Tailieumontoan.com

Nguyễn Công Lợi
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN
111 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Nghệ An, ngày 22 tháng 4 năm 2020
1
Website:tailieumontoan.com
PHÂN TÍCH VÀ LỜI GIẢI
111 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC SẮC
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề phân tích và lời giải
111 bài toán bất đẳng thức đặc sắc. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về
này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về bất đẳng thức
thường được ra trong các kì thi gần đây. Đây là dạng toán hay trong chương trình toán THCS và
THPT là niềm đam mê khao khát chinh phục của nhiều thầy cô giáo và các thế hệ học sinh vì vậy
mà hầu hết những câu lấy điểm tuyệt đối trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS và THPT ở Việt
Nam đều là bất đẳng thức. Nhiều người sợ vì thực sự không hiểu bản chất lời giải sinh ra thế nào,
tại sao người giải lại có thể nghĩ ra cách giải đó, nhiều khi như áp đặt, việc phân tích và giải như tài
liệu này của tác giả Nguyễn Công Lợi là hết sức cần thiết!
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp
con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề phân tích và lời giải 111 bài bất đẳng thức đặc sắc này sẽ
có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
TUYỂN CHỌN 111 BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC SẮC
Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n bất đẳng
thức hay v| khó, cùng với đó l| qu{ trình ph}n tích để đi đến hình th|nh lời giải cho b|i
to{n bất đẳng thức đó. Từ c{c b|i to{n đó ta sẽ thấy được qu{ trình ph}n tích đặc điểm của
giả thiết b|i to{n cũng như bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó có những nhận định,
định hướng để tìm tòi lời giải v| c{ch trình b|y lời giải cho một b|i to{n bất đẳng thức.
Bài 1. Cho a, b, c l| c{c số thực dương. Chứng minh rằng:
bc ca ab 1 1 1
    
2 2 2
a b c b c a c a b 2a 2b 2c
     
Phân tích và lời giải
Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Có thể nói đ}y l| một bất
đẳng thức hay tuy nhiên nó không thực sự khó. Quan s{t bất đẳng thức ta có một c{ch tiếp
cận b|i to{n như sau
Cách 1. Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM
để đ{nh gi{. Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bao nhiều số? Để ý bên vế
1 1
tr{i bất đẳng thức có chứa v| bên vế phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức AM
2
a
a
bc
– GM cho hai số, ta cũng cần triệt tiêu c{c đại lượng . Chú ý đến bảo to|n dấu đẳng
bc
thức ta có đ{nh gi{ sau
bc bc bc b c 1
  2  
22
4bc 4bc a
a bc a b c
   
ca ca 1 ab a b 1
Thực hiện tương tự ta có   ;  
22
4ca b 4ab c
b ca c a b
   
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được
bc ca ab b c c a a b 1 1 1
       
2 2 2
a b c b c a c a b 4bc 4ca 4ab a b c
     
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
b c c a a b 1 1 1 1
Để ý l|      , lúc n|y ta thu được

4bc 4ca 4ab 2 a b c

bc ca ab 1 1 1 11 1 1
       

2 2 2
a b c 2 a b c
a b c b c a c a b
     

bc ca ab 1 1 1
Hay     
2 2 2
2a 2b 2c
a b c b c a c a b
     
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi ab c .
Cách 2. Ý tưởng thứ hai l| {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta
được
2
abbc ca
bc ca ab  
  
2 2 2
a b c b c a c a b
      abc a b c  b c a  c a b
     

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
2
abbc ca
 
1 1 1
  
 2a 2b 2c
abc a b c  b c a  c a b
     

Biến đổi vế tr{i ta được
22
ab bc ca ab bc ca
    1 1 1
   
2a 2b 2c
abca b c  b c a  c a b 2abc abbc ca
 
     

Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức được chứng minh.
Cách 3. Ý tưởng tiếp theo l| sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh b|i to{n.
bc 1 abbc ca
Chú ý đến phép biến đổi  , khi đó ta thu được bất đẳng thức cần
22
a bc a a b c
   
chứng sau
ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1
    
2 2 2 
a b c b c a c a b 2 a b c
     

3 abbc ca
 
31 1 1
Biến đổi vế tr{i ta lại được    . Đến lúc n|y ta đưa b|i to{n cần

2 a b c 2abc

1 1 1 3
chứng minh th|nh
  
2 2 2
a b c b c a c a b 2abc
     
Đến đ}y ta biến đổi bất đẳng thức bằng c{ch nh}n cả hai vế với tích abc ta được
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
bc ca ab 3
  
abca bc ab ca bc 2
Bất đẳng thức cuối cùng l| bất đẳng thức Neibitz. Điều n|y đồng nghĩa với việc bất đẳng
thức được chứng minh.
Cách 4. Ta tiếp tục ph}n tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan s{t bất đẳng thức ta
bc 1
nhận thấy  , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại th|nh
2
a b c 11
 
2
a 

bc

1 1 1 11 1 1
    

 1 1  1 1  1 1 2 a b c
2 2 2 
a  b  c 
     
b c c a a b
     
1 1 1
Đến đ}y ta đặt x; y ; z . Khi đó bất đẳng thức trở th|nh
a b c
2
22
xzy xy z
  
y z z x x y 2
Bất đẳng thức cuối cùng l|m ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n
thức
2
222
xy z
y   xy z
xz
   
y z z x x y 2 xy z 2
 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi ab c .
Bài 2. Cho a, b, c l| c{c số thực dương. Chứng minh rằng:
5 5 5 3 3 3
a b c ab c
  
2 2 2 2 2 2
3
a  ab b b  bc c c  ca a
Phân tích và lời giải
Quan s{t c{ch ph{t biểu của b|i to{n thì ý tưởng đầu tiên l| sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki dạng ph}n thức v| khi đó ta được
2
3 3 3
5 5 5
ab c
 
a b c
  
2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a a  b  c  a b ab  b c bc  c a ca
2
3 3 3
3 3 3
ab c
 
ab c

Như vậy ta cần chỉ ra được
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a  b  c  a b ab  b c bc  c a ca 3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
Hay 2 a  b  c  a bab  b c bc  c a ca
 
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
3 3 3 3 3 3
Dễ thấy a  b  ab a b ; b  c  bc b c ; c a  ca ca
     
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 a  b  c  a bab  b c bc  c a ca
 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi ab c .
5
a
Ý tưởng thứ hai l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM, để ý đến đại lượng
22
aab b
3
a
bên vế tr{i v| đại lượng bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng AM – GM cho hai
3
22
số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c v| cần triệt tiêu được aab b
22
5
a aab b
 
a
nên ta chọn hai số đó l| ; . Khi đó ta được
22
9
aab b
2 2 2 2
5 5 3
a a  ab b a a  ab b
   
a a 2a
  2  
2 2 2 2
9 9 3
a  ab b a  ab b
Áp dụng tương tự ta có
2 2 2 2
5 3 5 3
b b  bc c c c  ca a
   
b 2b c 2c
  ;  
2 2 2 2
9 3 9 3
b  bc c c  ca a
5 5 5
a b c
Để đơn giản hóa ta đặt A  
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được
2 2 2 2 2 2 3 3 3
a a  ab b b b  bc c c c  ca a 2 a  b  c
       
A   
9 9 9 3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
5 a  b  c  a b ab  b c bc  c a ca
   
Hay A
9
Phép chứng minh sẽ ho|n tất nếu ta chỉ ra được
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3
5 a  b  c  a b ab  b c bc  c a ca
   
ab c

93
3 3 3 2 2 2 2 2 2
 2 a  b  c  a b ab  b c bc  c a ca
 
Đến đ}y ta thực hiện tương tự như c{ch 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
    30
2 2 2
ab c ab bc ca
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
Phân tích và lời giải
1
Trước hết ta dự đo{n đẳng thức xẩy ra tại a b c . Quan s{t bất đẳng thức cần
3
chứng minh ta nhận thấy c{c biến đều nằm dưới mẫu nên rất tự nhiên ta nghĩ đến c{c bất
đẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức, …
Cách 1. Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức trên với ý tưởng đ{nh gi{ bằng bất đẳng thức
2 2 2
AM – GM. Để ý đến bảo to|n dấu đẳng thức ta có a  b  c  ab bc ca nên đầu tiên để
1 1 1 9
tạo ra đại lượng abbc ca ta có đ{nh gi{ quen thuộc l|    .
ab bc ca abbc ca
1 1 1 1 1 9
Do đó ta có bất đẳng thức     
2 2 2 2 2 2
a  b  c ab bc ca a  b  c abbc ca
19
Như vậy ta cần phải chứng minh được  30
2 2 2
abbc ca
ab c
Lại chú ý đến đ{nh gi{ tương tự như trên nhưng ta cần cộng c{c mẫu sao cho có thể
2
viết được th|nh ab c điều n|y có nghĩa l| ta cần đến 2 abbc ca . Đến đ}y ta hai
   
hướng l|:
2
12
2
 
12
+ Thứ nhất l| đ{nh gi{ , Tuy nhiên
  12
 
2 2 2 2
ab c 2 abbc ca
 
ab c
 
đ{nh gi{ n|y không xẩy ra dấu đẳng thức.
1 1 1 9
+ Thứ hai l| đ{nh gi{     9.
2 2 2 2
ab bc ca ab bc ca
ab c
ab c
 
7
Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được  21
abbc ca
2
ab c
 
1
Tuy nhiên, dễ thấy  ab bc ca ab bc ca
33
7
Do đó ta được  21 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
abbc ca
Cách 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức, chú ý đến dấu đẳng
thức xẩy ra thì ta được
1 1 1 1 16 16
      12
2 2 2 2 2 2
22
3ab 3bc 3ca 1
a  b  c a  b  c  3 ab bc ca
 
a b c  a b c
   
3
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
21 1 1
Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được    18

3 ab bc ca

Để ý tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được
21 1 1 6 6
     18

2
3 ab bc ca abbc ca 1

ab c
 
3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
1 1 1 9
Cách 3. Theo một đ{nh gi{ quen thuộc ta có   
ab bc ca abbc ca
1 1 1 1 1 9
Do đó ta có bất đẳng thức     
2 2 2 2 2 2
a  b  c ab bc ca a  b  c abbc ca
Áp dụng tiếp đ{nh gi{ trên ta được
1 1 1
2 2 2
  a  b  c  2ab 2bc 2ca  9
 

2 2 2
ab c ab bc ca ab bc ca

12 7
Hay  9 . Mặt kh{c ta lại có  21
2 2 2
abbc ca abbc ca
ab c
1 1 1 1
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được     30 .
2 2 2
ab bc ca
ab c
1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a b c .
3
Bài 4. Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng:
a b c
   3
b c a
Phân tích và lời giải
Trước hết để mất dấu căn ta đặt xa; y b; z c , khi đó từ giả thiết ta có
222
y
xz
2 2 2
x  y  z  3 v| bất đẳng thức được viết lại th|nh    3 . Quan s{t bất đẳng
y z x
thức v| dự đo{n được dấu đẳng thức xẩy ra tại x y z 1, ta có một số ý tưởng tiếp cận
b|i to{n như sau
Cách 1. Từ c{ch ph{t biểu vế tr{i ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
2 2 2
dạng ph}n thức. Tuy nhiên cần chú ý đến giả thiết x  y  z  3, khi đó ta có đ{nh gi{
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
2
2 2 2
2242 4 4
xy z
 
yy
x z x z 9
      
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x
9
2 2 2
 3 3 x y y z z x
Ta quy b|i to{n về chứng minh
2 2 2
x yy z z x
M| theo bất đẳng thức AM – GM ta được
3 2 2 3 2 2 3 2 2
x  xy  2x y; y  yz  2y z; z  zx  2z x
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Do đó ta có x  y  z  x y xy  x z xz  y z yz  3 x y y z xz
 
M| ta có đẳng thức quen thuộc
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
x  y  z x y z  x  y  z  x y xy  x z xz  y z yz
 
 
2 2 2 2 2 2
Do đó ta được x  y  z x y z  3 x y xz  y z
 
   
2 2 2 2 2 2
Để ý tiếp đến giả thiết x  y  z  3, ta có x y z x y y z xz
2 2 2 2 2 2
Mà ta có x y z 3 x  y  z  3 suy ra 3 x y y z z x .
 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a b c 1.
Cách 2. Cũng từ c{ch ph{t biểu vế tr{i ta nghĩ đến đ{nh gi{ bằng bất đẳng thức AM – GM,
tuy nhiên khi {p dụng trực tiếp ta cần chú ý l|m triệt tiêu c{c mẫu số v| đ{nh gi{ về bình
phương của c{c biến. Do đó ta đ{nh gi{ như sau
222
xzy
2 2 2 2 2 2
 x y 2x ;  y z 2y ;  z x 2z
y z x
Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được
222
xzy
2 2 2 2 2 2
   x y y z z x 2x  2y  2z  6
y z x
222
xzy
2 2 2
Hay    6 x y y z z x .
 
y z x
2 2 2
B|i to{n sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 6 x y y z z x  3 hay
 
2 2 2
3 x y y z z x
Đến đ}y ta l|m như c{ch thứ 1.
Cách 3. Cũng {p dụng bất đẳng thức AM – GM, tuy nhiên trong tình huống n|y ta bình
phương hai vế trước
Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC

onthicaptoc.com Phân tích bình luận 111 bài toán bất đẳng thức – Nguyễn Công Lợi