Tailieumontoan.com

Sưu tầm
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
1
Website: Tailieumontoan.com
ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ
TRONG ĐỀ CHUYÊN MÔN TOÁN GIAI ĐOẠN 2009-2019
NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]
22
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x  4y 17xy 5x 5y 1
22
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 17x 17y 16xy
Lời giải
2
22
Ta có: 4x  4y 17xy 5x 5y 1  4 x y  9xy 5 x y  1
   
Đặt t x y, t 0 , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2
2
xy
 
t 9 2 2 2 2 2 2
22
xy . Do đó: 4t  t  5t 1 t hay xy .
44 45 5
2
22
Ta có: P 17x 17y 16xy 17 x y 18xy
 
2
2

xy
22 
25 25 2 2 2
 17 x y 18  x y   6 4 2
    

4 4 4 5

21
Dấu “=” xảy ra khi xy
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2
Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020]
Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
P xy x 2 y 6 13x  4y  26x 24y 46
  
Lời giải
Ta có:
22
P xy x 2 y 6  13x  4y  26x 24y 46
  
2 2 2 2
 x  2x y  6y  13 x  2x  4 y  6y  46
      
2 2 2 2
      
 x1 1 y 3  9  13 x1 1  4 y 3  9  46
       
      
      
Đặt a x1, b y 3 , khi đó:
2 2 2 2
P a 1 b  9  13 a 1  4 b  9  46
      
2 2 2 2 2 2
 a b  9a  b  9 13a 13 4b  36 46
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
2
Website: Tailieumontoan.com
2 2 2 2
 4a  3b  a b  6
 6
a 0 x1 0
Dấu “=” xảy ra khi   x 1,y3

b 0 y 3 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.
Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020]
Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab bccaabc 4
1 1 1
1) Chứng minh rằng:    1
a 2 b 2 c 2
1 1 1
2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P.  
2 2 2 2 2 2
2 a  b  4 2 b  c  4 2 c  a  4
     
Lời giải
1) Ta có:
1 1 1
   1
a 2 b 2 c 2
 b 2 c 2  a 2 c 2  b 2 a 2  a 2 b 2 c 2
            
 ab bc ca 4 a b c  12 abc 2 ab bc ca  4 a b c  8
     
 4 ab bc ca.
Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương đương,
do đó đẳng thức đã cho được chứng minh.
2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:
2
22
2 x  y  x y (*)
 
 

1 1 1 1
 (**)

x y 4 x y

Thật vậy:
2
*  x y  0 (luôn đúng)
   
xy 22
1
* *    x y  4xy x y  0 (luôn đúng)
     
4xy x y
Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi x = y.
Lần lượt áp dụng (*) và (**) ta có:
1 1 1 11 1
   

22
a b 4 a 2  b 2 4 a 2 b 2
   

2 ab 4
 
Tương tự:
1 1 1 1  1 1 1 1 
 ;; 
   
2 2 2 2
4 b 2 c 2 4 c 2 a 2
   
2 b  c  4 2 c  a  4
   
Cộng theo vế ta được:
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
3
Website: Tailieumontoan.com
11 1 1 1 1
P    .1 .

2 a 2 b 2 c 2 2 2

D}u “=” xảy ra khi a = b = c
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
2
Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020]
Cho K ab 4ac 4bc với a,b,c 0 và a + b + 2c = 1.
1
1) Chứng minh rằng: K
2
2) Tìm giá trị lớn nhất của K.
Lời giải
1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
22
 b 2c  a b 2c 1 1
4bc 2  2  4bc
   
2 2 2 2
   
1
Mặt khác: a,b,c 0 K ab 4ac 4bc4bc
2
11
Dấu “=” xảy ra khi a 0,b ,c .
24
Cách khác:
Ta có:
K ab 4c a b  ab 2 1 a b a b
    
22
 ab 2 a b  2 a  b
 
 
22
 2b  a 2 b 2a 2a
 
22
Do đó: 2b  a 2 b 2a 2a K 0 *
   
Để tồn tại K thì phương trình (*) Phải có 2 nghiệm:
2
2
 0 a 2  4.2. 2a 2a  K  0
   
2
 8K 20a17a  4.
Vì a,b,c 0 và a b 2c 1 0 a 1 . Do đó:
2
2a17a  a 2017a  a 2017.1  3a 0
   
1
Do đó 8K4 K
2
11
Dấu “=” xảy ra khi a 0,b ,c .
24
2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
 a b 2c 1
a b 2c   .
 

24

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
4
Website: Tailieumontoan.com
Mặt khác:
2
ab 2c
 
1
a,b,c 0 K ab 4ac 4bc ab 4ac 2ab 4ac 2a b 2c   .
 
22
Dấu “=” xảy ra khi:
11
a b 2c,a b 2c 1,bc 0,ab 0 a ,b 0,c
24
1
Vậy giá trị lớn nhất của K là
2
Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020]
 1
0a,b,c

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2


2a 3b 4c 3

2 9 8
thức P  
a 3b 4c 2 b 4a8c3 c 2a3b1
     
Lời giải
Ta có:
2 9 8
P  
a 3b 4c 2 b 4a 8c 3 c 2a 3b1
     
2 9 8
  
a 3 2a 2 b 6 6b 3 c 3 4c1
     
2 3 4
  
a 1 2a b 1 2b c 1 2c
     
2
2a 3b 4c
  
2 2 2
2
a 12a b 1 2b
   
c 1 2c
 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
 a a 1 2a 1
2
a 1 2a  
 

3 27

1 1
2 2
Tương tự: b 12b ; c 12c
   
27 27
Suy ra: P 27 2a 3b 4c  81
 
1
Dấu “=” xảy ra khi a b c
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81.
Câu 6: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020]
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng:
a b 1

22
2
4b1 4a 1
Lời giải
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
5
Website: Tailieumontoan.com
Ta có:
2
a b 4ab a b  a b a b1 0 a b1 a b 0
     

Lại có:
22
a 4ab 4ab
 a  a  aab
22
4b
4b1 4b 1
22
b 4a b 4a b
 b  b  aab
22
4a1 4a 1 4a
a b a b 1 1
Do đó:   a b  2ab a b   a b 
     
22
2 2 2
4b1 4a 1
1
Dấu “=” xảy ra khi ab
2
Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020]
2 2 2
x  y  z  3y
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 4 8
P  
2 2 2
x 1 y 2 z 3
     
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
1 1 11 1 8
    (*)

2 2 2
ab 2 a b

ab
 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
1 1 8 8 8 64
P.     
2 2 2 2 2 2
x 1  y  z 3  y  z 3  y 
     
 1 x  2 x  z 5
     
2 2 2
     
Mặt khác:
2
23y y
2 2 2
x z 2 x  z  2 3y y  .
   
2
64 64
P1  
22
2
 11  
2
6 2y y 8 y 2
 


22
   
Dấu “=” xẩy ra khi x,y,z  1,2,1 .
   
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1.
Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020]
1 1 1
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:    1. Tìm giá trị nhỏ
a1 b1 c1
3 3 3
a b c
nhất của biểu thức: P  
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
6
Website: Tailieumontoan.com
Lời giải
Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 9
x,y,z 0
   (với ) (*)
x y z xy z
1 1 1
Thật vậy: (*) a b c    9
 

a b c

Áp dụng AM – GM ta được:
1 1 1 3
3
a b c    3 abc.  9
 

3
a b c
 abc
Vậy bất đẳng thức (*) được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được:
1 1 1 9
1     a b c 3 9 a b c 6
a1 b1 c1 a b c 3
3 3 3
b c a
Đặt Q  
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
Ta có:
3 3 3 3 3 3
a  b b  c c  a
PQ   
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
2 2 2 2 2 2
a b a  ab b b c b  bc c c a c  ca a
     
     
  
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
 a b  b c  c a
     
 0
Do đó: P = Q
1
2 2 2 2
Mặt khác: x  xy y  x  xy y * *
 
 
3
Thật vậy:
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2
x  xy y  x  xy y  3x  3xy 3y  x  xy y  2 x y  0
 
 
3
Sử dụng (**) ta được:
3 3 3 3 3 3
a  b b  c c  a
PQ   
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
2 2 2 2 2 2
a b a  ab b b c b  bc c c a c  ca a
     
     
  
2 2 2 2 2 2
a  ab b b  bc c c  ca a
1 1 1
 a b  b c  c a
     
3 3 3
22
 a b c  .6 4
 
33
Mà P Q P 2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
7
Website: Tailieumontoan.com
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2.
Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020]
Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc a b c 2 . Tìm giá trị lớn nhất
1 1 1
của biểu thức P  
2 2 2 2 2 2
a  b b  c c  a
Lời giải.
Từ abc a b c 2
 a b b1 c1  a1 b1  b1 c1  c1 a1
            
1 1 1
    1
a 1 b 1 c 1
x,y,z 0
1 1 1
Đặt  x,  y,  z

a 1 b 1 c 1 x y z 1.

1x yz z x x y
Khi đó: a  ; b ;c
x x y z

1 1 1 1 1 1 1
Nên P     

2 2 2 2 2 2
2 ab bc ca
a  b b  c c  a

1 x yy z z x
.  .  .

y z z x z x x y x y y z
2


1yyx z x z
.  .  .

y z z x z x x y x y y z
2


yy    
1 x z x z
     

     
y z z x z x x y x y y z
22
     


   
1 x yy zz x 3 2
      
   

x y x y y z y z z x z x 4
22

   

Dấu “=” xảy ra khi xy z hay ab c
32
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là khi a = b = c = 2.
4
Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020]
2 2 2
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x  y  z  9x y z 18yz 0.
   
2xy z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q.
yz
Lời giải
Ta có:
2 2 2
5 x  y  z  9x y z 18yz 0
   
2
2
 5x  9x y z  5 y z  28yz 0
   
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH
8
Website: Tailieumontoan.com
22
2
 5x  9x y z  5 y z  7.4yz 7 y z
     
2
2
 5x  9x y z  2 y z  0
   
2

xx
 5  9.  2 0

yz y z

x
Đặt: tt 0 khi đó:
 
yz
2
5t  9t 2 0 5t1 t 2  0
  
 t 2 do 5t1 0
 
x
 2
yz
2xy z x
Ta có: Q  2. 1 2.21 3
yz y z
x
Dấu “=” xảy ra khi yz .
4
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3.
Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020]
Cho x, y, z không âm thỏa mãn x y z 3. Tìm GTLN. GTNN của biểu thức
2 2 2
M x 6x 25 y 6y 25 z 6z 25
Lời giải
Ta có:
2 2 2
M x  6x 25 y  6y 25 z  6z 25
2 2 2
 3 x  16 3 y  16 3 z  16
     
 a b c 6
Đặt a 3 x,b 3 y,c 3 z, Khi đó:

0a,b,c 3

2 2 2
M a 16 b 16 c 16
Tìm GTNN:
Theo bất đẳng thức Minkowski ta có:
22
2 2 2
M a 16 b 16 c 16 a b c  4 4 4  6 5
   
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Tìm GTLN
a12
2
Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện 0a 3 ta được a16 *
 
3
Thật vậy:
2
22
*  9 a 16  a12  8a  24a 0 a a 3  0 (đúng)
       
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH

onthicaptoc.com Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán