BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Nếu là một số và là một số không âm thì .
* Khi tính toán với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (tức là biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).
Ví dụ:
a)
b)
c) (với )
d) (với )
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu và là hia số không âm thì
+ Nếu là số âm và là số không âm thì .
Ví dụ:
a)
b)
c) (với )
d) (với )
3. Trục căn thức ở mẫu
+ Với các biểu thức , và , ta có
+ Với các biểu thức , , mà , , ta có:
;
+ Với các biểu thức , , mà , , , ta có:
;
4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).
B. Bài tập
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
I. Cách giải:
Để đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có 2 bước:
Bước 1: Chia các số trong căn thành các số chính phương 4, 9, 16, 25, 36,...
Bước 2: Dùng công thức: Với , ta có:
II. Bài toán
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) .
Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
i. k.
Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
i. k.
Bài 4: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
b)
c)
d) .
Bài 5: Viết gọn các biểu thức sau
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 6: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải
a) với
b) với
c) với

d)
e)

f)
với .
Bài 7: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 8: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. với b. với
c. với d. với
e. với f. với
g. h.
Lời giải
g) Điều kiện xác định
Ta có:
h) Điều kiện xác định
Ta có:
.
Bài 9: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 10: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a. với b. với
c. với d. với
e. với f. với
g. h.
Lời giải
g) Điều kiện xác định
Ta có:
h) Điều kiện xác định
Ta có:
Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
I. Cách giải:
Để đưa thừa số vào trong dấu căn, ta có 2 bước:
Bước 1: Viết biểu thức thành (với )
Bước 2: Dùng quy tắc nhân các căn bậc hai:
+ (với , )
+ Nếu thì đặt dấu trừ ở ngoài căn
(với , )
II. Bài toán
Bài 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) .
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b) (với )
c) (với ) d) (với )
Lời giải
a)
b) (vì )
c) với
d) với
Bài 3: Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau
a)
b)
Lời giải
a) Biến đổi chỉ đúng khi
Nếu thì
b) Biến đổi chỉ đúng khi
Nếu thì .
Bài 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b)
c)
Lời giải
a) (với )
b) Điều kiện: , ;
Xét trường hợp ; , ta có
Xét trường hợp ; , ta có
c) Điều kiện:
Ta có .
Bài 5: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Dạng 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
I. Cách giải:
- Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân thức với ở trong căn với mẫu
Bước 2: Khai phương một thương
Bước 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi giản ước cho nhân tử chung
Với , ta có:
- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của phân thức
Bước 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Bước 2: Thu gọn đơn thức đồng dạng
II. Bài toán
Bài 1: Khử căn thức ở mẫu số các phân số
a. b.
c. d.
e. f.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
f) Ta có:
Bài 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a) với b) với
c) với ,
Lời giải
a)
b)
c) .
Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
b)
c) .
d)
Bài 4: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Lời giải
Ta có
* Chú ý: Nếu nhân cả tử và mẫu của phân số với thì vẫn ra kết quả nhưng biến đổi phức tạp hơn:
Vậy tìm thừa số phụ như thế nào cho hợp lí?
Trước hết, phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố: . Ta thấy ngay thừa số phụ là 2, lúc đó số mũ của các thừa số nguyên tố đều chẵn.
Bài 5: Khử mẫu của các biểu thức lấy căn
a) b)
c) d)
Lời giải
a) (điều kiện )
b) (điều kiện )
c)
(điều kiện )
d) (điều kiện hoặc ).
Bài 6: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 7: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau
a. b.
Lời giải
a)
b)
Bài 8: Thu gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
Suy ra
Do đó
Bài 9: Thu gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
.
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
I. Cách giải:
- Khử mẫu của biểu thức lấy căn
+ Bước 1: Xác định biểu thức liên hợp
+ Bước 2: Nhân liên hợp để làm mất căn
+ Bước 3: Giản ước, thu gọn (nếu được)
- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của phân thức
+ Bước 1: Trục căn thức ở mẫu
+ Bước 2: Thu gọn căn thức đồng dạng.
II. Bài toán
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 4: Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 5: Trục căn thức ở mẫu:
a) b)
c)
Lời giải
a)

b)
c)
.
Bài 6: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau
a.
b.
c.
d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 8: Trục căn thức ở mẫu
a. b.
c. d.
e. f.
Lời giải
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bài 9: Trục căn thức ở mẫu:
a) với b) với ;
c) với ; d) với ;
e) với f) với ;
Lời giải
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
Bài 10: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức
a) b)
c) với d) với , ,
Lời giải
a)
b)

c) với
d) với , ,
Bài 12: Trục căn thức ở mẫu
a) với b) với
c) với d) với , .
Lời giải
a)

b)
c)
d)
Bài 13: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 14: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 15: Trục căn thức ở mẫu
a. b.
c. d.
e.
f.
Lời giải
a.
b.
c.
d.
e.

onthicaptoc.com Bai 9 BIEN DOI DON GIAN VA RUT GON BIEU THUC CHUA CAN THUC BAC HAI