Nhị thức Newton
I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton
1. Tổ hợp là gì?
* Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Kí hiệu: là số tổ hợp chập k của n phần tử . Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Tính chất chập k của n phần tử:
* Tính chất 1:
* Tính chất 2: Công thức pascal
2. Nhị thức Newton
Định lí: Với và với mọi cặp số ta có:
3. Hệ quả
Hệ quả:
* Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:
4. Nhận xét
Trong khai triển Newton có tính chất sau:
* Gồm n + 1 phần tử.
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.
* Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .
* Các hệ số có tính đối xứng .
* Số hạng tổng quát:
Chú ý:
* Số hạng thứ nhất
* Số hạng thứ k:
II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton
Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a.
b.
c.
Hướng dẫn giải
a. Khai triển Newton của
b. Khai triển Newton của
c. Khai triển Newton của
Ví dụ 2: Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức
Hướng dẫn giải
Ta có:
Số hạng chứa trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa:
Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: biết rằng:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó biểu thức khai triển là
Số hạng không chứa x ứng với k:
Số hạng không chưa x là:
Ví dụ 4: Xét khai triển:
a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
c.Xác định hệ số của trong khai triển.
Hướng dẫn giải

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là:
Số hạng không chứa x trong khai triển là:
Số hạng chứa trong khai triển ứng với k là:
Vậy số hạng chứa trong khai triển có hệ số là:
Ví dụ 5: Tính tổng:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a.
b.
c.
d.
Bài 2: Xét khai triển
a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
b. Hệ số của số hạng chứa trong khai triển.
c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.
Bài 3: Tính tổng:
Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển .
Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.

onthicaptoc.com Nhi thuc Newton