PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình tích
Để giải phương trình tích , ta giải phương trình và . Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.
*) Nhận xét: Đối với phương trình đưa được về dạng tích, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
Bước 1: Đưa phương trình về phương trình tích
Bước 2: Giải phương trình tích tìm được.
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
* Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và đó gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.
* Các giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được
Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3, giá trị nào thỏa mãn đièu kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giải phương trình tích
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có nên hoặc
+ hay , suy ra
+ hay , suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
b) Ta có nên hoặc
+ hay , suy ra
+ hay , suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
c) Ta có nên hoặc
+ suy ra
+ hay , suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
d) Ta có nên hoặc
+ suy ra
+ , suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) b)
c)
Lời giải
a) Ta có nên hoặc
+ suy ra
+ , hay suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
b) Ta có nên hoặc
+ hay suy ra
+ , hay suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
b) Ta có nên hoặc
+ , suy ra
+ , hay suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) b)
c)
Lời giải
a) Ta có nên hoặc
+ , suy ra
+ , hay suy ra
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .
b) Ta có nên hoặc
+ , hay hay suy ra
+ , hay hay , suy ra /
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .
Bài 4: Độ cao (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh giây được cho bởi công thức . Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất không?
Lời giải
Quả bóng chạm đất khi , do đó ta giải phương trình:
Suy ra hoặc
Suy ra hoặc
Vậy thời gian của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là giây.
Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng phương trình tích
Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có tập nghiệm
b) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có tập nghiệm
c) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có tập nghiệm
d) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có tập nghiệm .
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
+ suy ra
+ suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
c) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
+ suy ra
+ suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
d) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
+ suy ra
+ suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
+ suy ra
+ suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
+ suy ra
+ suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
c) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
Vì nên , suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
d) Biến đổi phương trình về phương trình tích như sau:
Vì nên , suy ra
Vậy phương trình có tập nghiệm .
Bài 4: Trong một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất, có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (hình vẽ). Biết diện tích bể bơi bằng cm2. Tính độ dài cạnh khu đất đó.
Lời giải
Gọi độ dài cạnh khu đất có dạng hình vuông là (m). Khi đó, mảnh đất có dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước là (m), () và (m).
Do đó, diện tích của mảnh đất là (cm2)
Giải phương trình
hoặc
Do nên . Vậy độ dài cạnh khu đất là (m).
Bài 5: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng m người ta làm một lối đi xunh quanh có bề rộng là (m). Để diện tích phần đất còn lại là m2 thì bề rộng của lối đi là bao nhiêu?
Lời giải
Phần đất còn lại vẫn là hình vuông có cạnh (m) nên diện tích phần đất còn lại là
Do cạnh của hình vuông là một số dương nên
Theo bài ra ta có phương trình . Khi đó:
+ suy ra (thỏa mãn)
+ suy ra (loại)
Vậy lối đi rộng (m).
Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Điều kiện xác định:
Ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
b) Điều kiện
Ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
c) Điều kiện xác định
Ta có:
(không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Điều kiện xác định hay
Ta thấy thỏa mãn điểu kiện xác định của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
b) Điều kiện xác định hay
Ta thấy không thỏa mãn điểu kiện xác định của phương trình
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
c) Điều kiện xác định hay
Ta thấy thỏa mãn điểu kiện xác định của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
d) Điều kiện xác định hay
Ta thấy không thỏa mãn điểu kiện xác định của phương trình
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3: Hai bạn Phong và Khang cùng hẹn nhau đạp xe đến một vị trí cách vị trí bạn Phong 6km và cách vị trí bạn Khang 7km. Hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc. Tính tốc độ của mỗi bạn, biết tốc độ của bạn Khang hơn tốc độ của bạn Phong là 6km/h/
Lời giải
Gọi tốc độ của bạn Phong là . Khi đó, tốc dộ của bạn Khang là
Thời gian đi của bạn Phong là (giờ)
Thời gian đi của bạn Khang là (giờ)
Do hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc nên thời gian đi của hai bạn là như nhau. Ta có phương trình
Giải phương trình
(thỏa mãn )
Vậy tốc độ của bạn Phong là 12km/h, tốc độ của bạn Khang là 14km/h
Bài 4: Biết nồng độ muối của nước biển là và khối lượng riêng của nước biển là g/ml. Từ 2 lít nước biển như thế, người ta hòa tan thêm muối để được dung dịch có nồng độ muối là . Tính khối lượng muối cần thêm.
Lời giải
Khối lượng của 2 lít nước biển là (g)
Khối lượng muối trong 2 lít nước biển là (g)
Gọi khối lượng muối cần hòa thêm 2 lít nước biển như thế để được dung dịch có nồng độ muối là là (g) . Ta có phương trình
Giải phương trình
(thỏa mãn, )
Vậy cần thêm (g) muối vào 2 lít nước biển ban đầu để được dung dịch có nồng độ muối là
Bài 5: Hai thành phố và cách nhau km. Một ô tô di chuyển từ đến , rồi quay trở về với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lượt đi của ô tô, biết tốc độ lượt về lớn hơn tốc độ lượt đi
Lời giải
Gọi là tốc độ lượt đi
Tốc độ lượt về bằng
Thoe thời gian 4 giờ 24 phút giờ
Theo đề bài ta có
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tốc độ luợt đi là .
Dạng 4: Biết phương trình có một trong các nghiệm là . Tìm giá trị của tham số
I. Phương pháp giải
Bước 1: Thay vào phương trình đã cho
Bước 2: GIải phương trình với ẩn số là .
II. Bài toán
Bài 1: Cho phương trình , trong đó là một số cho trước.
a) Tìm các giá trị của để phương trình có một trong các nghiệm là
b) Với các giá trị của tìm được ở câu a), hãy giải phương trình đã cho.
Lời giải
a) Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình
b) Trường hợp 1. Với thì phương trình trở thành
Phương trình nghiệm đúng với mọi
Trường hợp 2. Với thì phương trình đã cho trở thành
Vậy
Bài 2: Cho phương trình trong đó là một số cho trước. Biết là một nghiệm của phương trình. Tìm tất cả các nghiệm còn lại.
Lời giải
Thay vào phương trình ta được
Với thì phương trình đã cho trở thành
Vậy tất cả các nghiệm còn lại là ,
Bài 3: Cho phương trình trong đó là một số cho trước. Biết là một trong các nghiệm của phương trình, tìm các nghiệm còn lại.
Lời giải
Thay vào phương trình ta được
Với thì phương trình đã cho trở thành
ĐKXĐ:
(thỏa mãn đk)
Vậy tất cả các nghiệm còn lại là
Bài 4: Cho phương trình . Chứng minh rằng nếu là một nghiệm của phương trình thì phương trình còn có một nghiệm nguyên.
Lời giải
Thay vào phương trình ta được

Với thì phương trình đã cho trở thành
ĐKXĐ:


(thỏa mãn đk)
Vậy phương trình có nghiệm
Và nghiệm nguyên .
Dạng 5: Tìm giá trị của biến để giá trị của hai biểu thức có mối liên quan nào đó
Bài 1: Cho hai biểu thức ; . Với giá trị nào của thì hai biểu thức và có cùng một giá trị?
Lời giải
Điều kiện:
Vậy khi thì
Bài 2: Cho ba biểu thức ; ; . Tìm các giá trị của để tổng có giá trị bằng giá trị của biểu thức .
Lời giải
Điều kiện:
(loại)
Vậy không có giá trị nào của x để tổng có giá trị bằng biểu thức .
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
suy ra
Vậy phương trình có hai nghiệm và
b)
Vậy phương trình có hai nghiệm và
c) Ta có
Vậy phương trình có hai nghiệm và
d) Ta có
Vậy phương trình có hai nghiệm là và
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có hai nghiệm là và
b)
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có hai nghiệm là và
c)
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có hai nghiệm là và
d)
hoặc
hoặc
Vậy phương trình có hai nghiệm là và
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau
+
+
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
b) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau
+
+
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
c)
Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau
+
+
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
d)
Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau
+
+
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có
hoặc
hoặc
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
b) Ta có
hoặc
hoặc
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
c) Ta có

onthicaptoc.com Bai 4 PHUONG TRINH QUY VE PHUONG TRINH BAC NHAT MOT AN