GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Phương pháp thế
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn theo hoặc biểu diễn theo
* Chú ý:
Giải và biện luận phương trình:
- Nếu
- Nếu và thì phương trình vô nghiệm
- Nếu và thì phương trình có vô số nghiệm.
2. Phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
I. Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm như sau
- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn thường là 1 và -1
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Cách 1: Thế theo ở phương trình thứ nhất
Ta có
Cách 2: Thế theo ở phương trình thứ nhất
Ta có
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
b) Cách 1: Ta có
Ta thấy rằng có nghiệm đúng với mọi
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Do đó, hệ phương trình có nghiệm tính bởi công thức
Cách 2: Ta có
Ta thấy rằng có nghiệm đúng với mọi
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Do đó, hệ phương trình có nghiệm tính bởi công thức
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Cách 1: Ta có
Ta thấy phương trình vô nghiệm với mọi
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Ta có
Ta thấy phương trình vô nghiệm với mọi
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay suy ra
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
b)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay suy ra
Từ đó.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
c)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay suy ra
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
d)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay
Do không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thức nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
e)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay (1)
Do không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thức nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
f)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có (1)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay suy ra (2)
Ta thấy với mọi giá của của đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của , giá trị tương ứng của được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với tùy ý.
g)
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được hay
Suy ra
Ta thấy với mọi giá của của đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của , giá trị tương ứng của được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với tùy ý.
h)
Từ phương trình ta có .
Thay vào phương trình ta được
Giải phương trình này ta được
Thay vào phương trình ta được
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải
a) Đặt
Từ phương trình ta có . Thay vào phương trình ta được:
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b)
Từ phương trình ta có . Thay vào phương trình ta được
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
c) Đặt
Từ phương trình ta có . Thay vào phương trình ta được
(vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
d)
Từ phương trình ta có . Thay vào phương trình ta được
(vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
e)
Từ phương trình ta có
Thay vào phương trình ta được
Thay giá trị vào phương trình ta có
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
f)
Từ phương trình ta có
Thay vào phương trình ta được:
Thay giá trị vào phương trình ta có
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
a) b)
Lời giải
a)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b)
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau
a) b)
Lời giải
a) Cách 1: Ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Cách 2: Ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Cách 1: Ta có
Giải riêng phương trình (*):
Khi đó:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Cách 2: Ta có:
Giải riêng phương trình (**) ta được:
Khi đó
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 8: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
Lời giải
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có .
Thay vào phương trình thứ hai ta được
Từ đó
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .
b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có .
Thay vào phương trình thứ nhất ta được
Từ
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
Bài 9: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế
a) b)
c)
Lời giải
a) Giải hệ phương trình
Từ phương trình suy ra . Thay vào phương trình ta có
Khi thay vào ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Giải hệ phương trình
Từ phương trình suy ra . Thay vào phương trình ta có
Khi thay vào ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
c)
Từ phương trình suy ra . Thay vào phương trình ta có
Khi thay vào ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
Lời giải
a) Giải hệ phương trình
Từ phương trình suy ra . Thay vào phương trình ta có
Khi suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Giải hệ phương trình
Từ phương trình suy ra . Thay vào phương trình ta có
Khi suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 11: Cho hệ phương trình , trong đó là số đã cho. Giải hệ phương trình tròn mỗi trường hợp sau
a) b) c)
Lời giải
a) Thay ta có hệ
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
hay suy ra
Từ đó
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
b) Thay ta có hệ
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được hay (1)
Do không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm,
c) Thay ta có hệ
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
hay
Ta thấy mọi giá trị của đều thỏa mãn (1)
Với giá trị tùy ý của thì giá trị tương ứng của được tính bởi phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm với tùy ý.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
I. Phương pháp giải
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a.
b.
Lời giải
a. Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a.
b.
Lời giải
a)
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
I. Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho.
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a. Điều kiện .
Đặt , ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
b.
Đặt
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Ta có: . Điều kiện:
Đặt
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
Lời giải
a.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b. . Điều kiện:
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a.
b.
c.
Lời giải
a. . Đặt
Ta có HPT:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b.
Điều kiện:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải
Điều kiện:
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
a.
b.
Lời giải
a.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b.
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3)
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau
a. b.
c.
Lời giải
a. Đặt , ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b. Đặt
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
c. Đặt , ta được:
. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
I. Cách giải:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm
- Đường thẳng đi qua điểm
II. Bài toán
Bài 1: Xác định các hệ số và , biết rằng hệ phương trình sau: có nghiệm là:
a) b)
Lời giải
a) Vì là một nghiệm của phương trình (I), nên thay giá trị này vào hệ phương trình (I) ta được:
Vậy
b) Tương tự ta có:
. Vậy
Bài 2: Cho hệ phương trình: .
Tìm các giá trị của để hệ phương trình có nghiệm
Lời giải
Thay vào hệ phương trình ta được:
Vậy
Bài 3: Biết rằng: Đa thức chia hết cho đa thức khi và chỉ khi
Hãy tìm các giá trị của và sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho và :
Lời giải
Theo giả thiết đồng thời chia hết cho đa thức và , do đó ta có:
Vậy và .
Bài 4: Cho hai đường thẳng .
Tìm các giá trị của tham số và để cắt nhau tại điểm
Lời giải
Vì cắt nhau tại điểm nên
Vậy là các giá trị cần tìm.
Bài 5: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh
Cho hệ phương trình: , là tham số
a. Giải hệ phương trình khi
b. Tìm để hệ có nghiệm thỏa mãn