onthicaptoc.com
A. LÝ THUYẾT
1. lim f x  f x0 .
xx0
gọi là liên tục tại x0 nếu
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng a, b và x0 a; b. Hàm số y  f x được
Định nghĩa Định nghĩa 1
HÀM SỐ LIÊN TỤC
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
Hàm số
y  f x
không liên tục tại
x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
STUDY TIP
onthicaptoc.com
Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.
Định nghĩa 2
onthicaptoc.com
xb
lim f x  f a; lim f x  f b
xa
và
Hàm số y  f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f x được gọi là liên tục trên một đoạn a, b nếu nó liên tục trên khoảng a; b
Khái niệm liên tục của hàm số trên nửa khoảng như nghĩa một cách tương tự.
a; b ,a; b , a;  ,; b
được định
onthicaptoc.com
STUDY TIP
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó
y
y
a O b x
a
O b x
onthicaptoc.com
Đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng
a; b.
Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng
a; b.
Định lý 2
onthicaptoc.com
Giả sử
y  f x
và y  g x
là hai hàm số liên tục tại điểm
xo . Khi đó:
onthicaptoc.com
a) Các hàm số
y  f x  g x , y 
f x  g x , y 
f x.g x
liên tục tại điểm
xo .
onthicaptoc.com
b) Hàm số
f x y  g x
liên tục tại điểm
xo nếu
g x  0.
onthicaptoc.com
STUDY TIP
Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2. Một số định lí cơ bản Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được học trong chương trình lớp 12)
STUDY TIP
Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
onthicaptoc.com
Định lí 3
Nếu hàm số
y  f  x
liên tục trên đoạn a;b và
f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một
onthicaptoc.com
điểm c a;b
Nói cách khác:
sao cho
f c  0 .
onthicaptoc.com
Nếu hàm số
y  f  x
liên tục trên đoạn a;b và
f a. f b  0 thì phương trình
onthicaptoc.com
f  x  0
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng a; b .
STUDY TIP
onthicaptoc.com
Một phương pháp chứng minh phương trình
f  x  0
có nghiệm trên khoảng a; b :
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
* Chứng minh hàm số
y  f  x
liên tục trên đoạn a;b .
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
* Chứng minh
f a. f b  0 .
onthicaptoc.com
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp chung:
onthicaptoc.com
Cho hàm số
y  f  x
xác định trên khoảng a; b và
x0 a;b . Để xét tính liên tục của
onthicaptoc.com
hàm số
- Tính
y  f  x
f  x0  ;
tại x0
ta làm như sau:
onthicaptoc.com
* Tính
* Nếu
lim f  x .
xx0
lim f  x 
xx0
f  x0 
thì kết luận hàm số liên tục tại
x0 .
onthicaptoc.com
* Nếu
lim f  x không tồn tại hoặc lim f  x 
f  x0  thì kết luận hàm số không liên tục tại x0 .
onthicaptoc.com
xx0 x x0
Khi xét tính liên tục của hàm số trên một tập, ta sử dụng Định lí 1, Định lí 2 đã nêu trong phần Lí thuyết.
onthicaptoc.com
Câu 1: Hàm số
y  f  x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
onthicaptoc.com
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Đáp án B.
onthicaptoc.com
Quan sát đồ thị ta thấy
Lời giải
lim f  x  3; lim f  x  0 . Vậy
lim f  x  lim f  x nên lim f  x
onthicaptoc.com
x1
x1
x1
x1
x1
onthicaptoc.com
không tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm
x  1 .
onthicaptoc.com
Câu 2: Cho hàm số
f  x 
x2 1
x2  5x  6
. Hàm số
f  x
liên tục trên khoảng nào sau đây?
onthicaptoc.com
A. ;3 . B. 2;3 . C. 3; 2 . D. 3;   .
Đáp án B.
Lời giải
onthicaptoc.com
Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định trên tập hợp
D  ;  3 3;  2 2;   nên
onthicaptoc.com
theo Định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng ;  3;3;  2;2;   . Vì
onthicaptoc.com
2;3  2;  
nên đáp án đúng là B.
STUDY TIP
onthicaptoc.com
Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
onthicaptoc.com
Câu 3: Cho hàm số
f  x 
x  2
x2  3x  2
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
onthicaptoc.com
A. f  x
B. f  x
C. f  x
liên tục trên  .
liên tục trên các khoảng ;1
liên tục trên các khoảng ; 2
và 1;   . và 2;   .
onthicaptoc.com
D. f  x liên tục trên các khoảng ;1 , 1; 2 và 2;   .
Đáp án D.
Lời giải
onthicaptoc.com
f  x
f  x
là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định là ;1 1; 2 2;  
liên tục trên các khoảng ;1 , 1; 2 và 2;   .
STUDY TIP
nên theo Định lí 1,
onthicaptoc.com
Thật ra rút gọn ta được
f  x 
x  2
 x 1 x  2 
1
x 1
nhưng không vì thế mà kết luận
f  x
trên
onthicaptoc.com
các khoảng ;1 và 1;   .
Chú ý: Không được rút gọn biểu thức của hàm số trước khi tìm tập xác định!
onthicaptoc.com
Câu 4: Cho hàm số
f  x  
x  5 khi
x  5 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
onthicaptoc.com
A. f  x
liên tục tại
1 khi x  0
x  7 . B.
f  x
liên tục tại

x  0 .
onthicaptoc.com
C. f  x
liên tục trên 5;   . D.
f  x
liên tục trên 5;   .
onthicaptoc.com
Đáp án B.
Lời giải
onthicaptoc.com
Hàm số
f  x
xác định trên
D  5;   0 . Theo định lí 1,
f  x
liên tục trên 5;  . Do
onthicaptoc.com
đó f  x
liên tục trên 5;  
và tại
x  7 . Vậy
A, C, D
đúng suy ra B
sai .
onthicaptoc.com
Thật vậy, vì không tồn tại khoảng a;b
nào chứa điểm
x  0 mà
f  x
xác định trên a; b
onthicaptoc.com
nên không thể xét tính liên tục của
f  x
tại
x  0 . Do đó không thể khẳng định
f  x
liên tục
onthicaptoc.com
tại
x  0 .
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
Câu 5: Cho hàm số
3x  2 khi x  1
  x2 1 khi x  1
f x   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

onthicaptoc.com
A. f  x
liên tục trên  . B.
f  x
liên tục trên ; 1 .
onthicaptoc.com
C. f  x
liên tục trên 1;  . D. f  x
liên tục tại
x  1 .
onthicaptoc.com
Đáp án C.
Lời giải
onthicaptoc.com
Trên 1;  , đúng là C.
f  x  x2 1 nên theo định lí 1,
f  x
liên tục trên 1;  . Vậy chọn đáp án
onthicaptoc.com
Giải thích thêm:
onthicaptoc.com
Ta có
lim
x1
f  x 
lim
x1
3x  2  1,
lim
x1
f  x 
lim
x1
x2 1  0 .
onthicaptoc.com
Vậy
lim
x1
 lim
x1
nên
lim
x1
không tồn tại.
onthicaptoc.com
Do đó
f  x
không liên tục tại
x  1 nên A, D
sai.
onthicaptoc.com
Mặt khác đó B sai.
f 1  12 1  0 . Vậy

 x3  8
lim 
x1
f 1
nên
f  x
không liên tục trên ; 1 . Do
onthicaptoc.com
Câu 6: Cho hàm số
f  x   x  2
khi x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m
để hàm số liên
onthicaptoc.com
tục tại
x  2 .
 mx 1 khi x=2
onthicaptoc.com
A. m  17 . B. m  15 . C. m  13 . D. m  11 .
onthicaptoc.com
2
Đáp án D.
2 2 2
Lời giải
onthicaptoc.com
f  x
Ta có
xác định trên  .
f 2  2m 1 và lim f  x  lim x3  8  limx2  2x  4  12 .
onthicaptoc.com
x2
x2
x  2
x2
onthicaptoc.com
(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)
onthicaptoc.com
Để f  x
liên tục tại
x  2
 x  32


thì lim f  x 

x 2
f 2  2m 1  12  m  11 .
2
onthicaptoc.com
Câu 7: Chon hàm số
f  x  


x  3
m
khi x  3. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m
khi x  3
để hàm số
onthicaptoc.com
liên tục tại
x  3 .
onthicaptoc.com
A. m  . B. m  . C. m  1 . D. m  1.
onthicaptoc.com
Đáp án A.
Hàm số đã cho xác định trên  .
Lời giải
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
Ta có
lim f  x  lim
 x  32
 lim
x  3
 lim
 x  3
 lim 1  1 .
onthicaptoc.com
x3
x3
x  3
x3
x  3
x3
x  3
x3
onthicaptoc.com
Tương tự ta có
lim f  x  1.(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

x3
onthicaptoc.com
Vậy lim f  x  lim f  x
nên lim f  x
không tồn tại. Vậy với mọi m , hàm số đã cho không
onthicaptoc.com
x3
liên tục tại
x3
x  3.
x3
onthicaptoc.com
Do đó đáp án đúng là A.
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi
x  3 để hiểu rõ hơn.
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
Câu 8: Cho a
và b
là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a
và b
để hàm số
onthicaptoc.com
   
 ax 1 1 khi x  0
f x
liên tục tại
x  0 .
onthicaptoc.com
 x

onthicaptoc.com hàm số liên tục