CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
2
Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y  4xy
2 2 2
Ta có a b  4ab ; b c  4bc ; c a  4ac
2 2 2 2
2 2 2
a bb cca 64a b c 8abc
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2:
1 1 1
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:    9 (403-1001)
a b c
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z  4(1 x)(1 y)(1 z)
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
a b c 3
CMR:   
b c c a a b 2
1
4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y
5
2 2 2
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a  b  c  1
33 3
ab c 1
Chứng minh rằng
 
bca c ab 2
Giải:
2 2 2
 a  b  c

a b c
Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c 

 

b c a c a b
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
2 2 2
a b c a  b  c a b c 1 3 1
 
2 2 2
a .  b .  c .  .   = . =
 
b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2
 
3 3 3
a b c 1 1
Vậy    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
b c a c a b 2
3
Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
2 2 2 2
a  b  c  d  ab c  bc d dc a 10
Giải:
2 2
Ta có a  b  2ab
2 2
c  d  2cd
1 1 1
Do abcd =1 nên cd = (dùng x  )
ab x 2
1
2 2 2
Ta có a  b  c  2(ab cd) 2(ab ) 4 (1)
ab
Mặt khác: ab c  bc d dc a
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1 1 1
     
= ab  ac  bc  2 2 2
     
ab ac bc
     
2 2 2 2
Vậy a  b  c  d  ab c  bc d dc a 10
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
(a c)  (b d)  a  b  c  d
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 2 2
tacó ac+bd a  b . c  d
2 2 2 2 2 2
   
mà a c  b d  a  b  2 ac bd  c  d
2 2 2 2 2 2 2 2
a  b  2 a  b . c  d  c  d
2 2 2 2 2 2
 (a c)  (b d)  a  b  c  d
II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
2 2 2
a b c a b c
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: + + 
b c a c b a 2
Bài giải:
2
a b c
Với a, b, c > 0 ta có: +  a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
b c 4
2 2
b a c c a b
Tương tự ta có: +  b; và +  c
a c 4 b a 4
2 2 2
a b c a b c
 + + +  a + b + c
b c a c b a 2
2 2 2
a b c a b c
 + +  (đpcm)
b c a c b a 2
2 2 2
a b c a b c
Vậy + + 
b c a c b a 2
1 1
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = + .Bài giải:
22
xy
xy
ab 4 11 4
2
Ap dụng bất đẳng thức (a + b)  4ab =>     (a, b > 0)
ab ab ab ab
2
(xy) 1
Mặt khác: x + y  2xy => xy  = (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
4 4
1 1 1 4 1 4 1 1
A = + +  + = + 4 + = 4 + 2 = 6
22 2
22 1
2xy 2xy xy2xy 2xy (xy) 2xy
xy
2.
4
1
Vậy Min = 6 khi x = y =
A
2
Bài 3.
Cho ,abc,0:abc 1
11 1 1
CMR :  
22 2 2 2 2
ab23bc23c2a3 2
Hướng dẫn
22 2 2 2
Ta có: ab 2ab; b1 2b a 2b 3 2 ab b1
 
11

22
ab23 2abb1

Tương tự =>
11 1 11 1 1

   

22 2 2 2 2
ab23bc23c2a3 2abb1bcc1caa1

Mặt khác:
11 1 1 ab b
    1
2
abb11bc c ca a1 abb1 ab c abc ab bca ab b
11 1 1
=>   abc1
22 2 2 2 2
ab23bc23c2a3 2
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
CMR :
Bài giải
33 33
3
Ta có xyx13 y3xy
33 33
3
zy13 zy3zy
3
33 33
xzx13 z3xz

33xy zy
31xz 11 1
Nên vế trái =  33  3 3 33


xy zy xz
xy zy xz xy zy xz

Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
33 3
ab c abc
 
33 3
bc a bca
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
33
aa a
 13 (1)
33
b
bb
33
bb b
 13 (2)
33
c
cc
33
cc c
 13 (3)
33
a
aa
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
33 3
ab c abc abc
2(   ) 3 2( )
33 3
bc a bca bca
ab c
2(  ) 3
bc a
33 3
ab c abc
 
Vậy:
33 3
bc a bca
Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
12
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: 3
xy
HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z  9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
11
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ab
11
Q .
42 2 4 2 2
ab22ab b a ba
Hướng dẫn
22 4 2 2 4 2 2
Với ab0; 0 ta có: ()ab0a2abb0ab2ab
11
42 2 2 2
a b22ab a b2ab  (1)
42 2
ab22ab aba b
11 1
Tương tự có  (2) . Từ (1) và (2) Q
42 2
ba22ab abab ab a b
 
11 11
Vì 22ab ab mà ab21ab abQ  .
2
ab 2(ab) 2
1 1
Khi a = b = 1 thì Q . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là
2 2
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x2 y , tìm giá trị
22
xy
M
nhỏ nhất của biểu thức:
xy
Hướng dẫn
22 2 2
x yx y x y x y 3x
Ta có M =  () 
xyxyxy yx44yx y
x y xy x y
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ; ta có 2. 1,
4yx 44yx yx
dấu “=” xảy ra  x = 2y
xx363
Vì x ≥ 2y  2.   , dấu “=” xảy ra  x = 2y
yy442
3 5
Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra  x = 2y
2 2
5
Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y
2
Bài 9:
Hướng dẫn:
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a1;b 4;c9
bca1 ca b4abc9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
abc
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
11
Chứng minh rằng 1
xyxz

11 11 1 4 4
HD    

xyxz x yz xyz x4 x

Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0
2
8a  b
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =  b
4a
Hướng dẫn
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
2xy
22
Cho xy0, 0 thỏa mãn xy 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
1 xy
Hướng dẫn: Với xy0, 0 ta có
22
xy 131224
 xy xy 1 xy
2 2 21xy 31 xy 3
22xy 42
Do đó A22  .
11xy xy 33
Dấu “=” xảy ra khi x y .

xy0, 0
 2
Từ xyxy

2

22
xy 1

2
2
Vậy min A khi xy .
3 2
Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
2a1 2b 8
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : 
1a1 2b 7
Hướng dẫn:
12 8
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
11ab2 7
12 11 1
Ta có:  =  2 (1) (bđt Côsi)
1
ab12 1 a1
1
b
(1ab)( )
2
2
1
ab1 
17
2
(1ab)( )  (bđt Cô si)
22 4
28
  (2)
1 7
(1ab)( )
2
12 8
Từ (1) và (2) suy ra: 
11ab2 7
1 3 5
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2  a = và b =
2 4 4
Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
ab bc ca
biết P  
ab 2c bc 2a ac 2b
Hướng dẫn
2 2
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c + ab = (ca+ c )+(bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
1 1
vì a ; b ; c > 0 nên  0 và  0 áp dụng cosi ta có
a c b c
1 1 1 1 1
 2. dấu (=)    a + c = b + c a = b
a c b c (a c)(b c) a c b c
1 1 1 1
hay  (  )
2 c a c b
(c a)(c b)
ab ab 1 ab ab
 
    (1) dấu bằng  a = b
 
2 c a c b
2c ab c a (c b)
 
bc 1 cb bc 
Tương tự:   (2) dấu bằng  b = c
 
2 a b a c
bc 2a
 
ac 1 ca ca
 
  (3) dấu bằng  a = c
 
2 c b b a
2b ca
 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
ab bc ca 1 ab ab cb cb ac ac
: P=    (  +  +  )
ab 2c bc 2a ca 2b 2 c a c b b a c a b a c b
1 ab cb ab ac cb ac 
 P  (  ) (  ) ( 
 
2 c a c a b c c b a b a b
 
1(a c).b a.(b c) c.(b a) 1 1
=   a b c  .2 1
 
2 c a b c a b 2 2
 
ab bc ca 2
 P=   ≤ 1 dấu bằng  a = b = c =
ab 2c bc 2a ca 2b 3
2
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
3
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
ab bc ca
nhất của biểu thức: P =  .
cab a bc bca
2
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c = c (Do c > 0)
2
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c = (b+c)(c+a)
ab

ab ab
acb c
Do đó  (Cô – si)
cab ()b c(ca) 2
bc ca
 
bc ca
bcc a caa b
Tương tự:  ; 
ab c 2 bc a 2
ac bc ab

3
ac bc ab
Vậy P
22
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
1
2
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M4x 3x  2011.
4x
Hướng dẫn
11
22
Mx4 3x  20114x 4x1x  2010
44xx
1
2
(2xx1) ( ) 2010
4x
1
2
Vì (2x1) 0 và x > 0  0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
4x
1 11
2.x 2.1
4x 42x
1
2
 M = (2xx1) ( ) 2010  0 + 1 + 2010 = 2011
4x
1

x

2
1


x

21x0

2




11 1 1

2
 M  2011 ; Dấu “=” xảy ra xx  x  x =
 

44x 2 2
 

x 0 x 0
1
 
x


  2

x 0


1
Vậy M = 2011 đạt được khi x =
min
2
Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
xy z
 1.
x33x yz y y zx z3z xy
Hướng dẫn
2
2 2
Từ xyz 0xyz2xyz (*) Dấu “=” khi x = yz
 
2
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz
Suy ra 3xyz x(y z) 2x yz x ( y z) (Áp dụng (*))
xx
x3x yz x(xyz)  (1)
x3x yz xyz
y y zz
Tương tự ta có: (2), (3)
 
y3y zx xyz z3z xy xyz
xy z
Từ (1), (2), (3) ta có  1
x3x yz y3yzx z3zxy
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
25
Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
ab c
Q 
.
25bc2 52a5
25
25b0
Do a, b, c > (*) nên suy ra: 25a0, , 25c0
4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
a
25ba2
(1)
25b
b
25cb2
(2)
25c
c
25ac2
(3)
25a
Q5.3 15
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: .
Dấu “=” xẩy ra abc 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
abc 25
Vậy Min Q = 15

onthicaptoc.com Hướng dẫn giải một số bài toán bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10