onthicaptoc.com
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Phần một: Phần Mở Đầu
Lí do chọn đề tài
Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán. Chúng được sử dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi. Đề tài về hai bất đẳng thức này là không mới. Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến thức em thích, em đã giải khá nhiều bài toán có ứng dụng hai bất đẳng thức này nhưng bản thân em vẫn chưa tổng kết được các phương pháp sử dụng hai bất đẳng thức trên trong giải toán. Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này sẽ giúp em hệ thống lại các kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức này một cách rõ ràng hơn. Và sau này khi trở thành giáo viên em sẽ thấy tự tin hơn khi giảng dạy về mảng kiến thức này từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn. Bên cạnh đó, em thấy đề tài này cũng hợp với khả năng của mình, đặc biệt em thực hiện đề tài này với sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn cùng với nguồn tài liệu không ít nên em tin mình có thể hoàn thành tốt đề tài này.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu là chủ yếu.
Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu
MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho n số thực không âm , , ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Kỹ thuật tách ghép bộ số
Kỹ thuật tách ghép cơ bản
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(1)
Tương tự: (2)
Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
(đpcm)
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTLN của:
Giải:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của A là 337500.
Kỹ thuật tách nghịch đảo
Bài 1: Chứng minh rằng:
Giải:
Vì nên
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng:
Giải:
Với , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm)
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay
Vậy GTNN của
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay
Vậy GTNN của
Bài 7: Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Bài 8: Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:
Phép nhân:
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
Giải:
Ta có:
Bài 2: Cho ba số thực . CMR:
Giải:
Ta có:
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa . CMR:
Giải:
Vậy
Bài 4: Cho . CMR:
Giải:
Ta có:
Bài 5: Cho . CMR:
Giải:
Ta có:
Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với và thì

Chứng minh bất đẳng thức trên :
Ta có với thì
Với và thì

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
Giải:
Ta có:
Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
(Bất đẳng thức Nesbit)
Giải:
Ta có:
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
Giải:




Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

Do đó
(đpcm)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải:
Do ta có:
Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn.
Bài 1: Cho CMR:
(1)
Giải:
Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Hay (đpcm)
Bài 2: Cho CMR:
(1)
Giải:
Đặt:

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

Ta có:

Hay (đpcm)
Bài 3: Cho CMR:
(1)
Giải:
Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

Ta có:
Hay (đpcm)
Bài 4: Cho . CMR:
(1)
Giải:
Ta có:
Tương tự:

Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

Ta có:

Hay (đpcm)
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: (1)
Giải:
Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:

Ta có:
Hay (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa . CMR:
(1)
Giải:

Đặt:

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

Ta có:

Vậy (đpcm)
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức:
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Đặt:
Khi đó

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
Sai lầm thường gặp là: . Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 vô lý vì theo giả thuyết thì .
Lời giải đúng:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là .
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số và vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “Điểm rơi ” thì , ta có sơ đồ sau:

Khi đó: và ta có lời giải như trên.
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số ta có thể chọn các các cặp số sau: hoặc hoặc .
Bài toán 2: Cho số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Sơ đồ điểm rơi:

Sai lầm thường gặp là: . Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ là sai”.
Lời giải đúng:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Ta có:
Sơ đồ điểm rơi:

Giải:
Ta có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 2: Cho số thực . Tìm GTNN của
Phân tích:
Ta có
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi . Ta có sơ đồ điểm rơi:

Giải:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là 39
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của

Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi .
Sơ đồ điểm rơi:



Giải:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng:
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:



Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
(đpcm)
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa .. Tìm GTNN của
Sai lầm thường gặp là:
Vậy GTNN của A là 4.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 . Khi đó trái giả thuyết .
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Lời giải đúng:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:


Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của :
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là 4
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:




Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là
Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:


Giải:



Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là 7
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Giải:


Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là 20
Bài 9: Cho ba số thực dương thỏa . Tìm GTLN của
Đề thi Đại học khối A năm 2005
Giải:

Tương tự:


Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của P là 1
Kỹ thuật nhân thêm hệ số
Bài 1: Tìm GTLN của :
Giải:
Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của A là
Bài 2: Tìm GTLN của :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của A là
Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa . Tìm GTLN của
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của A là 36
Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa . Tìm GTLN của:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTLN của A là
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTLN của:
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Ky thuat su dung bat dang thuc Cauchy