NGUY™N CAO C×ÍNG
Lþ thuy¸t v  B i tªp
TON 7
(D nh cho håc sinh kh¡, giäi)
L÷u h nh nëi bë - ang ch¿nh sûa
Tp. Hç Ch½ Minh - 8/2016
Möc löc
1 SÈ HÚU TŸ - SÈ THÜC 4
1.1 Tªp hñpQ c¡c sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Biºu di¹n c¡c sè húu t¿ tr¶n tröc sè . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 So s¡nh hai sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cëng trø sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Cëng trø hai sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Cëng v  trø sè thªp ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Têng ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Quy t­c chuyºn v¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Nh¥n, chia sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Nh¥n hai sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 T½nh ch§t cõa ph²p nh¥n trongQ . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Chia hai sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Chia mët têng ho°c mët hi»u cho mët sè . . . . . . . . 14
1.3.5 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Lôy thøa cõa mët sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Lôy thøa vîi sè mô tü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 C¡c t½nh ch§t cõa lôy thøa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
To¡n 7 ........................................ Nguy¹n Cao C÷íng
1.5.3 Lôy thøa cõa mët sè mô ¥m . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 T¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 ành ngh¾a t¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa t¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Sè t¿ l» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Sè thªp ph¥n húu h¤n. Sè thªp ph¥n væ h¤n tu¦n ho n . . . . 30
1.7.1 Tâm t­t lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 L m trán sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.1 Tâm t­t lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 C«n bªc hai. Sè væ t¿. Sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.1 ành ngh¾a c«n bªc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.2 Sè væ t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.3 Sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.4 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 ×ÍNG THNG VUÆNG GÂC. ×ÍNG THNG SONG
SONG 37
2.1 Hai gâc èi ¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Hai ÷íng th¯ng vuæng gâc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 C¡c gâc t¤o bði mët ÷íng th¯ng c­t hai ÷íng th¯ng kh¡c . . 42
2.3.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Hai ÷íng th¯ng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Nh­c l¤i ki¸n thùc lîp 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 D§u hi»u nhªn bi¸t hai ÷íng th¯ng song song . . . . . 45
-3-
Nguy¹n Cao C÷íng .....................................To¡n 7
2.4.3 Ti¶n · Ì-clit v· hai ÷íng th¯ng song song . . . . . . 46
2.4.4 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Luy»n tªp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
-4-
Ch֓ng 1
SÈ HÚU TŸ - SÈ THÜC
1.1 Tªp hñpQ c¡c sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Cëng trø sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nh¥n, chia sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè húu t¿ . . . . . . . . 18
1.5 Lôy thøa cõa mët sè húu t¿ . . . . . . . . . . . . 20
1.6 T¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Sè thªp ph¥n húu h¤n. Sè thªp ph¥n væ h¤n
tu¦n ho n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 L m trán sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 C«n bªc hai. Sè væ t¿. Sè thüc . . . . . . . . . . . 33
1.1 Tªp hñpQ c¡c sè húu t¿
1.1.1 Sè húu t¿
- C¡c ph¥n sè b¬ng nhau l¡ c¡c c¡ch vi¸t kh¡c nhau cõa còng mët sè, sè â
÷ñc gåi l  sè húu t¿.
a
- Sè húu t¿ l  sè ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng ph¥n sè vîi a;b2Z v  b6=0
b
- Tªp hñp c¡c sè húu t¿ ÷ñc k½ hi»u l Q. (x l  sè húu t¿ th¼ ghi l  x2Q.)
Nguy¹n Cao C÷íng .....................................To¡n 7
1.1.2 Biºu di¹n c¡c sè húu t¿ tr¶n tröc sè
a
º biºu di¹n sè húu t¿ (a;b2Z;b>0) tr¶n tröc sè ta l m nh÷ sau:
b
1
- Chia o¤n ìn và [0;1] tr¶n tröc sè th nhb ph¦n b¬ng nhau, méi ph¦n l
b
gåi l  ìn và mîi.
a
- N¸u a> 0 th¼ sè ÷ñc biºu di¹n bði mët iºm n¬m b¶n ph£i iºm O v
b
c¡ch iºm O mët o¤n b¬ng a l¦n ìn và mîi.
a
- N¸u a < 0 th¼ sè ÷ñc biºu di¹n bði mët iºm n¬m b¶n tr¡i iºm O v
b
c¡ch iºm O mët o¤n b¬ngjaj l¦n ìn và mîi.
1.1.3 So s¡nh hai sè húu t¿
º so s¡nh hai sè húu t¿ x;y ta th÷íng l m nh÷ sau:
- Vi¸t x;y d÷îi d¤ng hai ph¥n sè câ còng m¨u d÷ìng:
a b
x= ;y = (a;b;m2Z;m>0)
m m
- So s¡nh hai sè nguy¶n a v  b:
 N¸u a N¸u a=b th¼ x=y
 N¸u a>b th¼ x>y
- Tr¶n tröc sè, n¸u x- Sè húu t¿ lîn hìn 0 gåi l  sè húu t¿ d÷ìng
- Sè húu t¿ nhä hìn 0 gåi l  sè húu t¿ ¥m
- Sè 0 khæng l  sè húu t¿ d÷ìng, công khæng l  sè húu t¿ ¥m
 Nhªn x²t:
 
a a
- Sè húu t¿ l  sè húu t¿ d÷ìng >0 n¸u a;b còng d§u.
b b
 
a a
- Sè húu t¿ l  sè húu t¿ ¥m <0 n¸u a;b kh¡c d§u.
b b
- Ta câ:
a c
> (b;d>0),ad>bc (b;d>0):
b d
-6-
To¡n 7 ........................................ Nguy¹n Cao C÷íng
1.1.4 B i tªp
B i tªp 1.1.1. i·n c¡c k½ hi»uN;Z;Q v o ... (vi¸t ¦y õ c¡c tr÷íng hñp)
a) 200002::: d) 6712:::
4
b) 2:::
5
7 98
c) 2::: e) 2:::
1000 1
B i tªp 1.1.2. Biºu di¹n c¡c sè húu t¿ sau tr¶n tröc sè
6 15 12
; ;
4 6 18
B i tªp 1.1.3. Vi¸t c¡c sè húu t¿ sau d÷îi d¤ng ph¥n sè câ còng m¨u d÷ìng:
8 1 27
a) ; v  :
70 28 180
18 151515 7777
b) ; v  :
45 252525 1111
B i tªp 1.1.4. So s¡nh c¡c sè sau:
19019 1919 19
x = ;x = ;x = :
1 2 3
76076 7676 76
a
B i tªp 1.1.5. Cho sè húu t¿6=0. Chùng minh:
b
a
a) N¸u a;b còng d§u th¼ l  sè d÷ìng.
b
a
b) N¸u a;b tr¡i d§u th¼ l  sè ¥m.
b
B i tªp 1.1.6. So s¡nh c¡c sè húu t¿ sau:
13 12 16 35
a) v  d) v
40 40 30 84
5 91 5 501
b) v  e) v
6 104 91 9191
15 36 11 78
c) v  f) v
7 3 7 4
21 44 3 :7 3 :7
B i tªp 1.1.7. S­p x¸p c¡c sè húu t¿ sau theo thù tü t«ng d¦n:
6 7 40 27
a) ; ;0; ; .
4 9 50 33
18 4 14 17 14
b) ; ; ; ; ;0.
19 3 37 20 33
-7-
Nguy¹n Cao C÷íng .....................................To¡n 7
a b
B i tªp 1.1.8. Gi£ sû x = ;y = (a;b;m2Z;m > 0) v  x < y. H¢y
m m
a+b
chùng minh r¬ng n¸u chån z = th¼ ta câ x2m
a c a a+c c
B i tªp 1.1.9. Chùng minh r¬ng n¸u < (b;d>0) th¼ < < .
b d b b+d d
T¼m 5 sè húu t¿ x sao cho:
4 1
i)15 10
B i tªp 1.1.10. So s¡nh c¡c ph¥n sè sau (khæng qui çng m¨u ho°c tû)
1234 4319 31 31317
a) v  c) v
1235 4320 32 32327
1234 4321 1234:12351 1235:12361
b) v  d) v
1244 4331 1234:1235 1235:1236
B i tªp 1.1.11. Düa v o t½nh ch§t b­c c¦u cõa thù tü: vîi x;y;z2Q ta câ:
(
x)xyH¢y so s¡nh:
37 1 18 23
a) v  e) v
946 8 91 114
33 53
1987 1984
f) v
b) v
131 217
1986 1985
22 51
23 5
g) v
c) v
67 152
12 2
3246 45984
24 23
h) v
d) v
3247 45983
25 27
B i tªp 1.1.12. T¼m x2Q, bi¸t r¬ng x l  sè ¥m lîn nh§t ÷ñc vi¸t b¬ng
bèn chú sè 1.
B i tªp 1.1.13. T¼m ph¥n sè câ m¨u b¬ng 10, bi¸t r¬ng gi¡ trà cõa nâ lîn
3 3
hìn v  nhä hìn .
4 5
x 5 x+2
B i tªp 1.1.14. T¼m x2Z bi¸t r¬ng < < .
5 4 5
-8-
To¡n 7 ........................................ Nguy¹n Cao C÷íng
B i tªp 1.1.15. T¼m hai ph¥n sè câ m¨u b¬ng 9, tû l  hai sè tü nhi¶n li¶n
4
ti¸p sao cho tr¶n tröc sè iºm biºu di¹n ph¥n sè b¬ng n¬m giúa c¡c iºm
7
biºu di¹n cõa hai ph¥n sè ph£i t¼m.
B i tªp 1.1.16. T¼m ph¥n sè câ tû b¬ng 9, bi¸t r¬ng gi¡ trà cõa nâ lîn hìn
11 11
v  nhä hìn .
13 15
B i tªp 1.1.17. Chùng minh r¬ng n¸u cëng c£ tû v  m¨u cõa mët ph¥n sè
nhä hìn 1 v  m¨u ·u d÷ìng, vîi còng mët sè nguy¶n d÷ìng th¼ gi¡ trà cõa
ph¥n sè t«ng th¶m.
B i tªp 1.1.18. So s¡nh c¡c ph¥n sè sau (n l  sè tü nhi¶n):
n n+2 n 2n
a) v  b) v
2n+3 2n+1 3n+1 6n+1
B i tªp 1.1.19. Vîi gi¡ trà n o cõa a th¼ sè húu t¿ x l  sè d÷ìng? l  sè ¥m?
l  sè khæng ¥m khæng d÷ìng?
2
a4
a +9
a) x=
d) x=
4
7
a+7
b)
5
a6
a4
e) x=
c)
2
a11
a
B i tªp 1.1.20. So s¡nh c¡c ph¥n sè:
12 11
35420 25343
5 +1 5 +1
a) v
b) v
13 12
35423 25345
5 +1 5 +1
B i tªp 1.1.21. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n x º c¡c ph¥n sè sau câ gi¡ trà l
sè nguy¶n:
x+1 x2
a) A= d) D =
x2 2x3
3x4
2x1
e) E =
b) B =
2x3
x+5
2
10x9 x 4x4
c) C = f) F =
2x3 x7
x1 3
B i tªp 1.1.22. T¼m c¡c c°p sè nguy¶n (x;y) sao cho: = .
5 y+4
-9-