onthicaptoc.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Toạ độ điểm, toạ độ vectơ
Khi xác định toạ độ điểm, toạ độ vectơ thì ta cần chú ý đến các kết quả sau:
■ ■
■ thì ■
■ Chiếu điểm lên mặt phẳng toạ độ hoặc hệ trục toạ độ thì thành phần bị khuyết bằng
Chẳng hạn: chiếu lên thì nên hình chiếu khi đó là
■ Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm lên trục có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục có tọa độ là .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là
A. B. C. D.
Lời giải
Tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là .
Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Toạ độ của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Toạ độ điểm là .
Câu 4: Trong không gian , cho và Vectơ có tọa độ là
A. B. C. D.
Lời giải
Vectơ có tọa độ
Câu 5: Trong không gian , cho điểm . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho . Tọa độ của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do đó,
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai vector . Tìm tọa độ của vector
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 8: Cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là điểm
Câu 9: Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt có tọa độ là
Câu 10: Trong không gian , cho hai vectơ . Tọa độ của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 11: Trong không gian , cho hai điểm và . Véctơ có tọa độ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 12: Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng ta chỉ cần giữ nguyên tung độ và cao độ, cho hoành độ bằng .
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véctơ là và . Tọa độ của véctơ tương ứng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và điểm . Tọa độ điểm đối xứng với qua là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là điểm đối xứng với qua là trung điểm đoạn thẳng
. Suy ra .
Câu 15: Trong không gian , cho biểu diễn của vectơ qua các vectơ đơn vị là . Tọa độ của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 16: Trong không gian , cho điểm thỏa mãn hệ thức . Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì điểm thỏa mãn hệ thức nên tọa độ điểm .
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình bình hành và các đỉnh có toạ độ lần lượt là . Tọa độ đỉnh là
A. B. C. D.
Lờigiải
Vì là hình bình hành suy ra
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và . Tính tọa độ vectơ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; ; nên .
Suy ra .
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai vectơ và Tính tọa độ vectơ
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 20: Trong không gian cho ba điểm ; ; . Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi khi đó ; .
Tứ giác là hình bình hành . Vậy .
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm qua điểm ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm đối xứng với điểm qua điểm nên là trung điểm của đoạn .
Do đó .
Câu 22: Trong không gian , cho ba điểm , , . Tọa độ điểm để là hình bình hành là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có ; là hình bình hành .
Câu 23: Trong không gia , cho véctơ và điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi . Khi đó . Khi đó .
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm qua trục .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm có điểm đối xứng qua trục là điểm .
Vậy điểm có điểm đối xứng qua trục là điểm .
Câu 25: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là điểm thỏa mãn . Khi đó, giá trị của biểu thức bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
. Khi đó
Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm . Tìm toạ độ điểm thoả mãn
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi .
Ta có: , ,.
.
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , . Tìm
để điểm đồng phẳng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Để điểm đồng phẳng
.
Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm và . Điểm D là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử .
Tứ giác là hình bình hành
Vậy .
Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ , cho và hai điểm thỏa mãn . Đường thẳng luôn đi qua điểm có tọa độ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Gọi là trọng tâm , khi đó cùng phương
thẳng hàng với . Vậy điểm là điểm cần tìm.
Câu 30: Trong không gian với hệ trục cho ba điểm thẳng hàng. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Ta có: .
Ba điểm thẳng hàng cùng phương .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian , cho hai véctơ và điểm .
a) Tọa độ vectơ
b) Tọa độ điểm thì
c) Hai vectơ và cùng phương hướng.
d) Góc giữa vectơ và bằng
Lời giải
a) Sai: Vì
b) Đúng : Vì
c) Sai: Vì
d) Đúng: Vì
Câu 2: Trong không gian , cho ba vectơ .
a) Độ dài vectơ bằng
b) Vectơ vuông góc với .
c) Vectơ vuông góc với .
d) Tọa độ vectơ bằng
Lời giải
a) Đúng: Vì
b) Đúng: Vì
c) Sai: Vì
d) Sai: Vì
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp biết rằng các điểm có toạ độ .
a) Tọa độ các điểm là .
b) Tọa độ các điểm là .
c) Tọa độ vectơ là .
d) Tọa độ vectơ là .
Lời giải
a) Sai: Gọi tọa độ điểm là
Khi đó . Vì là hình bình hành nên
Suy ra. Làm tương tự ta có:
b) Đúng:
c) Đúng:
d) Đúng:
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông có các cạnh bằng , là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ.
a) Tọa độ các điểm là .
b) Tọa độ các điểm là .
c) Tọa độ điểm là .
d) Tọa độ các điểm là .
Lời giải
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.
là tam giác đều có cạnh bằng nên
,,,
a) Đúng: Tọa độ các điểm là .
b) Đúng: Tọa độ các điểm là .
c) Đúng: Tọa độ điểm là .
d) Đúng: Tọa độ các điểm là .
Câu 5: Trong không gian cho và , với là tham số.
a) Tọa độ .
b) Dựng điểm thỏa thì .
c) Tồn tại giá trị của và để .
d) Nếu thì .
Lời giải
a) Sai: Tọa độ .
b) Đúng: Khi thì tọa độ cũng là tọa độ điểm . Suy ra .
c) Sai: . (vô nghiệm).
Vậy không tồn tại để .
d) Đúng: . Suy ra .
Câu 6: Trong không gian , cho . Dựng và .
a) . b) Toạ độ .
c) Toạ độ d) Góc .
Lời giải
a) Sai: Ta có .
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có thì toạ độ véc tơ cũng chính là toạ độ .
Tương tự . Từ đây, ta tính được
d) Sai: Nhận xét là hình lập phương suy ra đều. Vậy .
Câu 7: Trong không gian , cho hình hộp có Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác và .
a) Tọa độ điểm là b) Tọa độ điểm là .
c) Tọa độ véc to . d) Tọa độ véc tơ .
Lời giải
a) Đúng: Gọi . Ta có .
b) Đúng: Gọi . Theo hình vẽ thì
c) Sai: Theo hình vẽ thì .
d) Sai: Ta có .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho các véc tơ , với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của để .
Lời giải
Ta có
Khi đó và
Do đó nên có hai giá trị.
Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm , . Điểm thuộc đoạn sao cho , tọa độ điểm là . Khi đó bằng?
Lời giải
Gọi .
Vì thuộc đoạn nên:
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , . Tìm được tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức . Khi đó
Lời giải
Gọi điểm . Khi đó: .
Vậy nê
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , và . Tìm để tam giác vuông tại .
Lời giải
.
Tam giác vuông tại .
Câu 5: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo . Khi đó
Lời giải
Gọi là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm ). Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ đến bằng thời gian bay từ đến nên .
Do đó, .
Mặt khác: nên
Vậy . Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là .
Suy ra
Câu 6: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng . Tìm được tọa độ của vectơ . Khi đó tính
Lời giải
Ta có: và ;
. Vậy
Câu 7: Một thiết bị thăm dò đáy biển như hình vẽ được đẩy bởi một lực (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực .
Lời giải
Công sinh bởi lực là:
Câu 8: Cho biết máy bay đang bay với vectơ vận tốc (đơn vị: km/h). Máy bay bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay .
Tính tốc độ của máy bay .
Lời giải
Ta có:
Tốc độ của máy bay là: (km/h)
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Trong không gian cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm lên các mặt phẳng toạ độ. Tìm toạ độ các điểm
Lời giải
Toạ độ của điểm
Toạ độ của điểm
Toạ độ của điểm
Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật có cạnh . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Xác định tọa độ các điểm .
Lời giải
Ta có:
suy ra
suy ra
suy ra
Bài tập 3: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh trùng với gốc , các vectơ theo thứ tự cùng hướng với và có , . Tìm toạ độ các vectơ và với là trung điểm của cạnh .
Lời giải
Để tìm toạ độ của vectơ ta cần biểu diễn theo ba vectơ .
Do cùng hướng với và nên hay .
Tương tự, ta cũng có: .
Trong hình bình hành ta có: .
Trong hình bình hành ta có: .
Suy ra .
Vì
Suy ra .
Bài tập 4: Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng .
a) Tìm toạ độ của .
b) Tìm toạ độ điểm sao cho là hình bình hành.
Lời giải
a) Vì và nên nên .
b) Do ba điểm không thẳng hàng nên để là hình bình hành thì điểm phải thoả mãn điều kiện .
Gọi là toạ độ điểm .
Ta có
Vậy thì tứ giác là hình bình hành.
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , . Tìm toạ độ điểm thỏa nãm đẳng thức
Lời giải
Gọi
Ta có: và
Khi đó
Vậy toạ độ của điểm thoả mãn hệ thức là
Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho hình hộp có , , . Tính tọa độ đỉnh của hình hộp.
Lời giải
Theo quy tắc hình hộp ta có: .
Mặt khác: , , .
Do đó: .
Suy ra .
Dạng 2: Toạ độ hoá một số hình học không gian
■ Chọn một điểm mà từ đó có ba đường đôi một vuông góc với nhau làm gốc toạ độ
■ Xây dựng toạ độ các điểm trên hình đã cho tương ứng với hệ trục vừa chọn
■ Toạ độ các điểm đặc biệt


A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Hình bên mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét), giả sử là một trụ cầu lông để căng lưới, hãy xác định tọa độ của .
A. B.
C. D.
Lời giải
Toạ độ điểm
Câu 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ trùng với điểm ), tọa độ điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Với là gốc toạ độ thì
Câu 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ trùng với điểm ), tọa độ điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Với là gốc toạ độ thì
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của hình vuông . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ O trùng với tâm hình vuông ABCD), tọa độ là:
A. B.
C. D.
Lời giải
Tọa độ là .
Câu 5: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại , , , vuông góc với mặt phẳng và có độ dài bằng . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ trùng với điểm ). Tìm khẳng định sai
A. B. C. D.
Lời giải
Toạ độ điểm
Câu 6: Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm trong không gian như hình bên. Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Cho biết , , . Tìm toạ độ của điểm .
A. B.
C. D.
Lời giải
Tam giác vuông tại có nên ta có:
Tam giác vuông tại , , nên ta có:
;
Suy ra
Vậy
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt đáy và . Với hệ toạ độ được thiết lập như sau: Gốc tọa độ trùng với điểm , các véc tơ lần lượt cùng hướng với và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Tọa độ . b) Tọa độ .
c) Tọa độ d) Tọa độ .
Lời giải
Với hệ trục đã chọn như hình vẽ thì
a) Đúng: Điểm và nên .
b) Sai: Điểm và có hình chiếu lên lần lượt là điểm và . Do và nên .
c) Đúng: Điểm và nên .
d) Sai: Điểm và và có hình chiếu lên lần lượt là trung điểm của và nên .
Câu 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ trùng với tâm hình vuông ), hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ . b) .
c) Tọa độ . d) .
Lời giải
Độ dài . Với hệ trục đã chọn như hình vẽ thì
a) Sai: Điểm , nằm ngược chiều dương và nên .
b) Đúng: Tọa độ . Suy ra .
c) Đúng: Điểm có hình chiếu vuông góc xuống ( là điểm và nên .
d) Sai: Tọa độ . Suy ra .
Câu 3: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 như hình vẽ. Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm cạnh , góc . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ trùng với trung điểm của đoạn ), hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ điểm . b) Tọa độ điểm .
c) Tọa độ điểm . d) Tọa độ điểm .
Lời giải
Độ dài . Với hệ trục đã chọn như hình vẽ trên thì
a) Đúng: Điểm , nằm ngược chiều dương và nên .
b) Đúng: Điểm , nằm cùng chiều dương và nên .
c) Sai: , nằm cùng chiều dương và nên .
d) Đúng: Gọi . Ta có
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc và , . Khi đó vectơ . Khi hãy tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Xét hệ trục tọa độ như sau điểm là gốc tọa độ ; và .
Khi đó ta có ; ; và .
Vậy ta có vectơ khi đó là nên
Câu 2: Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi tâm cạnh , và . Gọi là trung điểm của cạnh . Vectơ có toạ độ là . Khi hãy tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi là giao điểm của và . Chọn .
Dễ dàng tính được , , và .
Suy ra , và .
Khi đó .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi , , lần lượt là điểm đối xứng của qua , của qua và của qua mặt phẳng . Khi thì tung độ của vectơ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với độ dài vectơ đơn vị bằng , ta được tọa độ các điểm như sau: , , , , .
Gọi là trọng tâm tam giác . Vì tam giác là tam giác đều nên cũng là trực tâm của tam giác là điểm đối xứng với qua
. Ta tính được: , , .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Cạnh bên vuông góc với đáy . Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho . Khi thì tổng bình phương hoành độ, tung độ, cao độ của vectơ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm , các điểm lần lượt thuộc chiều dương các trục tọa độ . Suy ra tọa độ các điểm như trên hình vẽ.
Do là điểm nằm trên cạnh sao cho suy ra:
Câu 5: Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , và . Xác định hoành độ của vectơ .
Lời giải
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có .
Vì , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , và nên .
Suy ra
Câu 6: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của (minh họa như hình vẽ). Khi xác định tung độ của vectơ
Lời giải
Đặt khối tứ diện vào hệ trục tọa độ gốc : các điểm lần lượt thuộc các trục tọa độ .
Ta có: , , , , ,.
Câu 7: Cho lăng trụ có tam giác đều cạnh bằng . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của . Khi thù tung độ của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Góc giữa và mặt phẳng là góc .
Ta có ; .
Đặt hệ trục toạ như hình vẽ: khi đó , , ,
. Gọi, , .
Vì nên .
Câu 8: Cho tứ diện có , vuông góc , tam giác vuông tại , các điểm và lần lượt thuộc và sao cho . Tung độ của khi đó bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ thỏa như hình vẽ.
Điểm , , .
Khi đó tọa độ ; .
; và .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật có cạnh , Gọi là tâm của hình chữ nhật, là trung điểm của cạnh . Với hệ toạ độ được thiết lập như hình dưới đây. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật và toạ độ hai điểm và ?
Lời giải
Chọn là gốc toạ độ thì toạ độ các điểm như sau: ; ;
; ; ; .
Bài tập 2: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường với hệ toạ độ không gian được thiết lập như hình vẽ dưới đây. Cho biết là vị trí của máy bay và . Tìm toạ độ điểm
Lời giải
Ta có: ; ;
Vì là hình chữ nhật nên
Vì là hình chữ nhật nên
Vậy
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai HE TRUC TOA DO TRONG KHONG GIAN