onthicaptoc.com
§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM
4CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)
~ Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính. Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính. Giải phương trình và ký hiệu là các nghiệm của nó.
- Tính và
- Dựa vào đấu củasuy ra tính chất cực trị của điểm .
LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
b)
e)
c)
d)
f)
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
c)
b)
d)
GIẢI
a) TXĐ: D=R
* Với : (vì )
* Với : ,
Bảng biến thiên: ,
x
-1 0
+ 0 - +
y
1 0
Kết luận:
* Hàm số đạt cực đại tại ,
* Hàm số đạt cực tiểu tại ,
b) TXĐ: D=R
, ,
Tính: ,
Kết luận:
* HS đạt cực đại tại ,
* HS đạt cực tiểu tại ,
c) TXĐ: D = R
, ,

Tính: là điểm cực tiểu
là điểm cực đại
Kết luận:
+ Hàm số đạt cực đại tại ,
+ Hàm số đạt cực tiểu tại ,
d) TXĐ: D=R
Xét:
+
HS đat cực tiểu tại các điểm ,
+
HS đat cực đại tại các điểm

~ Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Lưu ý:
1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: ta làm như sau:
(*)
Gọi là nghiệm của pt (là các điểm cực trị)



Trong đó là phần dư của phép chia
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

( Vì toạ độ của điểm cực trị thoả pt , nên từ (*) ta suy ra
)
2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

,
(1)
Gọi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

Các giá trị cực trị là:
Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
Bài 1: Cho hàm số:
Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
Để hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Bài 2: Cho hàm số:
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:

Hàm số đạt cực tiểu tại

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
Bài 3: Cho hàm số
a) Tìm cực trị của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
GIẢI
a) TXĐ: D =
Đạo hàm:
Cho
Chia cho , ta được:

Giá trị cực trị là:

Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
Bài 4: Cho hàm số
Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị.
b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
GIẢI
a) TXĐ: D =
Đạo hàm:
Cho (*)

Để hàm số có 2 cực trị thì:
b) Chia cho , ta được:

giá trị cực trị là:

Gọi , là 2 điểm cực trị
Hàm số có 2 cực trị cùng dấu



(1)
Mặt khác: ,
Do đó (1)


Kết hợp với điều kiện có cực trị , ta được:
Bài 5: Cho hàm số:
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
Hàm số có 2 cực trị
(*)
Gọi , là 2 nghiệm của phương trình thì:
Từ (1) và (2) ,
Thay vào (3)
(Nhận so với điều kiện)
Vậy:
Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược)
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ
có 2 nghiệm , thỏa

Vậy
Bài 7: Cho hàm số: (1)
Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
Cho
Hàm số (1) có cực trị
Lấy (1) chia cho ta được:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
(d)
Để (d) song song với đường thẳng thì:

Bài 8: Cho hàm số:
a) Tìm cực trị của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
GIẢI
a) TXĐ:
Đạo hàm: ,
Giá trị cực trị là:

,
Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
Bài 9: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

GIẢI
a) TXĐ:
Đạo hàm: , (1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
có 2 nghiệm phân biệt
Đồ thị không cắt trục ox ( Pt vô nghiệm)

Bài 10: Cho hàm số:
Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI
TXĐ:
Đạo hàm: ,
Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)

Vậy
onthicaptoc.com