TUYỂN TẬP CÁC CÂU VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO (LẦN 1)
Câu 1. [2D2-3] [ĐỀ THỬ SỨC THTT SỐ 486] Xét các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1
Ta có :
.
Xét hàm đặc trưng ,
luôn đồng biến trên .
.
Ta lại có .
Từ .
.
Cách 2
Ta có :
.
Xét hàm đặc trưng ,
luôn đồng biến trên .
.
Đặt .
.

.
Do đó , dấu xảy ra khi .
Câu 2. [2D3-3] [2D3-5.5-3] (SGD VĨNH PHÚC) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Vì trên , nên ta có diện tích hình phẳng
.
Vì ,
Nên .
Câu 3. [2D1-4] [SỞ GD&ĐT BẮC NINH - 2018] Cho hàm số . Đặt với là số tự nhiên lớn hơn . Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có . Bảng biến thiên:



1





Từ bảng biến thiên ta có:
Bài toán sẽ được giải quyết nếu tìm được số nghiệm của phương trình .
+ Phương trình có ba nghiệm thuộc .
+ Phương trình .
Từ bảng biến thiên ta có với mỗi giá trị phương trình có ba nghiệm thuộc .
Như vậy phương trình có 9 nghiệm thuộc .
+ Bằng quy nạp ta chứng minh được phương trình có nghiệm thuộc .
Từ đó, số nghiệm của phương trình là .
Vậy số nghiệm của phương trình là .
Câu 4. [2D1-3] Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm thỏa mãn trong đó Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
+ Từ
Nên đạo hàm của hàm số là
+ Yêu cầu bài toán , do .
Câu 5. [2D1-4] [THPT YÊN ĐỊNH 2 THANH HÓA LẦN 1 - 2018] Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét phương trình
Chọn ta được
Đạo hàm haivế của phương trình (*) ta có:
Thay vào phương trình ta sẽ được :
Từ phương trình suy ra không thỏa mãn. Vậy , do đó ta thu được .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : . Chọn A.
Câu 6. [2D4-3] Cho là hai số phức thỏa mãn phương trình , biết Tính giá trị của biểu thức: .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
HD: Cách 1. Ta có:
y
O
x

và
Chú ý:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O
bán kính .
Gọi
Ta có: đều
Mà với M là điểm thỏa
mãn là hình thoi cạnh 1.
Cách 2. Đặt , ta có và .
Khi đó:
Sử dụng công thức . Chọn D.
Câu 7. [2D3-3] Cho hàm số , trong đó hàm số là hàm số chẵn trên . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1.
Đặt . Đổi cận ; .
Ta được: .
Do đó: .
Cách 2.
Chọn là hàm số chẵn. Ta có: . Do đó: .
Khi đó: .
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số cho đơn giản.
Câu 8. [2D1-4] Cho hàm số . Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có đồ thị hàm số
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
Với phương trình có nghiệm.
Với phương trình có nghiệm.
Với phương trình có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm.
Câu 9. [2H3-4] [TH & TT SỐ 8] Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và các điểm , Gọi , là các điểm thay đổi trên sao cho và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có thể tích lớn nhất. Khi đó tọa độ trung điểm của là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Chọn D.
Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , lên . Ta có:
; ;
Và ,
với là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện .
Do đó để mặt cầu nội tiếp tứ diện có thể tích lớn nhất khi nhỏ nhất.
Dựng hình chữ nhật , khi đó ;
Dựng tam giác cân tại và .
Dựng tam giác cân tại , khi đó là trung điểm của và .
Dấu bằng xảy ra khi hay là đoạn vuông góc chung của và suy ra .
Câu 10. [2D3-3] Cho hàm số thỏa mãn và .
Giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có .
Đặt
Ta có .
Suy ra . Mà .
Câu 11. [1D5-4] Cho hàm số xác định, có đạo hàm trên thỏa mãn
và ,
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Xét đẳng thức
Thay , vào , ta có , vì .
Đạo hàm vế của , ta được

Thay , vào , ta có
Mà nên suy ra .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là :
.
Bài tập vận dụng:
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ, biết rằng hàm số thỏa mãn điều kiện .
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. [2D4-4] Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính giá trị của tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức , có điểm biểu diễn hình học là .
Ta có .
Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính .
Ta có , với .
Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy: .
Vậy ta suy ra .
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản: , với mọi số phức , . Áp dụng, ta có:


Vậy ta có .
Câu 13. [1H3-3] Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , là trung điểm . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có . Gọi , lần lượt là trung điểm của , .
Tam giác và tam giác đều cạnh nên .
Vì vuông tại . .
Câu 14. [1H3-4] Cho hình chóp có vuông góc với đáy, và . Hình chiếu của trên các đoạn , lần lượt là , . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Dựng , .
Ta có .
Mà . Vậy góc giữa hai mặt phẳng và là .
Ta có .
Câu 15. [2D4-4] Có bao nhiêu số phức mà điểm biểu diễn của nó, nghịch đảo của nó và một điểm trên trục hoành tạo thành một tam giác đều có độ dài các cạnh
A. . B. . C. . D. Vô số.
Lời giải
Chọn B.
Ta chia ra hai trường hợp:
Nếu thì điểm biểu diễn số phức nghịch đảo đối xứng với điểm số phức , mà nên sẽ có số phức thỏa mãn đề cho.
Nếu thì ta có tính chất hình học như sau: Gọi là điểm biểu diễn số phức và . Trung trực cắt trục hoành tại và trục tung tại . Khi đó ta có năm điểm nằm trên một đường tròn.
Chứng minh giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng tại , khi đó suy ra tam giác cân tại hay .
Do đó để tam giác đều khi và chỉ khi .
Có trường hợp , trong mỗi trường hợp này nếu đặt thì và
do đó có hai điểm sao cho . Khi đó để tam giác đều
có cạnh tương đương , do đó có tất cả trường hợp.
Kết hợp hai trường hợp lại ta có tất cả số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16. [2D4-4] [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức thỏa và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi là điểm biểu diễn số phức , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác vuông cân tại và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác , đặt , , , khi đó ta có

Chứng minh: dùng bài toán kinh điển
Đặt khi đó
và từ đó sử dụng suy ra hệ thức .
Áp dụng bài toán trên ta có , chọn B.
Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng ngôn ngữ số phức.
Gọi tọa độ các điểm trên mặt phẳng phức là khi đó , , , , , . Khi đó bất đẳng thức tương đương

Mặt khác :
Mà nên suy ra .
Câu 17. [2H2-4] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Dựng hình chữ nhật ta có .
Tương tự, ta cũng có .
Do . Vì nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm của cạnh .
Dựng tia song song với , và cắt tại ; Gọi là giao điểm của với và là hình chiếu của trên thì
Xét tam giác có .
Tam giác có: .
Mặt khác
Do
Vậy .
Câu 18. [2D3-4] Cho biết và . Cho biết giá trị của 8, với là phân số tối giản. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Có .
.
, .
Câu 19. [1D2-4] Cho đa giác đều đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ trong đỉnh của đa giác là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Xét đỉnh của đa giác đều, chúng ta sẽ đi tìm được số các tam giác tù tại đỉnh .
Đánh số các đỉnh tiếp theo của đa giác theo chiều kim đồng hồ là . Chú ý rằng với hai đỉnh mà thì là đường chéo chính và tam giác vuông tại . Khi đó tam giác là tù tại và . Suy ra có cách chọn các đỉnh .
Vậy số tam giác cần tìm là .
Một cách tổng quát: Cho đa giác đều đỉnh nội tiếp một đường tròn. Ta tìm số tam giác tù được tạo thành từ trong đỉnh của đa giác đều đó.
+) Nếu chẵn :
Mỗi tam giác tù có một góc tù và hai góc nhọn, nên ta tiến hành tính số tam giác tù như sau:
- Chọn một đỉnh tam giác thuộc góc nhọn: Có cách. Chẳng hạn chọn ( Góc nhọn).
- Chọn hai đỉnh còn lại ( một đỉnh góc nhọn và một đỉnh góc tù ).
Đường thẳng qua hai điểm chia đường tròn thành hai loại điểm : Các điểm từ tập và các điểm từ tập trong đó .
Nên cách chọn hai đỉnh còn lại từ tập hoặc chọn hai đỉnh từ tập là : .
Vậy có tam giác tù thỏa mãn.
+) Nếu lẻ : Làm tương tự.
Câu 20. [2D3-4] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn với mọi và . Tính giá trị .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
(1).
Xét
Xét . Đặt
Do đó
Khi đó từ (1) suy ra .
Câu 21. [2D2-4] [Trường THPT Cổ Loa – Hà Nội] Cho là các số thực. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Tính .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng công thức hạ bậc và công thức ta có:
Vậy ta có biểu thức
Đặt ta có:
.
Ta có: .
Câu 22. [2H1-4] Xét tứ diện có các cạnh và, thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng.
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt .
là trung điểm của .
Từ kẻ , là trung điểm của . .
.
Đặt .
.
Dấu “=” xảy ra . kaHHhh
Câu 23. [2D3-4] Cho hàm số có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng BĐT Holder ta có:
Vì nên Khi đó
Vậy
Câu 24. [2D2-4] Xét các số thực thỏa mãn . Kí hiệu là giá trị nhỏ nhất của . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết ta có:
Lấy (1) + (2) .
Vậy .
Câu 25. [2D4-4] Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi điểm biểu diễn của là . Khi đó nằm trên đường tròn tâm Gọi tọa độ các điểm do đó:
Gọi khi đó ta có: Vậy và là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: .
Vậy .
Theo bất đẳng thức tam giác:
Vậy
Câu 26. [2H3-4] Cho các số thực thỏa mãn ,.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng với và là phân số tối giản. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có:
Lại có:
Vậy .
Cách 2:
Trong không gian . Gọi ..
Nhận xét và biểu thức .
Vậy .
Câu 27. [1D5-3] Cho hàm số , và có đồ thị lần lượt là . Biết tiếp tuyến của tại điểm có phương trình lần lượt là . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số , có đồ thị .Ta có: .
Theo đề ta được: và .
Tương tự, xét hàm số , có đồ thị . Ta có: .
ta cũng được: , nên .
Hơn nữa, tiếp điểm hay nên .
Cuối cùng, ta xét hàm số , có đồ thị . Ta có: .
Suy ra, hệ số góc của tiếp tuyến của tại là và .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là . Chọn A.
Câu 28. Cho hàm số và hai điểm . là điểm tùy ý thuộc đồ thị . Diện tích tam giác nhỏ nhất bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Xét các điểm trong hệ trục tọa độ ta có và .
Ta có .
.
Tổng quát: và . Tính diện tích tam giác .
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Chú ý: Cho Parabol , diện tích ba điểm bất kì thuộc Parabol là
.

onthicaptoc.com Giải bài tập chi tiết môn toán đại số lớp 12 mức độ vận dụng cao lần 1