CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho , rồi đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải phương trình:
HD:
Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho ta được:

Đặt , Thay vào phương trình ta có:

Bài 2: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT ta được:

Đặt: , Thay vào phương trình ta được:

Bài 3: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho , ta được:

Đặt: , Thay vào phương trình ta được:

Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho , ta được:

Đặt , Phương trình tương đương với:
Bài 6: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho ta được:

Đặt: , phương trình trở thành:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Bài 9: Giải phương trình:
Bài 10: Giải phương trình:
Bài 11: Giải phương trình:
Bài 12: Giải phương trình:
Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
HD:
Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được:
Cách 2: Đặt
Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
Phương pháp:
Nhận xét về tích , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ
Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung
Bài 1: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với
Đặt , khi đó phương trình trở thành:
Với
Với
Bài 2: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với:
Đặt khi đó phương trình trở thành:
Với
Với
Bài 3: Giải phương trình sau:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt , Khi đó phương trình trở thành:

Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải phương trình:
Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Bài 9: Giải phương trình:
Bài 10: Giải phương trình:
HD:
Đặt . Phương trình trở thành:
Bài 11: Giải phương trình:
HD:
Nhân 8 vào hai vế ta được:
Đặt , ta được :
Bài 12: Giải phương trình:
HD:
Nhân hai vế với 24 ta được:
Đặt
Bài 13: Giải phương trình:
HD:
Nhân hai vế với 4 ta được: , Dặt
Bài 14: Giải phương trình:
HD:
Nhân hai vế với 12 ta được:
Đặt
Bài 15: Giải phương trình:
HD :
Phương trình
Đặt khi đó phương trình trở thành:
Với
Với
Bài 16: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt , Thay vào phương trình ta được:

Bài 17: Giải phương trình:
HD:
Vì không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho ta được:
. Đặt , ta có:
Với
Với
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Bài 1: Giải phương trình:
HD:
Đặt , ta có:
Bài 2: Giải phương trình:
HD:
Đặt , phương trình trở thành:
Rút gọn ta được:
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải phương trình:
Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Bài 9: Giải phương trình:
Bài 10: Giải phương trình:
Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1: Giải phương trình:
Bài 2: Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:
HD :
Đặt : , Thay vào phương trình ta được :

Bài 4: Giải phương trình:
HD :
Biến đổi phương trình : . Đặt
Bài 5: Giải phương trình:
HD :
Ta có:

Bài 6: Giải phương trình sau:
HD:
Biến đổi phương trình thành:

Bài 7: Giải phương trình:
HD:
Đặt , phương trình trở thành:

Bài 8: Giải phương trình:
HD:
Đặt
Bài 9: Giải phương trình:
HD:
Đặt thì ta có:
Phương trình trở thành: vậy
Bài 10: Giải phương trình:
HD:
Đặt
Phương trình tương đương với
Bài 11 : Giải phương trình:
HD:
Đặt
Bài 12: Giải phương trình:
HD :
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
Với
Với
Bài 13: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với:


Đặt: , Khi đó phương trình trở thành:

Giải pt trên ta được:
Bài 14: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt Phương trình trở thành:
Đặt , Phương trình trở thành:
Bài 15: Giải phương trình:
HD:
Đặt , Phương trình trở thành:

Bài 16: Giải phương trình:
HD :
Vì không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ta được:
. Đặt
phương trình vô nghiệm
Bài 17: Giải phương trình:
HD:
Phương trình
Đặt , ta có phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm:.
Bài 18: Giải phương trình:
HD:
Ta có: nên phương trình tương đương
. Đặt . Ta được hệ:
..
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 19: Giải phương trình:
HD:
Đặt . Phương trình đã cho thành .
Với thì hoặc . Với thì .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 20: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành . Đặt thì phương trình trên thành .
Với thì hoặc .
Với thì , phương trình này vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 21: Giải phương trình:
HD:
Đặt thì phương trình đã cho thành . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Bài 22: Giải phương trình:
HD:
Đặt thì phương trình trở thành:
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 23: Giải phương trình:
HD:
Do không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho ta được:
. Đặt thì phương trình trở thành.

Bài 24: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
. Do không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho ta được:
. Đặt thì phương trình trở thành .
Với thì (vô nghiệm).
Với thì . Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 25: Giải phương trình:
HD:
Do không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho ta được
. Đặt , phương trình trở thành:
. Suy ra .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 26: Giải phương trình:
HD:
Phương trình không nhận là nghiệm, chia hai vế cho được :
. Đặt thì phương trình trở thành
hoặc . Với thì hoặc .
Với thì hoặc .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 27: Giải phương trình: (1)
HD:
Ta thấy và nên phương trình là phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ. . Đặt suy ra . Phương trình trở thành hoặc .
Với thì .
Phương trình có hai nghiệm .
Với thì .
Phương trình có hai nghiệm .
Vậy PT (1) có tập nghiệm .
Bài 28: Giải phương trình:
HD:
Điều kiện . Ta biến đổi phương trình thành: . Đặt , phương trình trở thành .
Do đó . Tìm được tập nghiệm của phương trình là .
Bài 29: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành . Đặt dẫn đến phương trình
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là .
Bài 30: Giải phương trình:
HD:
Điều kiện . Biến đổi phương trình thành
. Đặt thì phương trình (*) có dạng . Mặt khác với mọi . Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 31: Giải phương trình:
HD:
Điều kiện . Biến đổi phương trình thành .
Đặt thì phương trình (*) trở thành .
Từ đó ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Bài 32: Giải phương trình:
HD:
Do không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế trái của phương trình cho , rồi đặt ta được
.
Phương trình trên có 2 nghiệm .
Với thì . Phương trình này vô nghiệm.
Với thì . Phương trình này có hai nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Bài 33: Giải phương trình:
HD:
Đặt , phương trình (1) thành
hoặc .
Với thì .
Với thì .
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
Bài 34: Giải phương trình:
HD:
Đặt đưa phương trình (2) về dạng tổng quát .
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau
Viết phương trình đã cho về dạng .
Đặt , Phương trình thành
.
Vậy tập nghiệm của PT(2) là .
Bài 35: Giải phương trình:
HD:
PT tương đương với
Đặt thì , PT trên thành:
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Bài 36: Giải phương trình:
HD:
Điều kiện . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: . Đặt thì , suy ra ,
PT trên thành: hoặc .
Với thì , suy ra (thỏa mãn đk).
Với ta có hay suy ra (thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là .
Bài 37: Giải phương trình:
HD:
Đặt PT(5) trở thành . ĐK: . Khử mẫu thức ta được PT tương đương
hoặc (thỏa mãn ĐK)
Với thì .Phương trình vô nghiệm.
Với thì hoặc .Vậy tập nghiệm của PT(5) là .
Bài 38: Giải phương trình:
HD:
Lời giải: PT
.
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là .
Bài 39: Giải phương trình:
HD:
Điều kiện .
Đặt , PT có dạng:
Dẫn đến hoặc (thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là .
Bài 40: Giải phương trình:
Bài 41: Giải phương trình:
Bài 42: Giải phương trình :
HD :




Bài 43: Giải phương trình:
Bài 44: Giải phương trình:
HD:
Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ta được:

Đặt: , Thay vào phương trình ta được:

Bài 45: Giải phương trình:
Bài 46: Giải phương trình:
Bài 47: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt: , Thay vào phương trình ta được:

Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho , ta được:


Bài 48: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Chia hai vế cho , ta được:
Đặt: , phương trình trở thành:
Bài 49: Giải phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Dễ thấy: , Thay vào phương trình trên ta được:



Bài 50: Giải phương trình:
HD:
Đặt , Phương trình trở thành:
Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho .
Phương trình trở thành:
Đặt: , Phương trình:
Với t = 2, ta được: ( Vô lý)
Với t = -11, ta được :
Bài 51: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta được:
, Đặt: , phương trình trở thành:

Bài 52: Giải phương trình:
HD:
Đặt , Khi đó phương trình trở thành:

Với ( Vô nghiệm)
Với
Bài 53: Giải phương trình:
HD:
Cộng cả hai vế với ta được:



Bài 54: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy: , Thay vào phương trình ta được:


Bài 55: Giải phương trình:
Bài 56: Giải phương trình:
Bài 57: Giải phương trình:
HD:
Cộng thêm vào hai vế ta được:
Bài 58: Giải phương trình :
HD :

Đặt , Phương trình trở thành :
Vì ,
Khi đó :
Bài 59: Giải phương trình:
HD:
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với , phương trình đã cho tương đương với
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1)
Lại có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1
Bài 60: Giải các phương trình sau:
HD:
Đặt , ta có:


Bài 61: Giải các phương trình sau:
HD:
Đặt , Phương trình trở thành:
Bài 62: Tìm x biết:
HD:
Đặt , Phương trình trở thành:

Dạng 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp :
+ Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là :
+ Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là :
+ Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do
+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của hệ số bậc cao nhất
+ Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình bậc 2
Bài 1: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với
Bài 2: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với:
Bài 3: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với
Bài 4: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với:
Bài 5: Giải phương trình:
HD:
Phương trình tương đương với
Bài 6: Giải phương trình:
HD :
Phương trình tương đương với
Bài 7: Giải phương trình sau:
HD :
Thêm vào hai vế ta được :
Bài 8: Giải phương trình sau:
HD:

onthicaptoc.com 12 Chuyen de boi duong HSG toan 8 Giai phuong trinh