luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Lại có
Thật vậy, tương đương với
Dấu đẳng thức ở xảy ra khi và chỉ khi
Vậy ta có nên xảy ra khi và chỉ khi
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
- Bình luận.
Một bài toán đẹp nhận được những lời giải đẹp. Và lời giải này cũng chứa đựng sự khéo léo trong đánh giá đưa về dạng Việc chọn số a không phải khó, chỉ cần ta dự đoán được nghiệm thay vào nhận thấy nên nghĩ ngay đến việc thực hiện phép đánh giá như trên. Nhưng nếu ta không biết đến việc mà nghĩ là thì chắc hẳn dễ nhận thấy không thể xảy ra được vì
Bài 2. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với:

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Nên Vậy ta có là nghiệm của phương trình.
- Nhận xét.
Ta có thể giải bất phương trình như sau. Đặt ta có
Bài tập tương tự. Giải phương trình
Bài 3. Giải phương trình
Lời giải 1
Đầu tiên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức biến đổi thành đúng với
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Lời giải 2
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với
Đặt ta được phương trình


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
- Bình luận. Linh hoạt trong việc sử dụng liên tiếp các phương pháp giải toán (kết hợp nhiều phương pháp giải toán) luôn tạo ra những lời giải ấn tượng, đẹp mắt và bất ngờ.
Bài tập tương tự. Giải phương trình

onthicaptoc.com Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung