[email protected] -1
onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ 7
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.
-Ta chứng minh một Bổ đề : Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình:
(1) có nghiệm.
.Điều kiện i) :
.Điều kiện ii) :

Khi đó : (1)
Do , nên :
Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là :
Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:
Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : . (1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do
.Khi đó :

Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Vậy : Tập giá trị của y là :
Hay : và
-----------------------
Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do
.Khi đó :


Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Vậy : Tập giá trị của y là :
Hay : và
-----------------------
Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do
.Khi đó :


Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Vậy : Tập giá trị của y là :
Hay : và
-------------------
Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Xét biểu thức : , nên y xác định với mọi x ÎR.
-Khi đó :

Phương trình (*) có nghiệm khi :
-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 4 số :

Ta có :
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Tập giá trị của y là :
Vậy : và .
--------------------------
Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do
.Khi đó :

Phương trình (*) có nghiệm khi :
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Vậy : Tập giá trị của y là :
Hay : và
-----------------------
Bài 6-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do (do sinx, cosx không đồng thời bằng 1)
.Khi đó :

Phương trình (*) có nghiệm khi :
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
+ 0 - 0 +
Vậy : Tập giá trị của y là :
Hay : và
-----------------------
Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
-Ta nhắc lại một số bất đẳng thức liên quan:
1-Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương :
2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :
a).Cho 4 số thực :
-Đẳng thức xảy ra khi :
b).Cho 6 số thực : .
-Đẳng thức xảy ra khi :
------------
Bài 7-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Biến đổi tương đương :

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 4 số :
, được:
Hay :
Vậy :
.Đẳng thức xảy ra khi :

-----------------------
Bài 8-Cho .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 6 số :
:
Hay :
Vậy :
-----------------------
Bài 9- Cho và Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
.(1)
Giải.
-Ta xét giả thiết :

-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :
:
Hay :
Vậy :
-----------------------
Bài 10-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
--Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :
:
Hay :
Vậy :
-Đẳng thức xảy ra khi : .
-----------------------
Phần 3- Sử dụng công cụ đạo hàm.
Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Hàm số xác định khi : , .Ta khảo sát trên
-Tính :
-Bảng biến thiên:
x
0
y’
+ 0 -
y

1 1
Vậy : và .
-----------------------
Bài 12-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Hàm số xác định với mọi x Î R.
-Tính :
.
.y đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 2 điểm đó mà y’ = 0
+Khi
Khi đó : (*)
+Khi
Khi đó : (**)
Xét (*) và (**) cho ta : , khi
-----------------------
Phần 4- Một số dạng khác.
Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Ta xét biểu thức :
(do :) .Vậy y xác định với mọi xÎR.
-Biến đổi tương đương :
Ta giải và biện luận phương trình (*):
+Khi .

Vậy nếu . Hay : và (a)
+Khi .Điều kiện có nghiệm là :

Vậy nếu . Hay : và (b)
Từ (a) , (b) Ta có : và .
-----------------------
Bài 14-Gọi α là một góc cho trước.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Ta xét đẳng thức:

-Đặt ,
-Khi đó:

+Do α cho trước, nên tử thức đạt giá trị lớn nhất khi : , suy ra :
.Nếu , :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng :

.Nếu , :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng :

Vậy :
+Khi thì :
+Khi thì :
-----------------------
Bài 15-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Ta xét
.mà
.Đẳng thức xảy ra khi :
-Ta xét
.mà
.Đẳng thức xảy ra khi :
Vậy : ( khi : ).
Bài 16-Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của :
(1)
Giải.
-Biến đổi tương dương :

Do đó :
-Do , nên khi
-Do , nên khi
Vậy : và
---------------------
Bài 17 –Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của :
Giải.
-Điều kiện : , ta đặt :
-Do

+Khi .Vậy
+Khi .Vậy --hết----