BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Bất đẳng thức
Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu đến số bé hơn nằm trước điểm biểu diễ số lớn hơn. Chẳng hạn,
- Số lớn hơn hoặc bằng số , tức là hoặc , kí hiệu
- Số nhỏ hơn hoặc bằng số , tức là hoặc , kí hiệu
Ta có hệ thức có dạng (hay ,,) là bất đẳng thức và gọi là vế trái, là vế phải của đẳng thức.
* Chú ý: Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là bất đẳng thức ngược chiều.
* Tính chất: Nếu và thì (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).
Tương tự các thứ tự
Lớn hơn (>), lớn hớn hoặc bằng (), nhỏ hơn hoặc bằng ()
Cũng có tính chất bắc cầu.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
! Với ba số và , ta có:
* Nếu thì Nếu thì
* Nếu thì Nếu thì
! Với ba số và , ta có:
* Nếu thì Nếu thì
* Nếu thì Nếu thì .
Dạng 1: Viết bất đẳng thức và một số yếu tố liên quan
Bài 1: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:
a) nhỏ hơn b) không lớn hơn
c) không nhỏ hơn
Lời giải:
a) b)
c)
Bài 2: Biển báo giáo thông R.306 (hình bên ) báo tốc độ tối thiểu cho xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với vận tốc không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với vận tốc (km/h) thì phải thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau?
A. B.
C. D.
Lời giải:
Vì không nhỏ hơn nên ta có
Chọn đáp án C.
Bài 3: Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:
a) Tuần tới, nhiệt độ () tại Tokyo là trên
b) Nhiệt độ () bảo quản của một loại sữa là
c) Để được điều khiển xe máy điện thì tuổi của một người phải ít nhất là tuổi
Lời giải:
a) b)
c)
Bài 4: Hãy chỉ ra một bất đẳng thức diễn tả số lớn hơn . Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?
Lời giải:
Để diễn tả số lớn hơn , ta có bất đẳng thức . Khi đó là vế trái, là vế phải của bất đẳng thức
Bài 5: Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn xe cơ giới được phép đi (hình bên). Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu biển báo
a) Ô tô ơ làn giữa b) Xe máy ở làn bên phải
Lời giải:
Với là tốc độ cho phép của ô tô (xe máy), ta có:
a) Ô tô ở làn giữa: b) Xe máy ở làn bên phải
Bài 6: Gọi là số tuổi của bạn Na, là số tuổi của bạn Toàn, biết rằng bạn Toàn lớn hơn tuổi của bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn đó ở hiện tại và sau ba năm nữa
Lời giải:
bất đẳng thức để biểu diễn số tuổi của bạn Toàn và bạn Na là:

Cộng ba vào hai vế của bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức biểu diễn số tuooit sau ba năm của bạn Toàn và bạn Na

Bài 7: Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau:
a) b)
Lời giải:
a) Vế trái là , vế phải là b) Vế trái là , vế phải là
Bài 8: Trong các cặp bất đẳng thức sau đây, cặp bất đẳng thức nào cùng chiều?
a) và b) và
c) và
Lời giải:
Cặp bất đẳng thức ở các câu và là các cặp bất đẳng thức cùng chiều. Cặp bất đẳng thức ở câu c là cặp bất đẳng thức ngược chiều.
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1: Chứng minh rằng
a) b)
c)
Lời giải:
a) Ta có và
nên
b) Ta có và
nên
c) Ta có: và
nên . Từ đây suy ra
Bài 2: Chứng minh rằng
a) b)
c)
Lời giải:
a) Ta có . Cộng hai vế của bất đẳng thức với , ta được :
Vậy
b) Ta có . Cộng hai vế của bất đẳng thức với , ta được
Vậy
c) Ta có Cộng hai vế của bất đẳng thức với , ta được
hay
Vậy .
Bài 3: Cho hai số và thỏa mãn. Chứng tỏ rằng
Lời giải:
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức , ta được :
(1)
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức , ta được
hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra (tính chất bắc cầu)
Bài 4: Cho hai số và thỏa mãn . Chứng tỏ
Lời giải:
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức , ta được :
(1)
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức , ta được
(2)
Từ (1) và (2) suy ra (tính chất bắc cầu)
Bài 5: Chứng minh
a) với b) với
c)với
Lời giải:
a) Do nên , suy ra .
Vậy
b) Do nên , suy ra .
Vậy với
c) Vì nên , suy ra .
Do đó
Bài 6: Cho và . Chứng minh
Lời giải:
Do nên
Lại có: nên
Vậy
Bài 7: Cho là các số thực dương thỏa mãn và . Chứng minh
Lời giải:
Do nên ( vì )
Lại có nên (vì )
Vậy
Bài 8: Cho . Chứng minh
a) b) ;
c)
Lời giải:
! Để chứng minh ta có thể chứng minh
Do nên và
a) Xét hiệu . Vậy
b) Xét hiệu . Vậy
c) Xét hiệu
Do và nên
Vậy hay
Bài 9: Cho. Chứng minh
a) b)
Lời giải:
! Để chứng minh ta có thể chứng minh
Do nên
a) Xét hiệu
Vậy
b) Xét hiệu .
Vậy hay .
Bài 10: Cho . Chứng minh
Lời giải:
Vì nên
Do đó hay .
Vậy
Bài 11: Cho . Chứng minh
a) b)
c)
Lời giải:
a) Do nên , suy ra
b) Do nên , suy ra
c) Do nên , suy ra .
Bài 12: Chi hai số thỏa mãn . Chứng minh
Lời giải:
Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
(3)
Vì nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
(4)
Từu (3) và (4) suy ra (tính chất bắc cầu)
Bài 13: Cho hai số thỏa mãn . Chứng minh
Lời giải:
Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
(5)
Vì nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
(6)
Từ (5) và (6) suy ra (tính chất bắc cầu).
Dạng 3: So sánh hai số
Bài 1: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh :
a) và b) và
c) và c) và
Lời giải:
a) Vì nên
Cộng vào hai vế với cùng một số
Vậy
b) Vì nên Cộng vào hai vế với cùng một số
Vậy
c) Vì nên Cộng vào hai vế với cùng một số
Vậy
d) Ta có: nên Cộng vào hai vế với cùng một số
Vậy
Bài 2: Cho , hãy so sánh
a) và b) và
Lời giải:
a) Ta có . Cộng thêm vào hai vế ta được
b) Ta có .Nhân hai vế với ta được .
Cộng thêm vào hai vế, ta được
Bài 3: Cho số bất kì, hãy só sánh:
a) với b) và
Lời giải:
a) Ta có: . Cộng thêm vào hai vế ta được
b) Ta có . Cộng thêm vào hai vế ta được
Bài 4: Thay trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng đinh đúng
a) b)
Lời giải:
a) Vì và nên Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số dương
b) Vì và nên Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm
Bài 5: Thay trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng đinh đúng
a) b)
Lời giải:
a) Vì và nên Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số dương
b) Vì và nên Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm
Bài 6: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh
a) và b) và
c) và d) và , biết
Lời giải:
a) Ta có: . Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
<
b) Ta có . Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
>
c) Ta có . Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
>
d) Nhân hai vế của bất đẳng thức với , ta được:


Bài 7: Cho số bất kì, hãy so sánh và
Lời giải:
+ Trường hợp thì , do đó
+ Trường hợp thì , do đó
+ Trường hợp . Nhân hai vế cho ta được
+ Trường hợp thì , do đó
+ Trường hợp . Nhân hai vế với ta được
Tóm lại:
+ Nếu hoặc thì
+ Nếu hoặc thì
+ Nếu thì .
Dạng 4: Bài toán thực tế
Bài 1: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại mọt trang trại trong 1 ngày ( từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là đồng và mỗi suất ăn sáng là đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?
Lời giải:
Gọi số bạn tham gia là
Theo bài ra ta có: hay
Suy ra
Vậy có thể tổ chức nhiều nhất cho bạn tham gia
Bài 2: Một ca nô đi xuôi dòng trong giờ phút. Biết rằng tốc độ ca nô khi nước yên lặng không quá km/h và tốc độ của dòng nước là km/h. Chứng minh quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không vượt quá km/h
Lời giải:
Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là (km/h) ().Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là (km/h)
Ta có nên , tức là
Gọi (km) là quãng đường ca nô đi được trong giờphútgiờ
Ta có (km). Do nên hay
Vậy quãng đường ca nô đi được trong giờ phút không vượt quá km
Bài 3: Chỉ số cơ thể , thường được biết đến với tên viết tắt là BMI (tiếng anh là Body Mass Index) cho phép đánh giá thể trạng của một người gầy, bình thường hay béo. Chỉ số cơ thể của người được tính theo công thức sau , trong đó là khối lượng cơ thể tính theo kilogam, là chiều cao tính theo mét. Căn cứ vào bảng đánh giá thể trạng ở người lớn theo BMI đối với khu vực châu Á-Thái Bình Dương, một người đàn ông có sẽ bị béo phì độ II (trung bình) hoặc độ III (nặng), người đó cần phải có biện pháp tập thể dục, thể thao, thay đổi chế dộ dinh dưỡng để có được cơ thể khỏe mạnh (Nguồn: Toán 7- Tập Hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017). Bác Dũng có chiều cao 1,65 và cân nặng ít nhất là kg. Hỏi bác Dũng có bị béo phì độ II hoặc độ III không?
Lời giải:
Gọi (kg) là khối lượng cơ thể của bác Dũng, (m) là chiều cao của bác Dũng
Theo giải thiết, ta có ; . Do đó chỉ số BMI của bác Dũng là:
Do nên
Vì và nên
Như vậy bác Dũng có thể đã bị béo phì cấp độ II hoặc độ III.
Dạng 5: Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I. Phương pháp giải
þ Khi ( là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi thì giá trị nhỏ nhất của là khi và chỉ khi
Ta viết khi và chỉ khi
þ Nếu ( là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi thì giá trị lớn nhất của là khi và chỉ khi
Ta viết khi và chỉ khi
II. Bài toán
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Ta có:(dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )
Do đó min khi và chỉ khi
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Ta có ( dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )
Vậy min khi và chỉ khi
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
Ta có:
( dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )
Vậy max khi và chỉ khi
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Ta có:

(dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi và )
Vậy min chỉ khi và
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Ta có:
(dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )
Vậy min khi và chỉ khi .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:
a) nhỏ hơn hoặc bằng b) là số âm
c) là số dương c) lớn hơn bằng
Lời giải:
a) b)
c) d)
Bài 2: Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bạn phải ít nhất tuổi mới được phép lái ô tô
b) Xe buýt chở được tối đa người
c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động là đồng
Lời giải:
a) Với là số tuổi, ta có bất đẳng thức
b) Với là số người xe buýt chở được, ta có bất đẳng thức
c) Với là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức
Bài 3: Dùng kí hiệu >, <, , để diễn tả:
a) Tốc độ đúng quy định với biển báo giao thông hình dưới
b) Trọng tải của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở hình 4b

Lời giải
a) b)
Bài 4: Hãy chỉ ra bất đẳng thức trong mỗi khẳng định sau:
a) lớn hơn b) nhỏ hơn
c) nhỏ hơn hoặc bằng d) lớn hơn hoặc bằng
Lời giải:
a) b)
c) d)
Bài 5: Hãy cho biết bất đẳng thức được tạo thành khi:
a) Cộng hai vế của bất đẳng thức với
b) Cộng hai vế của bất đẳng thức với
c) Nhân hai vế của bất đẳng thức với , rồi tiếp tục cộng với
d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức với , rồi tiếp tục cộng với
Lời giải:
a) Cộng hai vế của bất đẳng thức với , ta được:


b) Cộng hai vế của bất đẳng thức với , ta được:

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức với ta được:

Cộng hai vế của bất đẳng thức với ta được:

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức với ,ta được:

Bài 6: Cho , hãy so sánh
a) và b) và
Lời giải:
a) Vì và nên
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được
b) Vì và nên
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được
Bài 7: So sánh hai số và , nếu:
a) b)
Lời giải:
a) Ta có (1)
Cộng hai vế của bất đẳng thức (1) với ta được

Hay
b) Ta có (2)
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với ta được:

Hay
Bài 8: So sánh hai số và trong ,mỗi trường hợp sau:
a) b)
c) d)
Lời giải:
a) Cộng hai vế của bất đẳng thức với ta được:

Vậy
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với ta được:


Vậy
c) Cộng hai vế của bất đẳng thức với ta được:

Tiếp tục nhân hai vế của bất đẳng thức với ta được


Vậy
d) Cộng hai vế của bất đẳng thức với ta được:

Tiếp tục nhân hai vế của bất đẳng thức với ta được:


Vậy
Bài 9: So sánh và
Lời giải:
Bạn phải xét ba trường hợp:
+ Nếu thì
+ Nếu thì
+ Nếu thì
Bài 10: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:
a)
b)
Lời giải:
a) Vì và nên
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được
b) Vì và nên
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được
Bài 11: Chứng minh rằng:
a) b)
Lời giải:
a) Ta có: và nên
Suy ra
b) Ta có: và nên
Vậy
Bài 12: Chứng minh
a)
b) với
Lời giải:
a) Ta có:
( vì )
Cộng hai vế cho ta được
Vậy
b) Ta có
Nhân vào hai vế ta được
Cộng vào hai vế ta được:
Bài 13:
a) với
b) với
Lời giải:
a) ta có:
Mà nên
Do đó: với
Vậy với
b) với
Ta có:
Nhân vào hai vế
Ta được

onthicaptoc.com Bai 5 BAT DANG THUC VA TINH CHAT