DẠNG 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP
A.Bài toán
Bài 1: Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và
a) Chứng minh: Tứ giác là hình vuông
b) Chứng minh và cân
c) Tính diện tích theo
Bài 2:Cho hình vuông trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1) Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật
2) Biết diện tích tam giác gấp bốn lần diện tích tam giác Chứng minh rằng
3) Chứng minh rằng :
Bài 3:Cho tam giác nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều lại dựng hình bình hành Chứng minh rằng là tam giác đều
Bài 4: Cho tam giác có
a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC
b) Gọi CD là đường phân giác của Chứng minh cân
c) Chứng minh:
Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H.
a) Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào?
b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng vớiMOG ?
c) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ?
Bài 6:Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của và BC.
a) Tính diện tích tứ giác
b) Phân giác góc cắt BC tại Chứng minh
Bài 7:Cho tam giác có ba góc nhọn, là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
Bài 8:Cho tam giác Từ điểm M thuộc cạnh kẻ các đường thẳng song song với các cạnh và cắt tại E và tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành có diện tích lớn nhất
Bài 9:Cho tam giác Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia sao cho Gọi O là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng
Bài 10: Cho tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh lấy điểm bất kỳ, sao cho khác và Trên cạnh lấy điểm sao cho
a) Gọi là trung điểm của cạnh Chứng minh vuông cân
b) Đường thẳng qua và song song với cắt tia BM tại N. Chứng minh :
c) Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng tích không phụ thuộc vào vị trí điểm trên cạnh AC.
Bài 11:Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại H
a) Tính tổng
b) Chứng minh :
c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác
d) Trên các đoạn lấy các điểm tùy ý sao cho Chứng minh đường trung trực của đoạn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng vẽ tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm C (khác A), qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D.
a) Chứng minh
b) Kẻ vuông góc CD tại M. Chứng minh
c) Từ M kẻ vuông góc AB tại I. Chứng minh đi qua trung điểm MH.
Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:
c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
d) Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ,Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm
Bài 14: Cho tam giác cân tại có Đường phân giác của tam giác có độ dài bằng cạnh bên của tam giác Chứng minh rằng: .
Bài 15: Cho hình thang (đáy lớn Gọi O là giao điểm của và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở và E. Chứng minh:
a)
b) Gọi và theo thứ tự là diện tích của tam giác và . Chứng minh
Bài 16: Cho tam giác (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK
a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?
b) Cho Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
c) Gọi I là giao điểm của và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác là tam giác đều ?
Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
a) Chứng minh CE = CF;
b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
c) Chứng minh DEAC đồng dạng với DMBC;
d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Bài 18: Hình vuông có E và F thuộc tia đối và DC sao cho Từ kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác là hình gì ?
Bài 19:
19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:
a) Tứ giác EGFK là hình thoi.
b) AF2 = FK.FC
c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC.
19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của góc A là AD = d. Chứng minh rằng: .
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K
a) Chứng minh : BM vuông góc với AN
b) Chứng minh :
c) Biết diện tích của tam giác là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo
Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có Trên AB lấy điểm D sao cho Tính số đo
Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có không đổi. Gọi I là trung điểm của Lấy và sao cho . Vẽ
a) Chứng minh rằng tích không đổi.
b) Chứng minh rằng là tia phân giác của góc , QI là tia phân giác của
c) Gọi chu vi tam giác là chứng minh rằng . Tính theo khi
Bài 23:
a) Cho tam giác , gọi M, N lần lượt là trung diểm của Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số
b) Cho hình thang có hai đáy Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho bằng ba phần tư , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho song song với FH
a) Chứng minh rằng :
b) Tính số đo góc
Bài 25: Cho tam giác , ba điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng
Bài 26: Tứ giác có và Chứng minh AC là tia phân giác của góc A.
Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó.
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của với DM
a) Chứng minh : tam giác là tam giác vuông.
b) Tính diện tích của tam giác
c) Chứng minh tam giác là tam giác cân.
Bài 29: Cho tam giác đường trung tuyến Qua điểm D thuộc cạnh vẽ đường thẳng song song với cắt đường thẳng và lần lượt tại và F.
a) Chứng minh
b) Đường thẳng qua song song với cắt tại N. Chứng minh N là trung điểm của
Ký hiệu là diện tích của hình Chứng minh
Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.
Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.
a) Chứng minh: ;
b) Chứng minh: ;
Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.
Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ .
a) Chứng minh DE = CF;
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?
Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm
của CD, N là trung điểm của BH.
a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;
b) Tính góc BMK.
Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F.Chứng minh rằng .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì đạt giá trị lớn nhất?
Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F.
a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;
b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.
Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng:
a) EB.ED = EA.EC;
b)
c)
Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;
b) ;
c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.
Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng:
Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:
a) ; b)
c)
Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.
Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK.
Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và DF ; OA = 4OE; . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: .
Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:
a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.
b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.
Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:
a) Tứ giác ANFM là hình vuông;
b) Điểm F nằm trên tia phân giác của và ;
c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF )
Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD.
Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA.
Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng : AE = AB ;
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính .
Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh: ;
b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân.
Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng: AM = AN.
Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF.
Cmr: a) AH =AK ; b)
Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC
Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC.
Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ.
Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE .
Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P.
Cmr: a) . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c)
Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR:
a) ;
b)
c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho
AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi.
Bài 62: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I
a) Chứng minh: tam giác ADI cân.
b) Chứng minh:
c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy.
Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF.
Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, . Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.
Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr:
Bài 66: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB.
Cmr: không đổi.
Bài 67: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC.
Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh IK// AB.
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF.
Bài 69: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho
AH = HK. Vẽ .
a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính .
b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: .
Bài 70: Cho tam giác ABC, , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của .
Bài 71: a) Cho tam giác ABC có Tính độ dài đường phân giác AD.
b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính .
Bài 72: Cho tam giác ABC có , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.
Bài 73: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh:
a) AMFN là hình vuông;
b) CF vuông góc với CA.
Bài 74: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi.
Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ .
Tìm vị trí của điểm O để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 76: Cho hình thang vuông ABCD có , . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN.
Bài 77: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE cắt AD tại F. Chứng minh:
Bài 78: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.
a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: và
Bài 79: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC.
a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.
b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.
Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD.
Bài 81: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM.
Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.
b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF
Bài 83: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr:
a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI.
b) .
Bài 84: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho .
a) Cmr: BD.CE không đổi.
b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE
c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều.
Bài 85: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK.
Bài 86: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr:
a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB;
b) MG //AH
Bài 87: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có . Tính diện tích của hình bình hành, biết rằng .
Bài 88: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính
Bài 89: Cho hình thang ABCD . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: Bốn điểm thẳng hàng.
c) Giả sử và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S.
Bài 90: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH.
90.1.a) Chứng minh: . Từ đó suy ra và
b) Tìm GTLN của
90.2.a) Chứng minh: và
b) Chứng minh:
c) Chứng minh:
d) Chứng minh: đồng dạng với ; đồng dạng với
Từ đó có nhận xét gì về và .
90.3.a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh:
90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi.
90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị.
Bài 91: Cho cân tại với là góc nhọn; là đường phân giác ; qua kẻ đường vuông góc với , đường này cắt đường thẳng tại . Chứng minh: .
Bài 92: Cho tứ giác. Đường thẳng qua song song với, cắt tại và đường thẳng qua song song với cắt tại . Chứng minh //.
Bài 93: Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB.
a) Chứng minh ∆ ∆.
b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK.
Bài 94: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo
Bài 95: Cho tam giác nhọn có các đường cao và H là trực tâm
a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng:
c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của
Bài 96: Cho hình vuông và đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.
Bài 97: Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
4) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
5) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH . Chứng minh rằng
AC = 2EF
6) Chứng minh rằng :
Bài 98: Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP.
c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng :
Bài 99: Cho đoạn thẳng AB dài a(cm) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB.
a) Chứng minh AE vuông góc với BD
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất
c) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C
Bài 100: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và
a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a
b) Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh
Bài 101: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là Chứng minh rằng:
Bài 102: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx; My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của
b) DM là phân giác của
c) BD.ME + CE.MD > a.DE
d) Chu vi không đổi khi quay quanh M
Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC> AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM.
Bài 104: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh : EA.EB = ED.EC
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi
c) Kẻ (Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh CQ .
Bài 105: Cho tam giác ABC có và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn.
Bài 106: Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC.
Bài 107: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC
Bài 108: Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.
a) Chứng minh rằng:
b) Xác định vị trí điểm Q để .
Bài 109: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB
Bài 110: a) Cho tam giác ABC cân tại A , có BH là đường cao, BD là phân giác của góc . Chứng minh rằng: .
b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A . Gọi là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B và là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C và là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
Bài 111: Cho hình bình hành ABCD có . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.
Bài 112: Cho hình bình hành ABCD có . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB.
a) Chứng minh: .
b) Kẻ . Chứng minh: .
c) Chứng minh: .
Bài 113: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F.
a) Chứng minh: . b) Chứng minh: .
Bài 114: Cho hình thang vuông ABCD và , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: .
Bài 115: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo
Bài 116: Cho hình vuông có cạnh bằng biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh sao cho (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của và , K là giao điểm của và
1) Chứng minh và tính diện tích tứ giác theo
2) Chứng minh
Chứng minh
Bài 117: Cho tam giác trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng cắt các cạnh theo thứ tự ở và E. Tính giá trị biểu thức
Bài 118: Cho hình chữ nhật có Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD
a) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác
b) Tính độ dài đoạn thẳng
c) Tính diện tích tam giác
Bài 119: Cho tam giác đều Gọi lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho Gọi G là trọng tâm và I là trung điểm của Tính các góc của tam giác
Bài 120: Cho hình vuông gọi thứ tự là trung điểm của
a) Chứng minh rằng:
b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng:
Bài 121: Cho tam giác Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông
a) Chứng minh rằng
b) Gọi thứ tự là tâm của các hình vuông Gọi I là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao ?
Bài 122: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.
Bài 123: Gọi M là diểm nằm trong Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của trên Gọi H, K lần lượt là trung điểm của
a) Chứng minh
b) Tính số đo theo m
Bài 124: Cho tam giác vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho
a) Chứng minh rằng:
b) Trên BC lấy điểm sao cho Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia sao cho Tia cắt tia CA tại D. Tính số đo
Bài 125: Cho hình thang ABCD hai đường chéo và cắt nhau tại O. Một đường thẳng qua O song song với đáy cắt hai cạnh bên lần lượt tại và F. Chứng minh rằng
Bài 126: Cho hình bình hành Các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh sao cho Gọi K là giao điểm của và Chứng minh rằng là tia phân giác của
Bài 127: Cho tam giác đều gọi M là trung điểm của BC. Một góc quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh luôn cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh
a)
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc và
c) Chu vi tam giác không đổi.
Bài 128: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt tại D. Từ hạ đường vuông góc xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh
b) Chứng minh tam giác vuông
c) Gọi N là giao điểm của và Chứng minh
Bài 129: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng có độ dài bằng Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng vẽ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với tại O cắt By tại C
a) Chứng minh
b) Chứng minh và CO lần lượt là tia phân giác của và
c) Vẽ Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
d) Xác định vị trí của điểm D trên tia để tích có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 130: Cho tam giác vuông tại A đường cao Trên tia HC lấy điểm D sao cho Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng: Tính độ dài đoạn BE theo
2. Gọi M là trung điểm của đoạn Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng. Tính số đo của
3. Tia cắt tại G. Chứng minh :
Bài 131: Cho hình chữ nhật Vẽ vuông góc với Gọi M là trung điểm của là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: .
Bài 132:
Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ra sử dụng hai lô đất hình vuông để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây phòng học và các công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác.
Bài 133: Cho hình chữ nhật có Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi lần lượt là trung điểm của
a) Tính diện tích tứ giác
b) Chứng minh
Bài 134: Cho hình vuông Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho
a) Chứng minh vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh thẳng hàng
Bài 135: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho Xác định vị trí điểm D, E sao cho
a) DE có độ dài nhỏ nhất
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 136: Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia cùng vuông góc với Trên tia lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D
a) Chứng minh
b) Kẻ tại M. Chứng minh
c) Từ kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh đi qua trung điểm MH
d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác nhỏ nhất
Bài 137: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của AN với DM
a) Chứng minh là tam giác vuông
b) Tính diện tích của tam giác
c) Chứng minh tam giác là tam giác cân.
Bài 138: Cho hình thang cân có là giao điểm của hai đường chéo. Gọi theo thứ tụ là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao?
Bài 139: Cho hình bình hành có thứ tự là trung điểm của
a) Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy
b) Gọi giao điểm của với và theo thứ tự là và Chứng minh rằng là hình bình hành
Bài 140: Cho đoạn thẳng Gọi M là một điểm nằm giữa và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của
a) Tính khoảng cách từ đến
b) Khi điểm di chuyển trên đoạn thẳng thì điểm di chuyển trên đường nào ?
Bài 141: Cho hình thang (). Gọi N và M theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo Chứng minh rằng:
1)
2)
Bài 142: Cho hình thang (và ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại . Gọi diện tích các tam giác lần lượt là . Chứng minh:
a)
b) và
c)
Bài 143: Cho hình bình hành VớiTừ đỉnh A, kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt đường chéo tại E, cắt cạnh BC tại và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh :
b) Chứng minh rằng khi đường thẳng quay quanh A thay đổi thì tích không đổi
Bài 144: Cho hình thang (có Qua và kẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của và BD, F là giao điểm của và AC. Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 145: Cho tam giác vuông tại là điểm di động trên cạnh BC. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên
a) Xác định vị trí của điểm để tứ giác là hình vuông
b) Xác định vị trí của điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 146: Trong tam giác các điểm tương ứng nằm trên các cạnh sao cho
a) Chứng minh rằng:
b) Cho Tính độ dài đoạn
Bài 147: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 148: Cho tam giác đường cao AH, vẽ phân giác của góc và phân giác của . Kẻ AD vuông góc với , AE vuông góc với
Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.
Bài 149: Cho hình bình hành có đường chéo lớn hơn đường chéo Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh rằng :
c) Chứng minh rằng:
Bài 150: Cho tam giác vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của
a) Chứng minh là hình thang cân
b) Biết Tính độ dài của
Bài 151: Cho hình bình hành Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:

Bài 152: Cho tam giác phân giác Trên nửa mặt phẳng không chứa bờ vẽ tia sao cho cắt AD tại E; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
d) Trung trực của đi qua E
Bài 153: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE
a) Chứng minh vuông cân
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng
c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh
Bài 154: Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, ; và chiều cao của hình thang bằng 18m
Bài 155: Cho tam giác vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi và F lần lượt là giao điểm của và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng
a) song song với
b)
Bài 156: Cho tam giác vuông cân là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho cắt tại E. Chứng minh :
a) Tam giác đồng dạng với tam giác
b)
Bài 157: Cho tam giác vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia cắt tia tại H, cắt tia tại O. Chứng minh rằng:
b) có số đo không đổi
c) Tổng không đổi
Bài 158: Cho tam giác có ba góc nhọn, các đường caao cắt nhau tại H
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Nối với E, cho biết Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a
Bài 159: Cho hình bình hành Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh
a)
b)
Bài 160: Cho hình vuông là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ chứa C dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt ở E, cắt DC ở F.
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng thẳng hàng
c) là hình gì ?
d) Chứng minh: và chu vi tam giác không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.
Bài 161: Cho hình chữ nhật Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của qua P.
a) Tứ giác là hình gì ?
b) Gọi và lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh và ba điểm thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí điểm
d) Giả sử và Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 162: Cho hình thang vuông tại và Biết và .Gọi E là trung điểm của
a) Tứ giác là hình gì ? Tại sao ?
b) Tính diện tích hình thang theo
c) Gọi là trung điểm của là chân đường vuông góc kẻ từ xuống Tính góc
Bài 163: Cho tam giác Gọi là một điểm di chuyển trên cạnh Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại M. Qua , kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại N
1) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng
2) Kẻ vuông góc với lần lượt tại Chứng minh rằng
3) Tìm vị trí của điểm để song song với
Bài 164: Cho tam giác các góc và nhọn. Hai đường cao và cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
Bài 165: Cho hình vuông có hai đường chéovà BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M và trên cạnh lấy sao cho Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của với BE.
a) Chứng minh vuông cân
b) Chứng minh song song với
c) Chứng minh vuông góc với
d)Qua vẽ đường song song với cắt tại H. Chứng minh:
Bài 166: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng và Tính số đo của góc
b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng
Bài 167: Cho hình bình hành hình chiếu vuông góc của C lên lần lượt là và Chứng minh:
1) và đồng dạng với
2)
Bài 168: Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại N. Gọi K là giao của và Chứng minh vuông góc với BN.
Bài 169: Cho tam giác nhọn . Các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

onthicaptoc.com HSG Toan 8 Dang 12 HINH HOC TONG HOP