HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I – HÌNH 10 (CHUẨN)
I. VECTƠ:
* Những kiến thức cần nhớ:
1. Vectơ: là 1 đoạn thẳng trong đó đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối
2. Vectơ – không: Kí hiệu:
+ Vectơ cùng phương với mọi vectơ +
3. Hai vectơ cùng phương: là hai vectơ cùng nằm trên một đường thẳng hay trên hai đường thẳng song song
4. Hai vectơ bằng nhau: là hai vectơ cùng hướng và có độ dài bằng nhau
5. Hai vectơ đối nhau: là hai vectơ ngược hướng và có độ dài bằng nhau
VD: có vectơ là vectơ . Viết : = –
Chú ý: Tổng của 2 vectơ đối nhau thì bằng , tức là: + =
6. Phép cộng: Quy tắc 3 điểm (hay quy tắc tam giác):
D
C
B
A
Ba điểm A, B, C bất kì
7. Quy tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành
8. Phép trừ: Ba điểm A, B, C bất kì
9. + I là trung điểm của AB
+ I là trung điểm của AB và với mọi điểm M
10. + G là trọng tâm của tam giác ABC
+ G là trọng tâm của tam giác ABC và với mọi điểm M
11. + Nếu hai vectơ và () cùng phương thì = k với mọi k
+ Nếu 2 vectơ và không cùng phương thì
11. Ba điểm A , B, C phân biệt thẳng hàng với mọi k 0
* P: Chứng minh đẳng thức vectơ: P = Q
Cách 1: VT = P = …..(vận dụng các tính chất đã học) …= Q = VP (đpcm)
Cách 2:VP = Q = …..( vận dụng các tính chất đã học) …= P = VT (đpcm)
Cách 3: VT = P = ……..( vận dụng các tính chất đã học) …= M
VP = Q = ……..( vận dụng các tính chất đã học) …= M
Suy ra: P = Q (đpcm)
Cách 4: P – Q = ….( vận dụng các tính chất đã học)…. = . Suy ra: P = Q (đpcm)
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì, chứng minh rằng:
Giải: Cách 1: VT = = =
= = = = VP (đpcm)
Cách 2: Ta có: =
= = =
Suy ra: (đpcm)
Cách 3: VT = = =
D
C
B
A
= = VP(đpcm)
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
Giải: Ta có: VT = =
= = ( và đối nhau)
= = VP (đpcm)
Bài 3: Cho M là trung điểm của AB và điểm E bất kì.
Chứng minh rằng:
Giải: Ta có:
Suy ra: = = (đpcm)
Bài 4: Cho 6 điểm A, B, C, D, E và F. Chứng minh rằng:
Giải: * Cách 1: VT =
= = = = VP (đpcm)
* Cách 2: =
= = = =
Suy ra: (đpcm)
* Cách 3:
. Vậy: (đpcm)
M
C
B
A
Bài 5: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện:
Giải: Dựng hình bình hành ABCM, ta có:
Vậy: Điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Xác định M sao cho:
D
C
B
A

Giải: Ta có:
=
Suy ra: . Vậy: M AC
Khi đó: AM = AC MA = MC. Vậy: M là trung điểm của AC
b
a
I
K
D
C
B
A
G
Bài 7: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho AK = AB.
a) Hãy phân tích , , , theo ,
b) Chứng minh rằng: Ba điểm C, I, K thẳng hàng
Giải: a) Gọi AD là trung tuyến của ABC
* Ta có:
=
* Ta có:
* Ta có: ;
* Ta có:
b) Ta có:
Vậy: Ba điểm C, I, K thẳng hàng (đpcm)
Bài 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt , . Hãy phân tích các vectơ , , , theo hai vectơ và
v
u
G
I
F
E
D
C
B
A
Giải: * Ta có: AEDF là hình bình hành
Mà:
*
*
*
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng minh rằng: nếu thì
Bài 2: Cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) b) c)
Bài 3: Cho sáu điểm A, B, C, , E, F. Chứng minh rằng:
Bài 4: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
Bài 5: Chứng minh rằng: Với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:
a) b)
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) b)
c) d)
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
Bài 8: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM.
Chứng minh rằng: a) b) , với O là điểm tùy ý.
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh rằng:
Bài 11: Cho 5 điểm A, B, C, D và E. Hãy tính tổng:
Bài 12: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:
Bài 13: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a) b)
Bài 14: Co tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho:
HD: Gọi K là trung điểm của AB. M là trung điểm của CK
Bài 15: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
HD: Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. G là trung điểm của IK
Bài 16: Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho b) Tìm điểm N sao cho
Bài 17: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G sao cho . HD: G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 18: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ , , theo hai vectơ ,
HD: *
*
*
Bài 19: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ ,
HD:
Bài 20: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt và . Hãy biểu thị mỗi vectơ , , , qua các vectơ và
Bài 21: Cho 4 điểm OABC sao cho . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng
Bài 22: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho AK =AC.
a) Hãy phân tích các vectơ , theo hai vectơ ,
b) Chứng minh rằng: 3 điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 23: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A’B’C’ thì . Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm trùng nhau
Bài 24: Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ:
A. Trục và độ dài trên trục:
* Những kiến thức cần nhớ:
1. M (O; ) ; k gọi là tọa độ của điểm M
2. A, B (O; ) ; : gọi là độ dài đại số của vectơ .
3. ; a, b lần lượt là tọa độ của điểm A và B
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2. Tính độ dài đại số của , . Từ đó suy ra hai vectơ và ngược hướng.
Giải: * = b – a = 2 – (-1) = 2 + 1 = 3; = n – m = -2 – 3 = -5
Suy ra: hai vectơ và ngược hướng.
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là 5; -3; 2; -9. Tính độ dài đại số của , . Từ đó suy ra hai vectơ và cùng hướng.
B. Hệ trục tọa độ:
* Những kiến thức cần nhớ:
1. M = (x; y) , O là gốc tọa độ
2. = (x; y)
3. Nếu và
3.1) Nếu
3.2)
3.3)
3.4) và cùng phương (hoặc )
4. Cho ba điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC ; yC), ta có:
4.1)
4.2) I là trung điểm của AB
4.3) G là trọng tâm của ABC
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm tọa độ của các vectơ trong mpOxy sau:
a) b) c)
Giải: a) b) c)
Bài 2: Cho = (-3; 2), = (4; -5) và = (1; 7)
a) Tính tọa độ của vectơ = 3 + 5- 2
b) Tìm tọa độ vectơ sao cho + 2 = - 3
c) Phân tích vectơ theo hai vectơ và
Giải: a) Ta có: = 3 + 5- 2 = (3.(-3) + 5.4 – 2.1; 3.2 + 5.(-5) – 2.7) = (9; -33)
Cách khác: Ta có : 3 = (-9; 6)
5 = (20; -25)
- 2 = (-2; -14)
Suy ra : = 3 + 5- 2 = (9; -33)
b) + 2 = - 3 = - 3 - 2 = ( 1.(-3) – 3.4 – 2.1; 1.2 – 3.(-5) – 2.7) = (-17; 3)
c) Giả sử = m + n = (-3m + n; 2m + 7n)
Ta có: Vậy: =
Cách khác: Giả sử = m + n
Ta có: + m = (-3m; 2m) + n = (n; 7n)
Suy ra: m + n = (-3m + n; 2m + 7n)
Ta có hệ: Vậy: =
Bài 3: Cho 3 điểm A(-1; 8), B(1; 6), C(3; 4).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng BC
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD
Giải: a) Cách 1: Ta có: ,
Ta thấy: . Suy ra: ba điểm A, B, C thẳng hàng
Cách 2: Ta có: , ;
Ta thấy: . Vậy: ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) I là trung điểm của BC Vậy: I(2; 5)
c) Ta có: A là trung điểm của CD mà A(-1; 8)
Nên: Vậy: D(-5; 12)
Bài 4: Cho 3 điểm A(-1; 3), B(2; 4), C(0; -1)
a) Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành 1 tam giác
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Cho điểm G(3; -2). Tìm tọa độ điểm M để G là trọng tâm của ∆ ABM
d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
e) Tìm tọa độ điểm E sao cho
Giải: a) Ta có: , . Ta thấy:
Suy ra: ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy: ba điểm A, B, C tạo thành 1 tam giác
b) G là trọng tâm của tam giác ABC Vậy: G
c) G là trọng tâm tam giác ABM mà G(3; -2)
D
C
B
A
Nên: Vậy: M(8; -13)
d) Ta có: ABCD là hình bình hành
* = (3; 1) *
Suy ra: Vậy: D(-3; -2)
e) Ta có: * = (2; 5) *
Mà: Vậy: E
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ của các vectơ trong mp tọa độ
a) b) c) d)
e) f)
Bài 2: Cho , ,
a) Tìm tọa độ của vectơ b) Tìm tọa độ của vectơ sao cho
c) Phân tích vectơ theo hai vectơ và
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3; 4), B(1; 1), C(9, -5)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD
c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(-4; 1), B(2; 4), C(2, -2)
a) Tìm tọa độ trung điểm của BC
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-1; 3), B(4; 2), C(3, 5)
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho
d) Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE
Bài 6: Cho tam giác ABC. Các điểm M(1; 1), N(2; 3), P(0; -4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ của điểm C
Bài 8: Cho A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 9: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương
a) = (2; 3), = (4; x) b) = (x; -3), = (-2; 2x)

onthicaptoc.com Hướng dẫn ôn tập chương 2 hình học 10 vecto