HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III – HÌNH 10 (CHUẨN)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
A. Kiến thức cần nhớ:
1. PT đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính r là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
2. PT: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)
a = ; b =
a) PT (*) là PT của đường tròn (C) a2 + b2 – c > 0
b) Nếu PT (*) là đường tròn (C) thì có tâm I(;) và
bán kính R =
3. PT đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là: x2 + y2 = R2
B. Phương pháp và bài tập mẫu:
1. Chứng minh là PT đường tròn (C):
B1: Đưa hệ số của x2 và y2 về đều là hệ số 1 (nếu chưa là 1)
B2: Xác định: a = ; b =
B3: Tính: a2 + b2 – c
* Nếu a2 + b2 – c > 0, suy ra (C) là PT đường tròn
* Nếu a2 + b2 – c < 0, suy ra (C) không phải là PT đường tròn
Chú ý:
a) Nếu hệ số của x2 và y2 không bằng nhau thì suy ra ngay (C) không phải là PT đường tròn
b) Nếu hệ số c < 0 thì suy ra ngay (C) là PT đường tròn
Bài 1: Hãy cho biết các PT nào sau đây là những PT đường tròn (C):
a) 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 b) x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0
c) x2 + y2 – 2x + 6y + 20 = 0 d) x2 + y2 + 6x + 2y + 9 = 0
e) 3x2 + 3y2 + 12x – 6y + 9 = 0 e) 2x2 + 2y2 – 8x + 10y – 4 = 0
Giải: a) Không phải là PT đường tròn (C) (vì hệ số của x2 và y2 không bằng nhau)
b) Là PT đường tròn (C) (vì hệ số của x2 và y2 bằng nhau và hệ số c = -4 < 0)
c) Ta có: a = 1; b = -3
* a2 + b2 – c = 12 + (-3)2 – 20 = - 10 < 0. Vậy: không phải là PT đường tròn (C)
d) Ta có: a = -3; b = -1
* a2 + b2 – c = (-3)2 + (-1)2 – 9 = 1 > 0. Vậy: là PT đường tròn (C)
e) 3x2 + 3y2 + 12x – 6y + 9 = 0 x2 + y2 + 4x – 2y + 3 = 0
* Ta có: a = -2; b = 1
* a2 + b2 – c = (-2)2 + 12 – 3 = 2 > 0. Vậy: là PT đường tròn (C)
f) Là PT đường tròn (C) (vì hệ số của x2 và y2 bằng nhau và hệ số c = -4 < 0)
2. Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C):
a) Nếu gặp dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2, suy ra: Tâm I(a; b) và bán kính R
b) Nếu gặp dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
B1: Đưa hệ số của x2 và y2 về đều là hệ số 1 (nếu bằng nhau nhưng chưa là 1)
B2: Tâm I(;) và bán kính R =
Bài tập 2: Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 36 b) x2 + (y + 5)2 = 13
c) x2 + y2 – 6x + 10y + 7 = 0 d) x2 + y2 + 8x – 2y – 3 = 0
e) 5x2 + 5y2 – 15x + 20y – 5 = 0 f) x2 + y2 + x – 6y + 2 = 0
Giải: a) Tâm I(2; -3), bán kính R = b) Tâm I(0; -5), bán kính R =
c) Tâm I(3; -5), bán kính R =
d) Tâm I(-4; 1), bán kính R =
e) 5x2 + 5y2 – 15x + 20y – 5 = 0 x2 + y2 – 3x + 4y – 1 = 0
Tâm I(; -2), bán kính R =
f) Tâm I(), bán kính R =
3. Viết PT đường tròn (C):
a) Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R thì PT đường tròn là:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
b) Dạng 2: Đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đi qua điểm M
B1: Bán kính R = IM =
B2: Thực hiện như dạng 1
c) Dạng 3: Đường tròn (C) có đường kính AB
B1: Gọi tâm I là trung điểm của AB I
B2: Bán kính R = IA =
B3: Thực hiện như dạng 1
d) Dạng 4: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng : ax + by + c = 0
B1: Bán kính R = d(I, )
B2: Thực hiện như dạng 1
e) Dạng 5: Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C
* Cách 1: B1: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C), ta có:
(thay vào và khai triển đưa về hệ PT 2 ẩn a, b rồi giải hệ này (bằng máy tính bỏ túi) Suy ra: Tâm I(?; ??)
B2: Tính bán kính R = IA =
B3: Thực hiện như dạng 1
* Cách 2: B1: Gọi PT đường tròn (C) cần tìm có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)
B2: Ta có hệ: (thay vào, rút gọn đưa về hệ PT 3 ẩn a, b. c rồi giải hệ này (bằng máy tính bỏ túi)
B3: Thay a, b, c vào (*) ta được PT đường tròn (C) cần tìm
f) Dạng 6: Đường tròn (C) đi qua điểm M và tiếp xúc với hai trục tọa độ Oxy
B1: Gọi PT đường tròn (C) cần tìm có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (*)
B2: (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy
a) Xét trường hợp 1: R = a = b (*) trở thành: (x – a)2 + (y – a)2 = a2 (**)
Mà: M(C) khai triển đưa về PT bậc 2 theo ẩn a rồi giải PT này thay vào a vào (**) ta được PT đường tròn (C) cần tìm
b) Xét trường hợp 2: R = a = – b (*) trở thành: (x – a)2 + (y + a)2 = a2 (***)
Mà: M(C) khai triển đưa về PT bậc 2 theo ẩn a rồi giải PT này thay vào a vào (***) ta được PT đường tròn (C) cần tìm
g) Dạng 7: Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy và có tâm nằm trên đường thẳng d: mx + ny + p = 0
B1: Gọi PT đường tròn (C) cần tìm có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (*)
B2: (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy
a) Xét trường hợp 1: R = a = b (*) trở thành: (x – a)2 + (y – a)2 = a2 (**)
Từ (**) tâm I(a; a) mà Id nên: ma + na + p = 0 a = ? thay a vào (**) ta được PT đường tròn (C) cần tìm
b) Xét trường hợp 2: R = a = – b (*) trở thành: (x – a)2 + (y + a)2 = a2 (***)
Từ (***) tâm I(a; – a) mà Id nên: ma – na + p = 0 a = ? thay a vào (***) ta được PT đường tròn (C) cần tìm
Bài 3: Viết PT đường tròn (C), biết: a) (C) có tâm I(3; -2) và đi qua điểm A(-4; 1)
b) (C) có tâm I(2; -5) và tiếp xúc với đường thẳng : 2x – 3y + 4 = 0
c) (C) có đường kính MN với M(-2; 5) và N(-4; 3)
Giải: a) Ta có: bán kính R = IA = =
PT đường tròn (C) là: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 58
b) Ta có: bán kính R = d(I, ) =
PT đường tròn (C) là: (x – 2)2 + (y + 5)2 =
c) Gọi tâm I là trung điểm của MN I(-3; 4)
bán kính R = IM = =
PT đường tròn (C) là: (x + 3)2 + (y – 4)2 =
Bài 4: Lập PT đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0)
Giải: * Cách 1: Gọi PT đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
3 điểm A, B, C (C), ta có hệ:
Vậy: PT đt (C) cần tìm là: x2 + y2 – 9x – 5y + 14 = 0
* Cách 2: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C), ta có:
suy ra: tâm I(
Bán kính R = IA =
Vậy: PT đường tròn (C) là: (x – )2 + (y – )2 =
Bài 5: Viết PT đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và
a) Đi qua điểm B(2; -1) b) Có tâm thuộc đường thẳng : 3x – 5y – 8 = 0
Giải: a) PT đường tròn (C) cần tìm có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
(C) tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy
a) TH1: Với R = a = b, ta có: (x – a)2 + (y – a)2 = a2 (*)
Mà B(2; -1)(*) (2 – a)2 + (–1 – a)2 = a2 4 – 4a + a2 + 1 + 2a + a2 = a2
a2 – 2a + 5 = 0: VN
b) TH2: Với R = a = -b, ta có: (x – a)2 + (y + a)2 = a2 (**)
Mà B(2; -1)(**) (2 – a)2 + (–1 + a)2 = a2 4 – 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2
a2 – 6a + 5 = 0
Vậy: (C1): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 và (C2): (x – 5)2 + (y + 5)2 = 25
b) PT đường tròn (C) cần tìm có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
(C) tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy
a) TH1: Với R = a = b, ta có: (x – a)2 + (y – a)2 = a2 (*)
Suy ra: Tâm I(a; a), mà Inên: 3a – 5a – 8 = 0 2a = 8 a = 4
Vậy: PT đường tròn (C) là: (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 (thay a = 4 vào (*))
b) TH2: Với R = a = -b, ta có: (x – a)2 + (y + a)2 = a2 (**)
Suy ra: Tâm I(a; -a), mà Inên: 3a + 5a – 8 = 0 8a = 8 a = 1
Vậy: PT đường tròn (C) là: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 (thay a = 4 vào (**))
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):
a) Dạng 1: PTTT của (C) đi qua M(x0; y0) với M(C) (hay PTTT của (C) tại điểm M)
B1: Xác định tâm I của đường tròn (C)
B2: VTPT của tiếp tuyến là:
B3: Tiếp tuyến của (C):
B4: PTTQ tiếp tuyến của (C) là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0
b) Dạng 2: PTTT của (C) đi qua M(x0; y0) với M (C)
B1: Xác định tâm I(a; b) và bán kính R của (C)
B2: PT đường thẳng đi qua điểm M có dạng: y = k(x – x0) + y0 kx – y – kx0 + y0 = 0 (*)
B3: là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R = R
(ka – b – kx0 + y0)2 = R2(k2 + 1)
B4: Thay k vào (*), ta được PTTT của (C) cần tìm (có 2 PTTT)
Chú ý: Nếu tìm được 1 n0 k thì xét tiếp tuyến d là đt đứng đi qua M:
c) Dạng 3: PTTT của (C) song song với đường thẳng d: mx + ny + p = 0
B1: Xác định tâm I(a; b) và bán kính R của (C)
B2: PT đường thẳng song song với đường thẳng d có dạng: mx + ny + = 0 (*)
B3: là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R = R
B4: Thay vào (*), ta được PTTT của (C) cần tìm (có 2 PTTT)
d) Dạng 4: PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng d: mx + ny + p = 0
B1: Xác định tâm I(a; b) và bán kính R của (C)
B2: PT đường thẳng vuông góc với đường thẳng d có dạng: nx – my + = 0 (*)
B3: là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R = R
B4: Thay vào (*), ta được PTTT của (C) cần tìm (có 2 PTTT)
Bài 6:
a) Viết PTTT của (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(4; 2)
b) Viết PTTT của (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0 đi qua điểm A(3; -2)
c) Viết PTTT của (C): x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0 và song song với đt d: 3x – y + 2011 = 0
d) Lập PTTT của (C): x2 + y2 – 6x + 2y = 0 và vuông góc với đt d: 3x – y + 4 = 0
Giải: a) Tâm I(1; -2); VTPT của tiếp tuyến là:
Tiếp tuyến của (C):
Suy ra: PTTT của (C) là: 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0 hay 3x + 4y – 20 = 0
b) Ta thấy: A(3; -2)(C); Tâm I(2; 1) và bán kính R =
Đt đi qua điểm A(3; -2) có dạng: y = k(x – 3) – 2 kx – y – 3k – 2 = 0
là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R =
(– k – 3)2 = 5(k2 + 1) k2 + 6k + 9 = 5k2 + 5
4k2 – 6k – 4 = 0
Vậy: Các PTTT của (C) là: : 2x – y – 8 = 0 và : x – y – = 0 – x – 2y – 1 = 0
c) Tâm I(2; -3), bán kính R =
Đt song song với đt d có dạng: 3x – y + c = 0
là tiếp tuyến của (C) ) d(I, ) = R
Vậy: Các PTTT của (C) là: : 3x – y + 1 = 0 và : 3x – y – 19 = 0
d) Tâm I(3; -1), bán kính R =
Đt vuông góc với đt d có dạng: x + 3y + c = 0
là tiếp tuyến của (C) ) d(I, ) = R
Vậy: Các PTTT của (C) là: : x + 3y + 12 = 0 và : x + 3y – 8 = 0
5. Chứng tỏ 1 điểm A thuộc (nằm trên), nằm ngoài, nằm trong đường tròn (C):
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
B1: Thay tọa độ của điểm A vào VT của PT đường tròn (C)
B2: * Nếu VT = 0 thì A(C) (nằm trên hay thuộc)
* Nếu VT > 0 thì A nằm ngoài đường tròn (C)
* Nếu VT < 0 thì A nàm trong đường tròn (C)
Bài 7: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 10x + 4y – 3 = 0 và điểm M(2; -3). Chứng tỏ điểm M nằm trong đường tròn (C)
Giải: Ta có: 22 + (-3)2 – 10.2 + 4.(-3) – 3 = -22 < 0
Vậy: Điểm M nằm trong đường tròn (C)
C. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn, biết:
a) (x + 4)2 + (y – 1)2 = 25 b) (x – 2)2 + y2 = 7
c) x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 d) x2 + y2 + 5x – 4y – 2 = 0
e) 5x2 + 5y2 – 20x + 30y + 10 = 0 f) x2 + y2 + 2x – 8 = 0
Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C), biết:
a) (C) có tâm I(-3; 2) và bán kính R = 5
b) (C) có tâm I(5; -1) và đi qua điểm E(3; -4)
c) (C) có tâm I(3; 2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x – 12y + 3 = 0
d) (C) có đường kính CD với C(3; 5), D(-7; 1)
e) (C) đi qua 3 điểm M, N, P biết M(1; 2), N(5; 2), P(1; -3)
f) (C) đi qua 3 điềm C, D, E biết C(-2; 4), D(5; 5), E(6; -2)
Bài 3: Viết PT đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và
a) Đi qua điểm M(2; 1) b) Có tâm ở trên đường thẳng d: 4x – 2y – 8 = 0
Bài 4: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a) Chứng tỏ rằng điểm A(-1; 0) thuộc đường tròn (C)
b) Viết PTTT của (C) tại điểm A(-1; 0)
c) Viết PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0
Bài 5: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)
a) Chứng tỏ rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C)
b) Lập PTTT với (C) xuất phát từ điểm A
Bài 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0. Viết PTTT của (C) song song với đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0
Bài 7: Cho phương trình (Cm): x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 . Xác định m để (Cm) là phương trình của đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó.
Bài 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Viết PTTT của (C) kẻ từ A(5; 0)

onthicaptoc.com Hướng dẫn ôn tập chương 3 hình học 10 phương trình đường tròn